王 晗, 李輝來, 李文軒

(吉林大學 數(shù)學學院, 長春 130012)

麻疹病毒傳染性極強, 是一種常見的帶有潛伏期的呼吸道疾病[1], 而且并非所有接種麻疹疫苗的個體均可獲得特異性免疫力[2]. 個體接種麻疹疫苗后未能發(fā)生血清轉(zhuǎn)化的情況稱為原發(fā)性免疫失敗[3-4], 繼發(fā)性免疫失敗是指個體接種麻疹疫苗后產(chǎn)生特異性抗體, 但抗體水平含量會隨接種時間的增加而降低, 從而失去保護作用[5-8], 原發(fā)性免疫失敗和繼發(fā)性免疫失敗都屬于疫苗免疫失敗現(xiàn)象. 目前, 已有研究表明存在繼發(fā)性免疫失敗的案例[9-17], 在繼發(fā)性免疫失敗后感染麻疹病毒的患者具有一定的傳染性, 并表現(xiàn)出較輕的臨床癥狀[18]. 基于此, 本文建立一類基于接種疫苗引發(fā)的繼發(fā)性免疫失敗的麻疹模型, 并分析該模型的動力學行為. 本文討論的模型可用于刻畫麻疹病毒在不同免疫狀態(tài)群體中的傳播過程, 考察接種疫苗后產(chǎn)生特異性抗體但抗體水平低于保護閾值的群體對病毒傳播的影響, 并給出合理的抗疫措施, 對麻疹疫情防控有一定的作用.

1 模型構(gòu)建

假設(shè)每個個體均可通過接種麻疹疫苗獲得免疫力, 即接種疫苗一定會發(fā)生免疫反應： 個體可能發(fā)生疫苗免疫失敗, 也可能獲得永久免疫力. 在該假設(shè)條件下, 將總?cè)丝诜譃?個倉室, 其中M(t)表示在t時刻未達到初免年齡的嬰兒數(shù)量,S(t)表示在t時刻達到初免年齡且未接種過疫苗的易感者數(shù)量,V(t)表示在t時刻達到初免年齡且可能發(fā)生疫苗免疫失敗的個體數(shù)量, 倉室V中個體體內(nèi)平均抗體水平高于倉室S中個體體內(nèi)平均抗體水平含量,E(t)表示在t時刻處于潛伏期的患者人數(shù),I(t)表示在t時刻具有傳染性的患者人數(shù),R(t)表示在t時刻移出的人數(shù)(包括因接種疫苗獲得永久免疫力的人群, 因患病獲得永久免疫力的人群, 患病后隔離的人群等).因此在t時刻, 總?cè)丝跀?shù)量為

N(t)=M(t)+S(t)+V(t)+E(t)+I(t)+R(t).

本文假設(shè)Λ表示倉室M的常數(shù)輸入率, 隨著年齡增長, 倉室M中個體達到初免年齡的比例為θ1, 其中達到初免年齡個體不接種疫苗的比例為a1, 達到初免年齡個體接種疫苗并發(fā)生繼發(fā)性免疫失敗的比例為a2, 疫苗接種者獲得永久免疫力的比例為1-a1-a2; 倉室V中個體通過再次接種疫苗進入倉室R中的比例為θ2;β1,β2,β3分別為倉室M,S,V中的個體與具有傳染性的感染者I的傳染系數(shù); 倉室E中的感染者從潛伏期進入傳染期的轉(zhuǎn)移率為σ; 倉室I中具有傳染性的感染者移出率為γ;ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,ξ5,ξ6分別表示各倉室的死亡率, 易知ξi(i=1,2,…,6)是正常數(shù).

基于傳染病的傳播過程和上述假設(shè)條件, 本文構(gòu)建如下常微分方程系統(tǒng):

(1)

模型(1)的麻疹病毒傳播過程如圖1所示.

圖1 模型(1)的麻疹病毒傳播過程Fig.1 Transmission process of measles virus in model (1)

由圖1和系統(tǒng)(1)可知, 移出人群R未參與麻疹病毒的傳播過程, 所以可考慮如下常微分方程組:

(2)

由M′≤Λ-(θ1+ξ1)M, 易得

假設(shè)ξ*=min{ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,ξ5}, 將系統(tǒng)(2)各方程相加可得

經(jīng)簡單計算得

因此, 系統(tǒng)(2)的ω極限集為如下有界區(qū)域:

(3)

易知, 集合Γ關(guān)于系統(tǒng)(2)是正不變的.

2 平衡點

系統(tǒng)(2)在可行域Γ中有無病平衡點P0=(M0,S0,V0,0,0), 且P0滿足如下方程組:

本次調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在影響求職的因素中，81%的學生認為實踐經(jīng)驗最重要，56%的認為家庭社會關(guān)系最重要，其他分別為較好的心理素質(zhì)、各級各項獲獎、等級證書，學習成績由第一位下降為第六位。建議學校對畢業(yè)生進行求職培訓，讓學生了解用人單位的選聘要求，學會成功推銷自己。

因此可得無病平衡點為

(4)

從而可得傳染病平衡點為

3 基本再生數(shù)

基本再生數(shù)R0是在傳染病建模中最重要的參數(shù), 其描述一個具傳染性的患者在平均感染期內(nèi)將病毒傳染給易感者的平均人數(shù).如果R0<1, 則傳染病會滅亡; 如果R0>1, 則傳染病仍會發(fā)生.

根據(jù)文獻[19]可得

系統(tǒng)(2)的基本再生數(shù)R0定義為下一代矩陣FU-1的譜半徑, 記為R0=ρ(FU-1), 其中ρ(M)表示矩陣M的譜半徑.經(jīng)簡單計算可得

4 全局穩(wěn)定性

下面證明R0是系統(tǒng)(2)的一個閾值參數(shù): 當R0≤1 時, 無病平衡點P0是全局漸近穩(wěn)定的, 麻疹疫情最終會消亡; 當R0>1時, 無病平衡點P0是不穩(wěn)定的, 傳染病平衡點P*是全局漸近穩(wěn)定的, 且麻疹會持續(xù)存在.

4.1 無病平衡點的全局穩(wěn)定性

定理11) 如果R0≤1, 則無病平衡點P0是系統(tǒng)(2)中唯一的平衡點, 并在Γ中全局漸近穩(wěn)定;

證明： 1) 考慮如下Lyapunov函數(shù):

L(E,I)=σE+(σ+d)I,

則L沿系統(tǒng)(2)解軌線的全導數(shù)為

4.2 傳染病平衡點的全局穩(wěn)定性

證明： 考慮如下Lyapunov函數(shù):

因為

φ(r)=r-r*-r*lnr+r*lnr*≥0,

當且僅當r=r*時,φ(r)=0, 所以Q(M,S,V,E,I)是正定的, 于是Q沿方程(2)解軌線的全導數(shù)為

將式(6)代入式(4), 整理可得

已知函數(shù)Φ(s)=1-s+lns在定義域上為非負函數(shù), 則當且僅當M=M*,S=S*,V=V*,E=E*,I=I*時,因此集合中唯一的緊不變子集是單點集{P*}.根據(jù)LaSalle不變性原理[16]知, 當R0>1時,P*在中是全局漸近穩(wěn)定的.證畢.

綜上所述, 可得如下結(jié)論： 當基本再生數(shù)R0≤1時, 無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的, 即疾病將會消亡, 表明疫苗接種可有效控制傳染病的傳播, 進而徹底消滅疾?。?當基本再生數(shù)R0>1時, 傳染病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的， 表明個體抗體水平會隨著接種疫苗時間的增加而下降， 發(fā)生繼發(fā)性免疫失敗現(xiàn)象， 這種情況可導致傳染病持續(xù)地流行.