魏思媛，董迎輝

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州215009）

由Gerber和Shiu[1]、Gerber和Pafumi[2]提出來的動態(tài)基金保護（Dynamic fund protectio，DFP）通過保險公司注入資金的方式為投資人在經(jīng)濟下行時期提供資金保護，以確保在合同期內(nèi)投資人的基金價格始終高于某一預(yù)定的保護水平。近些年來，由于經(jīng)濟衰退，保險公司的償付能力受到了投資人和監(jiān)管機構(gòu)的質(zhì)疑，對這些提供保障水平的保險產(chǎn)品的定價問題的研究受到了廣泛的關(guān)注。

Jin等[3]和Fan等[4]研究了基金價格服從馬氏機制轉(zhuǎn)換的幾何布朗運動假設(shè)下的DFP的估值問題。劉孔潔等[5]給出了超指數(shù)跳擴散模型下動態(tài)保護基金的定價。Dong[6]在隨機利率模型下提出了一個與債券價格有關(guān)的隨機保護水平。許超和董迎輝[7]放松了文獻[5]中的常數(shù)保護水平的假設(shè)，提出了用一個跳擴散模型來刻畫障礙水平，在超指數(shù)跳擴散模型和隨機障礙下，研究了動態(tài)基金保護的定價問題。盡管超指數(shù)分布可以用來逼近許多分布，包括Gamma分布、Weibull分布和Pareto分布，然而，由于超指數(shù)分布是由指數(shù)分布密度的線性組合所決定的概率分布，其權(quán)重均不能取負值，所以Cai和Kou[8]指出，超指數(shù)分布只能用來解決一些具有絕對單調(diào)性質(zhì)的分布。眾所周知，在一般的跳擴散模型下人們很難解決定價問題[9－10]。具有有理矩母函數(shù)的分布是一類比超指數(shù)分布更為廣泛的分布，它們可以用來近似任意的分布，并且在具有有理矩母函數(shù)跳分布的跳擴散模型下，仍能得到動態(tài)基金保護的定價公式。Dong和Wang[11]在具有有理矩母函數(shù)跳分布的跳擴散模型下得到了參與分紅壽險合同的定價，然而動態(tài)基金保護的產(chǎn)品比參與分紅壽險要復(fù)雜的多，其定價問題也更為復(fù)雜。筆者將在具有有理矩母函數(shù)跳分布的跳擴散模型和隨機障礙下研究動態(tài)基金保護的定價問題。

論文結(jié)構(gòu)安排如下：第一部分介紹動態(tài)基金保護和定價模型；第二部分在具有有理矩母函數(shù)跳分布的跳擴散模型和隨機障礙下給出DPF價格的拉普拉斯變換的顯示解；第三部分對全文進行總結(jié)。

1 模型

設(shè){Ω，ζ，{ζt}0≤t≤T，Q}為帶濾子的完備概率空間，其中{ζt}0≤t≤T為滿足通常條件的濾子，T＜∞。假設(shè)所有隨機變量和隨機過程均定義在該概率空間上且關(guān)于ζT可測，Q為風險中性鞅測度。

令{N（t），t≥0}表示時間[0，t]內(nèi)引起基金價格發(fā)生跳躍的事件的來到過程，假設(shè){N（t），t≥0}是強度為λ的泊松過程。假設(shè)基金價格服從如下的跳擴散過程

其中F（0）＞0是初始基金價格，σ1＞0是擴散系數(shù)，{W（t），t≥0}是一個Q測度下的標準布朗運動是獨立同分布的隨機變量序列，其密度具有有理的矩母函數(shù)

其中0＜p，q＜1，p+q=1，mi，m∈N+，并且是兩個至多M-1次的多項式函是無風險利率數(shù)，并且滿足

利用部分分式分解，由矩母函數(shù)f^1（s）可得到{Zi（1），i≥1}的共同密度為

其中

假設(shè)保護水平服從雙指數(shù)跳擴散過程

其中σ2＞0為常數(shù)是獨立同分布的隨機變量序列，其密度函數(shù)為

注1若假設(shè)隨機障礙也服從一個與資產(chǎn)價格過程相關(guān)的具有有理矩母函數(shù)跳分布的跳擴散過程，也可以用同樣的理論方法來解決動態(tài)基金保護的定價問題，然而這只會導(dǎo)致計算上復(fù)雜而不會帶來任何理論上的創(chuàng)新。因此,為簡便起見，文中僅考慮引起資產(chǎn)價格和障礙水平發(fā)生跳躍的事件來到過程服從相同的泊松過程，且障礙水平的跳分布服從雙指數(shù)分布。

令

定義最小值過程為

令y＜0為一給定常數(shù)，定義首中時為

顯然，

2 動態(tài)基金保護的估值

令DF（F（0），T）為具有到期日為T的動態(tài)基金保護合同所提供的動態(tài)基金保護在0時刻的價格，則根據(jù)資產(chǎn)定價的基本定理，有

為了計算（2）式的表達式，利用Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)，定義一個新的測度Q~

由Girsanov定理，可以得到如下結(jié)論。

其中

證明 利用跳擴散過程的Girsanov定理即得結(jié)論。

以下的結(jié)論對推導(dǎo)動態(tài)基金保護價格的表達公式起著非常重要的作用。

引理2令

則S（t）是一個參數(shù)為λ~的復(fù)合泊松過程，其密度函數(shù)為

其中

證明

于是，由矩母函數(shù)和分布的一一對應(yīng)，結(jié)論得證。

其中復(fù)數(shù)x滿足E[exZ（1）]＜∞。由Levy-Khinchine公式得

引理3令Z為公式（3）中給出的具有有理矩母函數(shù)跳分布的跳擴散過程。對任意的δ＞0，y＞0，τy的拉普拉斯變換為

其中r1，δ＞r2，δ＞…＞rM+2，δ是下面方程（6）的M+2互不相同的負根

系數(shù)c1，c2，…，cM+2滿足下列方程組

證明 參見文獻[11]中的式（3.29）。

引理4對任意的T＞0，有

證明 證明過程類似文獻[7]中的引理2.6。令

當y→-∞時，可見引理結(jié)果成立。

由引理3和引理4，可以推導(dǎo)出DF（F（0），T）的拉普拉斯變換。

定理1對任意的δ＞0，DF（F（0），T）的拉普拉斯變換為

證明 由公式（4）可得

由引理4可以得到DP0（F（0），T）的拉普拉斯變換為

3 結(jié)語

筆者用一個具有有理矩母函數(shù)跳分布的跳擴散模型來刻畫資產(chǎn)價格過程，該過程能夠用來近似任意的跳擴散過程，并且在該模型下，可以得到首中時的拉普拉斯變換。進一步，筆者給出了具有有理矩母函數(shù)跳分布的跳擴散模型下動態(tài)基金保護價格的拉普拉斯變換。