馬群飛

摘要：思辨能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要能力，學(xué)生思辨能力的培養(yǎng)，能引導(dǎo)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，有效促進(jìn)其分析能力和推理能力，對(duì)學(xué)業(yè)及將來(lái)事業(yè)的發(fā)展具有極其重要的影響。小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)經(jīng)常通過數(shù)形結(jié)合進(jìn)行思辨，但小學(xué)生的年齡特點(diǎn)決定著他們?nèi)狈ωS富的空間想象能力、聯(lián)結(jié)推理能力。而幾何畫板這個(gè)軟件就能很好地化靜為動(dòng)，化抽象為直觀，實(shí)現(xiàn)思維可視，有助于培養(yǎng)思辨能力。本文試圖通過幾何畫板有效解決“三角形等積變形”圖形問題，探究挖掘知識(shí)本源，運(yùn)用系列習(xí)題培育學(xué)生思辨能力，從而尋找到提升小學(xué)生高階思維能力的有效途徑。

關(guān)鍵詞：尋根溯源;思辨能力;幾何畫板;路徑

“數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”，從這一概念中就可以看出數(shù)與形對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，而數(shù)學(xué)又是一門高度抽象、邏輯嚴(yán)密的學(xué)科，自然就造成了對(duì)部分知識(shí)的學(xué)習(xí)困難，無(wú)法很好地進(jìn)行數(shù)形結(jié)合、聯(lián)結(jié)知識(shí)的本質(zhì)進(jìn)行思辨，眾多的教學(xué)難點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)困難，信心不足，甚至談“數(shù)”色變，害怕數(shù)學(xué)。而隨著信息技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)教學(xué)中能夠有機(jī)地融合現(xiàn)代信息技術(shù)，使得數(shù)與形能恰到好處地進(jìn)行結(jié)合，進(jìn)而生動(dòng)地呈現(xiàn)、質(zhì)疑，激發(fā)學(xué)生的空間想象、猜測(cè)和推理，最后得到實(shí)證，降低理解難度，突破教學(xué)難點(diǎn)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣。運(yùn)用這一路徑，有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思辨能力，提升高階思維能力。

一、屢做屢錯(cuò)，原因何在

在平時(shí)的教學(xué)中，下面這樣的習(xí)題在反復(fù)練習(xí)中，錯(cuò)誤并沒有減少，形式稍有改變，學(xué)生就照錯(cuò)不誤。

求下圖中陰影部分的面積。

學(xué)生為什么會(huì)屢做屢錯(cuò)？經(jīng)筆者分析原因就在于以下幾個(gè)方面。

（一）課堂教學(xué)形式少

課堂教學(xué)中，很多教師往往都是憑借經(jīng)驗(yàn)在進(jìn)行教學(xué)。沒有對(duì)學(xué)生進(jìn)行精準(zhǔn)分析，沒有合理運(yùn)用現(xiàn)代教學(xué)手段豐富學(xué)習(xí)素材和學(xué)習(xí)方式，就會(huì)出現(xiàn)與學(xué)生之間的斷層。因理解不深刻，記憶不鮮明，經(jīng)過一段時(shí)間的沉淀后就無(wú)法靈活調(diào)用知識(shí)進(jìn)行合理的運(yùn)用。

（二）習(xí)題設(shè)計(jì)缺聯(lián)系

教學(xué)新知以后的練習(xí)鞏固，往往是用教材所提供的習(xí)題進(jìn)行單一練習(xí)，缺少對(duì)練習(xí)的深入分析，挖掘知識(shí)之間的前后聯(lián)系。缺少對(duì)練習(xí)題進(jìn)行重整、拓展和聯(lián)系，只是單純的題教，而不是類教，因此達(dá)不到舉一反三、舉三反一、系統(tǒng)聯(lián)合、綜合運(yùn)用的效果。

（三）知識(shí)整理少結(jié)構(gòu)

教師往往忽視整理的作用，只讓學(xué)生在練習(xí)過程中以錯(cuò)糾錯(cuò)，忽視對(duì)知識(shí)的梳理，作結(jié)構(gòu)化的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)，不能用整體的眼光去看知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生學(xué)到的知識(shí)零碎，雜亂又無(wú)序，一到用時(shí)就無(wú)從下手。去雜亂無(wú)序的抽屜和去整潔有序的抽屜中尋找作業(yè)本一樣，結(jié)果可想而知。

二、利用幾何畫板培養(yǎng)思辨能力

在教學(xué)中我常常思考：如何教學(xué)才能降低孩子學(xué)習(xí)理解的難度，讓學(xué)生獲得鮮明的感知，再進(jìn)行有效的聯(lián)結(jié)，有序系統(tǒng)的整理，從而幫助學(xué)生更深刻地理解與記憶，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思辨能力，進(jìn)而提高學(xué)生的高階思維能力。

（一）研究的源起

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：“數(shù)學(xué)的發(fā)展過程標(biāo)明，再抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論總能找到相對(duì)直觀的表征和解釋。運(yùn)用直觀手段是數(shù)學(xué)研究的重要方式，更應(yīng)成為我們處理和組織課堂內(nèi)容的重要方式。數(shù)學(xué)知識(shí)的形成依賴于直觀，數(shù)學(xué)知識(shí)的確立依賴于推理。”

不“思”難以啟智，不“辨”難以明理，而幾何畫板的一些功能，能很好地幫助學(xué)生進(jìn)行猜想、操作、驗(yàn)證，化抽象為直觀，化想象為現(xiàn)實(shí)，有效地培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力。

（二）概念的界定

1.“幾何畫板”

幾何畫板（The Geometers Sketchpad）軟件是由美國(guó)Key Curriculum Press公司制作并出版的優(yōu)秀教育軟件，可以做出各種各樣的幾何圖形，是適用于數(shù)學(xué)教學(xué)的軟件平臺(tái)。

2.“思辨能力”

思考辨析能力，是一種抽象思維能力?！八肌敝傅氖欠治?、推理、判斷等思維活動(dòng);“辨”指的是對(duì)問題的情況、類別、原理等進(jìn)行辨別分析。

幾何畫板以數(shù)學(xué)為根本，以“動(dòng)態(tài)幾何”為特色來(lái)表現(xiàn)圖形內(nèi)在規(guī)律，幫助實(shí)現(xiàn)思維可視，使我們?cè)谥匾曋庇^的同時(shí)，使學(xué)生的思辨能力得到發(fā)展。

（三）實(shí)施的路徑

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的有力工具，有效地改進(jìn)教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂意并有可能投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去?！薄皫缀萎嫲濉避浖暮侠硎褂檬蛊涑蔀楝F(xiàn)實(shí)提供有力的路徑。下面試從三角形等積變形的教學(xué)中，幾何畫板的具體運(yùn)用來(lái)探尋學(xué)生思辨能力培養(yǎng)的實(shí)施路徑。

教學(xué)總路徑：

整個(gè)知識(shí)的架構(gòu)分起始課、練習(xí)課、拓展課三課時(shí)進(jìn)行。用這樣的三個(gè)課時(shí)，進(jìn)行知識(shí)之間的聯(lián)結(jié)，梳理知識(shí)的脈絡(luò)，明晰知識(shí)的本質(zhì)。在解決問題的過程中不斷提高學(xué)生的思辨能力，從基礎(chǔ)到拓展，層層深入，抽絲剝繭，抓住實(shí)質(zhì)以不變應(yīng)萬(wàn)變，使學(xué)生的高階思維能力得到不斷地發(fā)展。

1.跟進(jìn)練習(xí)課，提升“認(rèn)知”

三角形等積變形的本質(zhì)是底和高相等，乘積相等，其實(shí)質(zhì)仍是“平行線間的距離處處相等”。與之相關(guān)的練習(xí)，學(xué)生最早接觸的是平行四邊形在平行線間的變化。以往的教學(xué)中只能運(yùn)用畫一畫、或者用課件展示一下移動(dòng)的過程。但幾何畫板不僅僅能體現(xiàn)畫的過程和移動(dòng)的過程，更是把高的變化與數(shù)結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)一個(gè)推理、驗(yàn)證的實(shí)驗(yàn)過程，從而對(duì)這一實(shí)質(zhì)有更深刻的認(rèn)識(shí)。

路徑一：練習(xí)課教學(xué)思路

練習(xí)課中設(shè)計(jì)平行線間的平行四邊形、梯形、三角形中的相關(guān)練習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)到高相等，底相等，面積也相等：圖形的變化中，底不變，高是平行線間的距離，而平行線間的距離處處相等。

平行線間的平行四邊形：

先觀察，比較下面兩個(gè)圖形面積的大小。（見圖4）

指名回答。

請(qǐng)同學(xué)們想辦法用事實(shí)來(lái)說話！

測(cè)量出數(shù)據(jù)，計(jì)算一下。

發(fā)現(xiàn)了什么？為什么呢？

對(duì)，平行線間的距離處處相等。請(qǐng)看：（幾何畫板進(jìn)行直觀演示）

你看到了什么？

是的，像這樣在平行線間的平行四邊形，同底等高。同底等高的平行四邊形面積相等，也就是說等底等高的平行四邊形面積相等。

平行線間的梯形：

請(qǐng)計(jì)算下面這三個(gè)梯形的面積（方格邊長(zhǎng)1厘米）。

你發(fā)現(xiàn)了什么？

三個(gè)梯形的面積相等。

為什么呢？

高相等（高的概念、平行線間的距離處處相等），底相等（上底加下底的和相等），積相等。

還可以進(jìn)行拖動(dòng)進(jìn)行變換進(jìn)行驗(yàn)證，調(diào)整上下底的數(shù)據(jù)，但是保持上下底之和始終相等，加深對(duì)等積變形本質(zhì)的理解。

而在學(xué)習(xí)三角形面積之后緊跟著做相似的練習(xí)，再次鞏固等積變形的“實(shí)質(zhì)”。

請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算下圖中三角形的面積。（見圖7）

交流反饋。

他們想得對(duì)嗎？有同學(xué)還有困難，請(qǐng)看：（幾何畫板動(dòng)態(tài)演示）

現(xiàn)在，你知道了嗎？

你能比較下圖中兩個(gè)三角形的面積嗎？

等底等高三角形面積相等，兩個(gè)面積相等的三角形減去同一個(gè)三角形。

利用幾何畫板拖曳功能，用不同的顏色進(jìn)行標(biāo)注、對(duì)比，真正讓學(xué)生在思辨中聯(lián)系、架構(gòu)，進(jìn)而提升對(duì)等底等高等面積的理解——平行線間的距離處處相等。

2.補(bǔ)充拓展課，思辨“本質(zhì)”

有了前面的起始課和練習(xí)課的認(rèn)識(shí)，更進(jìn)一步設(shè)計(jì)項(xiàng)目學(xué)習(xí)。通過項(xiàng)目學(xué)習(xí)把所學(xué)的知識(shí)通過思辨內(nèi)化為技能，達(dá)到深度學(xué)習(xí)和理解。

路徑二：拓展課教學(xué)思路（見圖11）

拓展課中，通過嘗試、回溯與變式這三個(gè)練習(xí)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生辨析本質(zhì)，判斷、聯(lián)系溝通各練習(xí)，使學(xué)生能對(duì)復(fù)雜的練習(xí)，去偽存真，挖掘其數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，從而正確地解決問題。

嘗試——尋真求是

請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立練習(xí)：

交流反饋進(jìn)行回顧：平行線間的距離處處相等，等底等高的三角形面積相等。用幾何畫板對(duì)學(xué)生的想法進(jìn)行說明。（見圖13）

回溯——格物致知

拖動(dòng)點(diǎn)L、M、N，使它們慢慢重合，觀察面積的變化，感受形狀在變，面積不變。并分析原因。

變式——思變思辨

再次嘗試求出同樣的兩個(gè)正方形中構(gòu)成的不同三角形的面積：（見圖15）

四人小組討論交流。

學(xué)生在畫板上操作，嘗試自己的想法。

重點(diǎn)指導(dǎo)第一個(gè)圖形：

圖中為什么要畫這條虛線？

為什么兩條對(duì)角線是平行的？

請(qǐng)繼續(xù)研究：

你還能有其它的變化嗎？

通過這節(jié)課的變式拓展，喚起學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，靈活地運(yùn)用“平行線之間的距離處處相等”這一知識(shí)源探索圖形的變化及特點(diǎn)。

在這個(gè)內(nèi)容的教學(xué)中，先挖掘出“本源”，然后在各起始課中利用幾何畫板“化靜為動(dòng)”，生動(dòng)地進(jìn)行理解與聯(lián)系，幫助學(xué)生辨析高的本質(zhì)。在不斷地探究中打開學(xué)生的思路，辨析問題實(shí)質(zhì)，延伸思維觸角，靈活運(yùn)用圖形知識(shí)解決問題，高強(qiáng)度地培養(yǎng)空間想象能力，有效發(fā)展學(xué)生思辨能力。

三、收獲與期望

《課標(biāo)》指出：“作為課程的數(shù)學(xué)內(nèi)容在充分展示它獨(dú)有的抽象性的同時(shí)，還要考慮到學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的可接受性和心理適應(yīng)性。因此，采用恰當(dāng)?shù)闹庇^性手段就顯得很有必要?！?/p>

本文試圖讓大家感受到幾何畫板的動(dòng)圖功能對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的輔助作用。借助幾何畫板的“動(dòng)點(diǎn)”幫助學(xué)生在聚焦知識(shí)“本源”、提升“認(rèn)知”、思辨“本質(zhì)”的過程中，在有效解決圖形問題的教學(xué)路徑中讓學(xué)生經(jīng)歷解決復(fù)雜問題的全過程。問題即使再?gòu)?fù)雜，但只要能思辨問題的實(shí)質(zhì)，抓住本質(zhì)，就能去偽存真，靈活地運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系與溝通，通過數(shù)形結(jié)合、化靜為動(dòng)等手段，找到正確的解決方法。從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思辨能力，提升學(xué)生的問題解決能力，發(fā)展學(xué)生的高階思維。

當(dāng)然，在實(shí)際操作過程中存在的問題肯定也很多，還需要我們更深入地思考與研究。筆者只是試圖通過本文“幾何畫板”培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思辨能力，提升小學(xué)生高階思維能力的路徑探究，拋磚引玉，讓更多的數(shù)學(xué)教師參與到幾何畫板與數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合的研究中來(lái)，開發(fā)和完善更多的動(dòng)圖功能，讓現(xiàn)代信息技術(shù)更好地為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)，與時(shí)俱進(jìn)！

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭久安，冀前前.信息技術(shù)與小學(xué)數(shù)學(xué)整合教學(xué)探索——以圖形與幾何教學(xué)為例[J/OL].中國(guó)教育技術(shù)裝備：1-3[2019-11-04]

[2]翟珊. 動(dòng)態(tài)幾何軟件在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用現(xiàn)狀與對(duì)策研究[D].河南大學(xué)，2019.

[3]史寧中.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：68.