孫文軍

[摘? 要] 培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分運(yùn)用動(dòng)作、畫圖、轉(zhuǎn)換等策略、方式和方法，孕育、發(fā)展、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀能力。通過(guò)教師有意識(shí)的幾何直觀教學(xué)，幫助學(xué)生逐步形成一種“遇抽象畫形象”的思維意識(shí)、方式和習(xí)慣。幾何直觀能有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 幾何直觀;數(shù)學(xué)理解;小學(xué)數(shù)學(xué)

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要矛盾是數(shù)學(xué)的抽象與學(xué)生思維的直觀形象之間的矛盾，幾何直觀是化解這一矛盾的有效措施。對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，幾何直觀不僅具有工具性意義，更具有本體性的價(jià)值。換言之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用幾何直觀不僅是為了解決問題，同時(shí)也是助推學(xué)生理解知識(shí)。直觀是學(xué)生的一種天然學(xué)習(xí)力，它通常以感知作為基礎(chǔ)。正如德國(guó)偉大的思想家康德所指出的：人類具有一種先驗(yàn)直觀能力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分發(fā)掘數(shù)學(xué)學(xué)科中的直觀資源，運(yùn)用直觀化的手段、方法和策略，助推學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。借助幾何直觀，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、動(dòng)作：孕育學(xué)生的幾何直觀

所謂“直觀”，是指“運(yùn)用實(shí)物、圖形、符號(hào)等來(lái)描述、分析問題，從而讓問題變得簡(jiǎn)明、形象的一種手段、方式和方法”。形象、簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)直觀，能有效地啟發(fā)學(xué)生思考問題，幫助學(xué)生描述、分析、理解問題的本質(zhì)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生找到問題解決思路、策略。哲學(xué)家通常認(rèn)為，直觀就是未經(jīng)充分地推理而對(duì)事物本質(zhì)的一種直接把握，帕斯卡爾的“敏感性精神”，胡塞爾的“現(xiàn)象學(xué)直觀”，其意義均在于此。而心理學(xué)家則認(rèn)為，直觀是從感覺到的具體對(duì)象背后，發(fā)現(xiàn)、抽象的一種能力。

從嚴(yán)格意義來(lái)說(shuō)，動(dòng)作、實(shí)物、符號(hào)等不能稱為幾何直觀，但這并不是說(shuō)在應(yīng)用幾何直觀教學(xué)過(guò)程中動(dòng)作、實(shí)物、符號(hào)等無(wú)意義。在小學(xué)低中學(xué)段教學(xué)中，有些學(xué)生還不能解讀幾何直觀圖形，因?yàn)檫@時(shí)候他們的思維還是以直觀動(dòng)作為主。為此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助直觀動(dòng)作來(lái)表征，逐步從實(shí)物、動(dòng)作等直觀向圖形直觀過(guò)渡。比如教學(xué)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（一）》（蘇教版三年級(jí)上冊(cè)），在引導(dǎo)學(xué)生將幾個(gè)物體、一個(gè)物體等平均分的操作中，在建立了分?jǐn)?shù)概念之后，筆者重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生借助幾何圖形來(lái)進(jìn)行操作。如給學(xué)生提供大小不同以及大小相同的長(zhǎng)方形紙、圓形紙、正方形紙等，讓學(xué)生折一折、畫一畫、比一比。在小組交流中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，盡管彼此折紙后的每一份的形狀、大小各不相同，但卻表示相同的分?jǐn)?shù)。在比較中，學(xué)生展開分類分析和聚類分析，對(duì)分?jǐn)?shù)的意義獲得了深刻的感悟，即“分?jǐn)?shù)的大小只與平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)有關(guān)”“分?jǐn)?shù)都表示將單位‘1平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)”等。通過(guò)感知、操作，積累學(xué)生的感性活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培育學(xué)生的幾何直觀能力。這種運(yùn)用幾何圖形來(lái)對(duì)代數(shù)問題進(jìn)行研究的方式，是學(xué)生幾何直觀的重要方式。

小學(xué)低中年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知水平處于“直觀動(dòng)作”向“具體形象”過(guò)渡的階段。借助幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，能幫助學(xué)生積累幾何直觀活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有了對(duì)幾何形體的操作，學(xué)生就建立了數(shù)與形之間的初步關(guān)聯(lián)，這是學(xué)生幾何直觀意識(shí)的萌芽。

二、畫圖：發(fā)展學(xué)生的幾何直觀

幾何直觀是一種學(xué)習(xí)意識(shí)，也是一種學(xué)習(xí)能力。幾何直觀是一個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，也是一個(gè)學(xué)習(xí)結(jié)果。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生看圖、讀圖、想圖、畫圖，這是發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的重要環(huán)節(jié)。借助直觀圖形，能將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形有機(jī)結(jié)合。作為教師，要培養(yǎng)學(xué)生的畫圖意識(shí)，提升學(xué)生的畫圖能力;要激發(fā)學(xué)生的畫圖興趣，教給學(xué)生畫圖方法，幫助學(xué)生積累畫圖經(jīng)驗(yàn)。通過(guò)畫圖，讓復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，讓隱蔽的問題明朗化，讓抽象的問題直觀化。

比如教學(xué)《乘法分配律》（蘇教版四年級(jí)下冊(cè)）這一部分內(nèi)容，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，教師可以創(chuàng)編出很多蘊(yùn)含“乘法分配律”算法的實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過(guò)程中，形成關(guān)于“乘法分配律”的積極猜想。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證。教師的通常教法是：出示一個(gè)“乘法分配律”的算式，讓學(xué)生對(duì)之賦予意義，然后對(duì)之進(jìn)行計(jì)算。這樣，既從意義上又從計(jì)算結(jié)果上讓學(xué)生對(duì)“乘法分配律”形成深刻的理解。但筆者發(fā)現(xiàn)，盡管許多學(xué)生經(jīng)歷了這一過(guò)程，但對(duì)“乘法分配律”的形式認(rèn)識(shí)依然膚淺。筆者在教學(xué)中，借助幾何直觀，讓學(xué)生形成鮮明、直觀的“乘法分配律”的表象。教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生先畫出一個(gè)長(zhǎng)方形，標(biāo)注長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬;然后引導(dǎo)學(xué)生以畫出的長(zhǎng)方形的寬為寬，畫出不同長(zhǎng)度的長(zhǎng)方形。由此，兩個(gè)等寬的長(zhǎng)方形組合成了一個(gè)大長(zhǎng)方形。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算大長(zhǎng)方形的面積。通過(guò)畫圖、計(jì)算，學(xué)生有效地建立了“乘法分配律”的數(shù)學(xué)模型。通過(guò)實(shí)實(shí)在在地畫圖，豐富了學(xué)生的“乘法分配律”的數(shù)學(xué)模型表象。不僅引導(dǎo)了學(xué)生用圖形來(lái)思考，更培育了學(xué)生的空間觀念。

蘇聯(lián)著名的數(shù)學(xué)家A.N.柯爾莫戈洛夫說(shuō)過(guò)：“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要給學(xué)生提供豐富的畫圖素材，明確畫圖的內(nèi)容，豐富畫圖的形式，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)與形結(jié)合起來(lái)。如此，學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，就能科學(xué)、合理、快捷地解決問題。從這個(gè)意義上說(shuō)，“幾何直觀”是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要載體、媒介、抓手。

三、轉(zhuǎn)換：提升學(xué)生的幾何直觀

學(xué)生的幾何直觀能力的主要標(biāo)識(shí)是學(xué)生能進(jìn)行數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換。所謂“數(shù)形轉(zhuǎn)換”，是指“學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能從數(shù)、式想到圖、形，又能通過(guò)圖、形想到數(shù)、式”。作為教師，一方面要加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的教學(xué)，突出數(shù)形轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練;另一方面要開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，讓數(shù)與形有效地融通、融合。通過(guò)數(shù)形轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)學(xué)生“從數(shù)看形”“從形看數(shù)”的能力，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)形互換的能力。

幾何直觀整合了學(xué)生的抽象思維與形象思維，是一種高效的思維方式。培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力是一個(gè)潛移默化、逐漸滲透的過(guò)程。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地認(rèn)識(shí)幾何直觀、構(gòu)造幾何直觀、運(yùn)用幾何直觀。要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀意識(shí)、能力，幫助學(xué)生逐步形成一種“遇抽象畫形象”的思維意識(shí)、方式和習(xí)慣。幾何直觀降低了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，幫助學(xué)生輕松開啟了數(shù)學(xué)探究之旅。