張曄

大觀念統(tǒng)整的單元整體教學突破常見的教學內(nèi)容邏輯，按照知識體系的建構順序展開，學生在學習所有知識點后再解決綜合性問題。這樣的教學以驅(qū)動性大問題的解決過程為線索組織教學結構，為基礎性、結構性的教學內(nèi)容與生發(fā)性教學內(nèi)容的緊密結合提供可能。

一、統(tǒng)整教學內(nèi)容，讓知識結構化

大觀念統(tǒng)整的單元整體教學要發(fā)揮“結構”與“聯(lián)系”的作用，將知識有機地結合起來，幫助學生領悟知識背后蘊含的數(shù)學思想方法，并將其遷移應用于新情境中，以促進他們的意義理解和自主遷移。

三角形面積公式的推導和梯形面積公式的推導都可以用“倍拼”和“割補”的方式進行轉(zhuǎn)化，將這兩個內(nèi)容整合在一起學習，有利于學生感悟兩種圖形面積轉(zhuǎn)化過程的內(nèi)在聯(lián)系，凸顯轉(zhuǎn)化思想，并使探索材料的利用更加充分。教學中，筆者將“三角形和梯形的面積”第1課時目標定為：經(jīng)歷三角形和梯形面積的探究活動，體驗“倍拼”轉(zhuǎn)化方法的應用，感受三角形和梯形面積轉(zhuǎn)化中的通理通法;掌握三角形和梯形面積計算公式，并能正確計算。第2課時（“還有別的推導方法嗎？”）目標定為：用多種“割補”方法推導三角形和梯形面積公式，積累面積公式推導經(jīng)驗，感悟數(shù)學文化。

“倍拼法”屬于非等積轉(zhuǎn)化，要求學生面對一個圖形的問題，想到虛構另一個與之全等的圖形，不僅要達到二者合拼成規(guī)則圖形的目的，還要方便計算時“消去”這個增加的圖形面積，這是對學生空間觀念的新挑戰(zhàn)。由此，筆者團隊設計了本單元的開啟課——《數(shù)面積》，讓學生主動運用“割補法”“倍拼法”將未知圖形轉(zhuǎn)化成已知圖形，進一步體驗“數(shù)方格”在探究圖形面積中的應用?！氨镀捶ā钡碾y點不在于操作，而在于“怎么想到的”，這是面積公式推導的落腳點?；诖?，筆者沒有讓學生動手去拼，而是要求學生思考后把想法畫在方格紙上，利用數(shù)形結合思想推導面積計算公式。在圖形轉(zhuǎn)化后，筆者首先引導學生理解轉(zhuǎn)化后形成的平行四邊形面積是三角形的兩倍;其次引導學生進行公式的演繹推理，將平行四邊形面積公式中的元素替換成與之對應的三角形中的元素，從而得到三角形的面積計算公式。整個過程就是一種“等量代換”。

以上推導圖形面積公式的數(shù)學活動經(jīng)驗需要在“做”中積淀，它是一個逐步積累的過程，是被逐步啟發(fā)、優(yōu)化的。在推導平行四邊形面積公式時，筆者給學生提供了“轉(zhuǎn)化—找聯(lián)系—推導公式”的基本思路，幫助學生理解和遷移知識。在探究三角形面積公式時，筆者提供方格背景，在其上刻畫出三角形的量性特征，使學生在研究中有具體的數(shù)量可以把握，降低抽象性。學生經(jīng)歷“倍拼法”轉(zhuǎn)化及推導三角形面積公式的過程，有利于后續(xù)自主探究得出梯形面積公式。再次探究三角形和梯形面積時，筆者提供方格背景，讓隱藏的高線與中位線顯性化，從而降低操作與驗證的難度。學生有上一節(jié)課的學習經(jīng)驗，不僅能用“倍拼法”，還能用“以盈補虛”的方法進行轉(zhuǎn)化，從而推導出三角形和梯形面積公式，學生又一次經(jīng)歷了轉(zhuǎn)化及推導公式的過程，積累了基本活動經(jīng)驗。

二、統(tǒng)整數(shù)學方法，讓思維有深度

《多邊形的面積》這個單元有一個建構知識內(nèi)在聯(lián)系的點——梯形面積公式。在拓展課上，教師將梯形面積公式與其他圖形面積公式的推導有機整合，可以強化學生對公式之間關聯(lián)的理解，使學生明晰“通用公式”的通性，感受數(shù)學的魅力。

筆者設計了兩個教學環(huán)節(jié)：一是重構梯形面積公式與其他圖形面積公式之間的聯(lián)系，二是在拓展練習中促進學生思維走向深刻。課上，筆者首先出示等底等高、形狀不同的三個梯形（如下圖），引導學生通過觀察發(fā)現(xiàn)這些梯形的面積相等。

接著，筆者引導學生思考像這樣面積相等的梯形能畫出多少個，學生合作探究發(fā)現(xiàn)這樣的梯形有無數(shù)個。然后，筆者展示學生補畫的梯形，遮蓋該梯形的上底并提問：如果下底是4.5厘米，上底是多少？從而得出：求梯形的一條底，必須得把上底和下底看成一個整體。以此為引，筆者提出“上底最小可以是多少？這是一個怎樣的圖形”的問題。在學生想象出是無限接近三角形的圖形時，筆者用幾何畫板演示上底長度變?yōu)?，梯形變成了三角形的過程。此時學生發(fā)現(xiàn)三角形（即上底為0的梯形）面積公式S=（a+b）h÷2=（a+0）h÷2=ah÷2。最后，筆者又通過幾何畫板演示上底等于下底時，梯形變成了平行四邊形，并引導學生探究得出：當a=b時，平行四邊形的面積S=2ah÷2=ah。同理，如果是直角梯形，還可以推算出長方形的面積公式。

以上教學，教師用幾何畫板分別演示將梯形變成三角形、平行四邊形、長方形、正方形的過程，引導學生經(jīng)歷了梯形面積公式與其他4種圖形面積公式的轉(zhuǎn)化過程，理解了梯形面積公式是其他4種圖形面積的“通用公式”。這樣的重構與整合，使學生的頭腦中構建出一幅知識網(wǎng)絡圖，促進了學生幾何直觀的發(fā)展。

在拓展環(huán)節(jié)，筆者出示S=（10+5）×5÷2，提問學生：看到這個算式，你想到了哪些圖形？下面4個組合圖形（如下圖）的面積，哪些可以用這個算式表示。

學生獨立思考后討論、交流得出：A、B都可以利用公式計算得出;C是一個鈍角三角形，面積是5×（10+5）÷2;D是一個長方形，面積是（10+5）×（5÷2），4個都符合題目要求。這樣設計的目的是引導學生“以式想形”，多向溝通圖形之間的聯(lián)系，促進學生空間觀念和發(fā)散思維的發(fā)展。

三、統(tǒng)整數(shù)學文化，讓認知更豐富

筆者通過深入挖掘《多邊形的面積》這一單元蘊含的數(shù)學文化資源，建構學習線索，找到合適的切入點，將數(shù)學文化學習與探求新知融合，組織學生進行數(shù)學探究活動。以魏晉時期數(shù)學家劉徽發(fā)展并系統(tǒng)化了的重要方法——“出入相補”作為文化主線一以貫之，讓大單元整體教學承載更多的教育價值。

筆者借助“出入相補”這一核心問題的探究，以不同的方式將數(shù)學文化嵌入各個課時的學習中。在《平行四邊形的面積》總結環(huán)節(jié)，筆者引導學生回顧“轉(zhuǎn)化—找出關系—推導公式”的學習過程，將“青朱出入圖”以微課形式呈現(xiàn)，向?qū)W生介紹“出入相補”原理，重在使學生初步體驗轉(zhuǎn)化的方法。在學習“三角形和梯形的面積”時，學生先后經(jīng)歷“倍拼法”和“割補法”的探究過程，筆者適時引入“出入相補”，并向?qū)W生介紹《九章算術注》中有關邪田和箕田的面積公式推導方法，重在對轉(zhuǎn)化方法的拓展。這樣做既深化了學生對轉(zhuǎn)化思想的理解，又傳承了數(shù)學文化。

（作者單位：黃石市廣場路英才學校）

責任編輯? 劉佳