張良江 虞蘇艷

摘? 要：某些類型的初中數(shù)學(xué)題直接求解思路會(huì)比較繁雜，解題過程冗長. 在解決填空題、選擇題等不需要呈現(xiàn)解題過程的題目時(shí)，可以根據(jù)題目的特點(diǎn)采用特殊值法進(jìn)行求解. 特殊值法解題有其獨(dú)特的優(yōu)越性，是對解題方法的有益補(bǔ)充.

關(guān)鍵詞：特殊值法;化繁為簡;幾何直觀

對于初中數(shù)學(xué)中的某些問題，有時(shí)直接求解會(huì)比較難以入手，此時(shí)往往可以先考慮某些簡單的特例，通過解答這些特例，最終達(dá)到解決原題的目的. 這種解題方法被稱為“特殊值法”.

特殊值法解題的邏輯依據(jù)是：對于一般性成立的結(jié)論，特殊值必然成立;而當(dāng)特殊值成立時(shí)，一般性的結(jié)果未必成立. 雖然特殊情形只是一般性結(jié)論的必要條件，但如果題目只要求從若干結(jié)論中選取一種，特殊值法不失為一種有效的方法. 特殊值法不僅適用于諸如選擇題、填空題等不需要提供解答過程，只需要結(jié)果的客觀性題目，而且對那些結(jié)果不是很明確的求解或探究類題目，也可以借助特殊值法為問題的求解及結(jié)果指明方向. 特殊值法是從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想和極端化思想的集中體現(xiàn).

從廣義的角度看，所謂特殊值，不僅指特殊的數(shù)值，更是涵蓋了特殊圖形、特殊位置，甚至特殊信息、特殊方法等. 下面結(jié)合實(shí)例，探討特殊值法在初中數(shù)學(xué)解題中的廣泛應(yīng)用.

一、任意數(shù)值取特值，化繁為簡巧排除

由于選擇題和填空題不需要呈現(xiàn)解題過程，僅考查結(jié)果，因此對于那些可以取任意實(shí)數(shù)或字母取值范圍明確的選擇題和填空題，就可以在允許的范圍內(nèi)選取合適的特值，用具體的數(shù)值代替相關(guān)字母，從而得到結(jié)果.

例1? 正實(shí)數(shù)[a，b，c，d]滿足[a+b+c+d=1.] 設(shè)[p=3a+1+3b+1+3c+1+3d+1，] 則（??? ）.

（A）[p>5]?????? （B）[p=5]

（C）[p<5]?????? （D）[p]與5的大小關(guān)系不確定

答案：A.

解：因?yàn)閇a，b，c，d]均為正實(shí)數(shù)，且[a+b+c+d=1，]

所以一定有[0<a<1，0<b<1，0<c<1，0<d<1.]

首先，證明[3x+1>x+1.]

將上式兩邊同時(shí)平方，得[3x+1>x2+2x+1.]

所以[x2-x=xx-1<0.]

而此時(shí)[0<x<1.]

可見上式顯然成立.

于是有[3a+1>a+1， 3b+1>b+1， 3c+1>][c+1， 3d+1>d+1.]

將上述四式相加，得[p=3a+1+3b+1+3c+1+]

[3d+1>a+b+c+d+4=5，]

即[p>5.]

這樣由條件逐級推證出結(jié)論的過程，涉及了較復(fù)雜的推理與運(yùn)算，綜合程度高，學(xué)生難以駕馭. 由于條件中給出[a，b，c，d]均為正實(shí)數(shù)，且[a+b+c+d=1，] 故考慮取特殊值進(jìn)行排除與破解.

特殊值法：因?yàn)閇a，b，c，d]均為正實(shí)數(shù)，且[a+b+][c+d=1，]

所以不妨設(shè)[a=b=c=d=14.]

則[p=3a+1+3b+1+3c+1+3d+1=28.]

因?yàn)閇28 >25=5，]

所以[p>5.]

例2? 把多項(xiàng)式[2aa+12+a4-a2+1]分解因式，以下選項(xiàng)正確的是（??? ）.

（A）[a2+a-12]?????? （B）[a2-a+12]

（C）[a2+a+12]?????????? （D）[a2-a-12]

答案：C.

解法1：原式 =[a4+2a3+3a2+2a+1]

[=a2a2+2a+3+2a+1a2]

[=a2a2+1a2+2a+1a+3]

?????????????????????????????????????????????[=a2a+1a2+2a+1a+1]

[=a2a+1a+12]

[=a2+a+12.]

解法2：令原式 =[a2+xa+ya2+ma+n=a4+m+xa3+]

[mx+y+na2+nx+mya+ny.]

因?yàn)樵?=[a4+2a3+3a2+2a+1，]

所以[m+x=2，mx+y+n=3，nx+my=2，ny=1.]

聯(lián)立方程組，解得[x=y=m=n=1.]

所以原式[=a2+a+1a2+a+1=a2+a+12.]

直接分解時(shí)，需要對原式進(jìn)行合理的分組變形，需要較高的解題技巧，對學(xué)生的解題能力要求較高. 考慮到因式分解與多項(xiàng)式乘法互為逆運(yùn)算，因此判斷因式分解的正確性，可以從結(jié)論出發(fā)，將原式及各選項(xiàng)進(jìn)行展開、合并，從而得出正確的判斷. 因此，當(dāng)字母取相同數(shù)值時(shí)，原式與因式分解后所得的式子的值應(yīng)該相等，所以可以取字母允許的某些數(shù)值代入計(jì)算結(jié)果，從而進(jìn)行判斷.

特殊值法：取[a=1，] 代入得原式 = 9. 將[a=1]分別代入四個(gè)選項(xiàng)：選項(xiàng)A的結(jié)果為1，選項(xiàng)B的結(jié)果為1，選項(xiàng)C的結(jié)果為9，選項(xiàng)D的結(jié)果為1. 故此題選C.

需要強(qiáng)調(diào)的是，類似此例的處理方式，若有兩個(gè)或兩個(gè)以上選項(xiàng)的值與原式的值相吻合，應(yīng)另取數(shù)值代入進(jìn)行檢驗(yàn). 例如，在本例中，若取[a=0，] 則原式的值為1. 而A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)的值也均為1，顯然應(yīng)另取其他的數(shù)值，再進(jìn)行檢驗(yàn)與排除.

采用特殊值法解選擇題或填空題是一種化繁為簡的方法. 雖然有猜測的嫌疑，但選擇題和填空題的特點(diǎn)使這種猜測具有較好的科學(xué)性，往往事半功倍，不失為一種有實(shí)際效用的方法.

二、動(dòng)點(diǎn)取特殊位置，撥云見日妙求值

對于一些定值型的動(dòng)點(diǎn)問題，可以設(shè)定特殊的位置獲得定值. 例如，對于線段上任意一點(diǎn)，一般來說，我們可以取該線段的中點(diǎn)或端點(diǎn).

例3? 如圖1，扇形AOB的半徑為6，[∠AOB=90°，] 等邊三角形CDE的頂點(diǎn)C，D，E分別在OA，OB，[AB]上. 點(diǎn)P為△CDE的外心，則OP的長為?????? .

答案：[23.]

解：如圖2，取CD中點(diǎn)M，連接OM，EM，OE，OP.

則[OMEM]=[12CD32CD=33， PMOM=13EM12CD=33.]

所以[OMEM]=[PMOM.]

所以△OMP ∽ △EMO.

所以[OPOE=OP6=33.]

所以[OP=23.]

上述解法需要添加多條輔助線，圖形各元素間內(nèi)在的關(guān)系不易想到，且對學(xué)生的運(yùn)算能力要求較高. 由于等邊三角形CDE的頂點(diǎn)C，D，E分別在OA，OB，[AB]上，且等邊三角形的邊長并未固定. 換言之，此題的結(jié)論與三角形的邊長或各頂點(diǎn)的位置無關(guān)，因此，可以考慮取特殊位置進(jìn)行突破.

特殊值法：如圖3，使點(diǎn)C，D分別與點(diǎn)O，B重合，則點(diǎn)E在[AB]上. 此時(shí)[OMOP=3OP=cos 30°=32.] 所以[OP=23].

例4? 如圖4，設(shè)O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，AD，BE，CF過點(diǎn)O且分別交邊BC，AC，AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，則[ODAD]+[OEBE]+[OFCF]的值為??????? .

答案：1.

解：如圖5，分別過點(diǎn)O，A作線段BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)H，G.

則[ODAD=OHAG=BC · OHBC · AG=S△BOCS△ABC.]

同理，[OEBE=S△AOCS△ABC， OFCF=S△AOBS△ABC.]

所以[ODAD+OEBE+OFCF=S△BOCS△ABC+S△AOCS△ABC+S△AOBS△ABC=S△ABCS△ABC=1.]

回看此題，點(diǎn)O為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，所求為[ODAD+][OEBE+OFCF]的值. 判斷所求值與點(diǎn)O的具體位置無關(guān)，因此可以將點(diǎn)O置于某些特殊位置以簡化求解.

特殊值法：設(shè)點(diǎn)O為△ABC的重心，則由重心的性質(zhì)易知[ODAD+OEBE+OFCF=13+13+13=1.]

三、一般圖形取特殊形，直截了當(dāng)觸要害

當(dāng)題目中的圖形為符合一定條件的任意幾何圖形時(shí)，我們不妨在大前提不變的情況下采用一些特殊的圖形來研究問題，有時(shí)候會(huì)起到意想不到的效果.

例5? 如圖6，在[△ABC]中，[∠ACB=100°，AC=AE，][BC=BD，] 則[∠DCE]的度數(shù)為 ??? .

答案：40°.

解：因?yàn)閇AC=AE，BC=BD，]

所以可設(shè)[∠AEC=∠ACE=x，∠BDC=∠BCD=y.]

則[∠A=180°-2x，∠B=180°-2y.]

因?yàn)閇∠ACB+∠A+∠B=180°，]

所以[100°+180°-2x+180°-2y=180°.]

所以[x+y=140°.]

所以[∠DCE=40°.]

題目條件中給出[∠ACB=100°]及[AC=AE，BC=][BD，] 要求[∠DCE]的度數(shù). 分析[∠DCE]的度數(shù)應(yīng)該與[∠A]和[∠B]的度數(shù)無關(guān)，于是將[∠A]和[∠B]特殊化.

特殊值法：不妨設(shè)[∠A=∠B=40°，] 則[∠CDB=][∠CED=70°.] 于是[∠DCE=40°.]

例6? 如圖7，在[△ABC]中，[∠ACB=90°，AB=2，]點(diǎn)[I]是[△ABC]的內(nèi)心，[CI]的延長線交[△ABC]的外接[⊙O]于點(diǎn)[D，] 則[DI]的長為（??? ）.

（A）[3]?????????? （B）2?????? （C）[2]?????????? （D）1

答案：C.

解：如圖8，連接AI，AD，BD.

由點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，得

∠ACD = ∠BCD，∠CAI = ∠BAI.

因?yàn)椤螪AB = ∠BCD，

所以∠DAB = ∠ACD.

所以∠DAB + ∠BAI = ∠ACD + ∠CAI，

所以∠DAI = ∠AID.

所以DA = DI.

由∠ACB = 90°，可知AB是[⊙O]的直徑.

由∠ACD = ∠BCD，得AD = BD.

所以△ABD是等腰直角三角形.

由AB = 2，易求得[DI=2].

此題中，由于點(diǎn)C的位置任意，僅需滿足∠ACB = 90°這個(gè)條件即可，同時(shí)原題中只有線段AB的長度為定值，由此斷定結(jié)論與點(diǎn)C的位置無關(guān)，即與Rt△ABC的形狀無關(guān). 因此，考慮使△ABC為等腰直角三角形，以特殊圖形代替一般圖形.

特殊值法：如圖9，設(shè)△ABC為等腰直角三角形，則CI必過圓心，即CD必為[⊙O]的直徑.

所以CD = AB = 2.

過點(diǎn)I作IE ⊥ AC于點(diǎn)E，

則由I是△ABC的內(nèi)心，知IO = IE.

易知△CIE為等腰直角三角形.

所以[CI=2IE=2IO.]

令[IO=x，] 則[CI=2x.]

由[CI+IO=1，] 得[2+1x=1.]

解得[x=2-1.]

所以[DI=DO+OI=1+2-1=2.]

四、幾何直觀催生特值，避實(shí)擊虛顯奇效

有些綜合性較強(qiáng)的題目，主要考查的是學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解與感悟，而非純粹的計(jì)算或煩瑣的推理. 有些幾何題中包含著豐富的幾何直觀素材，這需要我們對圖形有較強(qiáng)的敏感度. 恰當(dāng)?shù)亟柚鷰缀沃庇^，采用特殊值法解決問題，往往是不錯(cuò)的選擇.

例7? 圖10是反比例函數(shù)[y=2x]在第一象限內(nèi)的圖象，A，B為該圖象上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且[AB=4，] 若點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，則線段OM的最小值為（??? ）.

（A）2?????????????????? （B）[22]

（C）[23]?????????????? （D）[22-1]

答案：B.

解：設(shè)[Aa， 2a，Bb， 2b.]

因?yàn)辄c(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為[Ma+b2， 1a+1b.]

因?yàn)锳B = 4，

所以[a-b2+2a-2b2=16，]

即[a2+b2-2ab+4a2+4b2-8ab=16.]

所以[a2+b2+4a2+4b2=16+2ab+8ab.]

所以[OM2=a+b22+1a+1b2=14a2+2ab+b2+1a2+][2ab]+[1b2=14a2+b2+4a2+4b2+12ab+2ab=4+12ab+2ab+]

[12ab+2ab=4+ab+4ab=8+ab-2ab2≥8，]

即[OM2≥8.]

所以O(shè)M的最小值為[22.]

上述解題的推理難度較高，對于一般程度的學(xué)生來說，就算是給予針對性地指導(dǎo)，也未必能夠完全接受. 觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)，在線段AB沿著x軸從左向右運(yùn)動(dòng)的過程中，線段OM的長度是先由長到短，再由短到長的，反之亦然. 根據(jù)反比例函數(shù)圖象的軸對稱性（[y=2x]的圖象關(guān)于直線y = x成軸對稱）知，當(dāng)線段OM與圖象處于同樣的對稱狀態(tài)，即點(diǎn)M位于直線y = x上時(shí)，線段OM最短.

特殊值法：如圖11，點(diǎn)M在第一象限角平分線上，且OM⊥AB，分別過點(diǎn)A，B作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)P，Q. 根據(jù)對稱性，易知兩垂線的交點(diǎn)在OM上，設(shè)為點(diǎn)N.

顯然，△ABN為等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為[Na，a，]

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為[Ba+22，a.]

由[a+22a=2，]

解得[a1=-2+2，a2=-2-2]（舍）.

所以[ON=22-2.]

所以[OM=ON+NM=22-2+2=22.]

例8? 如圖12，已知∠MON = 30°，邊長為3的等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A在射線OM上移動(dòng)，頂點(diǎn)B在射線ON上隨之移動(dòng)，則線段CO的最大值為 ??? .

答案：[33+3.]

解：如圖13，在△OAB中，因?yàn)椤螦OB = 30°，且AB = 3，若AB的位置固定，則點(diǎn)O的移動(dòng)路線是以AB為弦，所對的圓周角為30°的⊙P.

其中，∠APB = 2∠AOB = 60°，

即△ABP為等邊三角形.

點(diǎn)C在⊙P的外部，而點(diǎn)O為⊙P上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)O，P，C三點(diǎn)共線且點(diǎn)P位于點(diǎn)O，C之間時(shí)，線段OC的長度最大，

易求得線段OC的最大值為[33+3.]

分析題意，可知點(diǎn)A在射線OM上移動(dòng)，帶動(dòng)了點(diǎn)B及△ABC位置的改變，在點(diǎn)A自左向右移動(dòng)的過程中，線段OC的長度經(jīng)歷了由長到短，再由短到長的變化過程. 由角的軸對稱性可知，當(dāng)△ABC與∠MON處于同樣的對稱狀態(tài)，即點(diǎn)C位于∠MON的角平分線上，亦即OC垂直平分AB時(shí)，線段OC的長度最大.

特殊值法：如圖14，連接OC，當(dāng)OC垂直平分AB時(shí)，線段OC的長度最大.

此時(shí)∠ACO = 30°，∠AOC = 15°.

在OC上取點(diǎn)P，使∠OAP = 15°，易知∠OBP = 15°.

則OP = AP = BP，且△APB是邊長為3的等邊三角形.

所以[PC=33.]

所以[OC=OP+PC=3+33.]

五、結(jié)束語

特殊值法在解題中的應(yīng)用，遠(yuǎn)不止上述所列舉的幾類. 適宜用特殊值法求解的題目通常具備特殊的代數(shù)或幾何結(jié)構(gòu)、特殊的圖形、特殊的數(shù)據(jù)或特殊的命題表述. 雖然特殊值法的運(yùn)用會(huì)受到一些條件的制約，但這種“巧用”卻是解題方法的重要補(bǔ)充. 要想活用特殊值法解題，不僅需要學(xué)生具有敏銳的觀察力，更需要其具有嚴(yán)謹(jǐn)而深刻的邏輯判斷能力. 恰當(dāng)使用特殊值法，能夠有效降低題目的求解難度，實(shí)現(xiàn)化繁為簡.

要想讓學(xué)生正確、有效，且主動(dòng)地應(yīng)用特殊值法求解題目，需要教師在平時(shí)的教學(xué)中有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行全方位地深入審題，既明晰題目的一般呈現(xiàn)狀態(tài)，又善于挖掘題目潛在的特殊狀態(tài)，巧妙地進(jìn)行一般與特殊的相互轉(zhuǎn)化，使學(xué)生既具有直面一般狀態(tài)的過硬基本功，又有適時(shí)、合理地使用特殊值法解題的意識(shí)與能力，兩者互為補(bǔ)充，優(yōu)化思維品質(zhì)，提高學(xué)生的學(xué)業(yè)水平，為學(xué)生的長足發(fā)展奠定基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

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