楊啟梁，何 洲，胡 溧

（武漢科技大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院，湖北 武漢430081）

1 引言

在進(jìn)行振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分析時(shí)，有時(shí)無(wú)法用常規(guī)的慣性參數(shù)測(cè)量方法來(lái)獲得工作狀態(tài)下的振動(dòng)系統(tǒng)慣性參數(shù)，如汽車動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)［1］。在這種情況下，直接利用振動(dòng)系統(tǒng)在工作狀態(tài)下的響應(yīng)，通過(guò)參數(shù)識(shí)別的方法來(lái)識(shí)別系統(tǒng)的慣性參數(shù)成為了一個(gè)重要的研究課題［2］。傳統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別方法通常反復(fù)線性化處理非線性方程，會(huì)存在一定的誤差，導(dǎo)致參數(shù)識(shí)別精度無(wú)法進(jìn)一步提高［3］。近十多年來(lái)，新發(fā)展的螢火蟲算法在處理非線性問(wèn)題時(shí)具有很大的優(yōu)勢(shì)，因此通過(guò)螢火蟲算法識(shí)別參數(shù)成為研究者關(guān)注的重點(diǎn)［4］。

螢火蟲算法（Firefly Algorithm，F(xiàn)A）是由科研人員于2008年提出的［5］，具有尋優(yōu)精度高和收斂速度快等特點(diǎn)，因而在很多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，如圖像處理［6］、路徑規(guī)劃［7］、參數(shù)識(shí)別［2］等。但是，F(xiàn)A算法本身依賴初始解、易陷入局部最優(yōu)和求解精度低等缺陷，因此該算法被很多學(xué)者改進(jìn)。2010年X.S.Yang結(jié)合螢火蟲算法和Levy飛行，改善算法全局搜索性能［8］。2013年，馮艷紅在螢火蟲算法的初始化和位置更新公式在加入混沌算法，算法改善明顯［9］。2015年，唐少虎設(shè)計(jì)了改進(jìn)的自適應(yīng)步長(zhǎng)的人工螢火蟲算法，進(jìn)一步提高求解精度和穩(wěn)定性［10］。

為了探索直接利用振動(dòng)系統(tǒng)在工作狀態(tài)下的響應(yīng)，用螢火蟲算法來(lái)識(shí)別系統(tǒng)的慣性參數(shù)的可能性，本文以二自由度振動(dòng)系統(tǒng)為例，用一根剛性梁搭建了一個(gè)二自由度振動(dòng)系統(tǒng)，以實(shí)測(cè)的剛性梁垂直振動(dòng)加速度信號(hào)為參數(shù)識(shí)別的原始信息，通過(guò)Logistic映射混沌算法優(yōu)選初始螢火蟲種群，引入可變步長(zhǎng)算法加快收斂速度，采用改進(jìn)后的螢火蟲算法對(duì)二自由度振動(dòng)系統(tǒng)的慣性參數(shù)進(jìn)行了識(shí)別，取得了滿意的效果。

2 二自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程

本文的二自由度系統(tǒng)是來(lái)源于簡(jiǎn)化后的二自由度汽車，將汽車車身簡(jiǎn)化為剛性梁，前后車輪和懸架分別簡(jiǎn)化為兩個(gè)帶有阻尼的彈簧，將大地簡(jiǎn)化為臺(tái)架，D點(diǎn)給予偏心激勵(lì)模擬發(fā)動(dòng)機(jī)的振動(dòng)，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)條件適當(dāng)修改。簡(jiǎn)化后的模型為：一根剛性梁懸置在臺(tái)架上，剛性梁和臺(tái)架通過(guò)彈簧連接在一起。在偏離剛性梁質(zhì)心C點(diǎn)的D點(diǎn)處有激振器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行激勵(lì)，在梁的兩端分別放有加速度傳感器測(cè)量這兩點(diǎn)的豎直振動(dòng)加速度，理論模型，如圖1所示。

圖1 二自由度振動(dòng)系統(tǒng)模型Fig.1 Model of Two DOFs Vibration System

質(zhì)心C點(diǎn)的垂直位移和角位移分別為xC和θC，通過(guò)該點(diǎn)建立系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能、耗散能的方程，帶入Lagrange方程，可求到系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。

將上述式子帶入Lagrange方程可得：

振動(dòng)微分方程的矩陣形式為：

式中：［YC］={yC，θC}T—C點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)，［FC］={F，-F*e}T—C點(diǎn)處的激勵(lì)力，M，Cn，K—系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣。

在simulink中搭建上文的模型，并在simulink中仿真求解系統(tǒng)的振動(dòng)加速度［11］模型，如圖2所示。

圖2 Simulink仿真模型Fig.2 Simulink Simulation Mode

3 螢火蟲算法

螢火蟲算法是一種基于螢火蟲種群行為的仿生優(yōu)化算法，將空間中的向量作為螢火蟲個(gè)體，螢火蟲個(gè)體包含著所需識(shí)別的參數(shù)，這些參數(shù)可以進(jìn)行系統(tǒng)仿真，從而得到目標(biāo)函數(shù)值即為螢火蟲的亮度。螢火蟲個(gè)體之間的通過(guò)光亮去吸引較暗的螢火蟲，使其位置發(fā)生變化，達(dá)到更新參數(shù)的目的。通過(guò)許多次位置更新，找到最優(yōu)螢火蟲，該螢火蟲對(duì)應(yīng)的向量即為參數(shù)識(shí)別的結(jié)果。

3.1 螢火蟲算法的數(shù)學(xué)描述

（1）相對(duì)亮度公式

式中：Ii—螢火蟲i的絕對(duì)亮度，γ—光吸收系數(shù)，取值范圍是γ∈［0.01，100］。rij—螢火蟲i與j之間的笛卡爾距離，即：

（2）螢火蟲i對(duì)j的吸引力隨距離的變化而變化，其大小βij（rij）為：

式中：β0—最大吸引度因子，常取值β0=1，β在螢火蟲零距離時(shí)最大。

（3）螢火蟲位置更新公式為：

式中：t—算法計(jì)算過(guò)程中的某一次迭代次數(shù)螢火蟲i和j的位置；α—常數(shù)，一般的取值范圍是α∈[0,1]；隨機(jī)數(shù)。

3.2 螢火蟲算法的改進(jìn)

對(duì)于初始FA算法，通過(guò)隨機(jī)生成實(shí)現(xiàn)螢火蟲種群初始化，因而無(wú)法保證每次初始化都有較好的質(zhì)量，而位置更新公式的缺陷使螢火蟲易陷于局部最優(yōu)。針對(duì)這些缺點(diǎn)，本文對(duì)螢火蟲算法進(jìn)行了相關(guān)改進(jìn)。

3.2.1 Logistic映射初始螢火蟲

為了提高初始螢火蟲的種群質(zhì)量，本文在螢火蟲初始化中引入了混沌算法。本文選擇了混沌算法中的Logistic映射，其具有不收斂、非周期性、遍歷性等優(yōu)點(diǎn)。通過(guò)Logistic映射大量螢火蟲并選出質(zhì)量最好的幾只螢火蟲作為初始螢火蟲種群，能夠有效提高初始螢火蟲種群質(zhì)量，減少迭代次數(shù)，提高識(shí)別精度。

Logistic映射的表達(dá)式為：

式中：lk—實(shí)值序列，k=0，1，…；μ—實(shí)數(shù)參數(shù)，本文取值為4；l0—隨機(jī)產(chǎn)生的序列。

3.2.2 位置更新公式

在位置更新公式中，將βij（rij），分別改為；

式（8）隨著距離的變化而不斷調(diào)整步長(zhǎng)，能夠有效減少循環(huán)次數(shù)，提高計(jì)算速度和精度，同時(shí)可以保證β的值不會(huì)太小，使較暗螢火蟲不會(huì)向較亮螢火蟲靠的太近，從而陷入局部最優(yōu)。式（9）在位置更新中增加更多變化，使算法能夠跳出局部最優(yōu)，找到最優(yōu)螢火蟲。

3.3 螢火蟲算法識(shí)別流程

螢火蟲算法參數(shù)識(shí)別的流程如圖3所示，在利用螢火蟲算法進(jìn)行二自由度系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別時(shí)，每一只螢火蟲的位置代表系統(tǒng)參數(shù)的一組可能值。螢火蟲算法利用混沌算法產(chǎn)生螢火蟲，并選出最優(yōu)螢火蟲作為初始螢火蟲種群。然后，將這些螢火蟲中的參數(shù)帶入Simulink搭建的模型中求解振動(dòng)加速度，并通過(guò)式（10）求解其均方根值，將均方根值帶入式（11）可得誤差函數(shù)值即亮度，借助亮度更新其位置。迭代結(jié)束后，最優(yōu)的那只螢火蟲的位置即為所求系統(tǒng)參數(shù)的值。

加速度均方根值：

式中：通過(guò)螢火蟲中的參數(shù)計(jì)算的系統(tǒng)振動(dòng)加速度，m—每個(gè)測(cè)點(diǎn)在測(cè)試時(shí)間里的得到的振動(dòng)加速度的個(gè)數(shù)，i—A或B中的某個(gè)測(cè)點(diǎn)。

目標(biāo)函數(shù)值：

式中：zi—某個(gè)測(cè)點(diǎn)在算法運(yùn)行時(shí)的均方根值，ziture—測(cè)點(diǎn)測(cè)得的真實(shí)均方根值。

誤差定義為：

式中：paraiden—系統(tǒng)參數(shù)的識(shí)別值，parature—系統(tǒng)參數(shù)的真實(shí)值。

4 振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)測(cè)試

實(shí)驗(yàn)裝置由鐵板、彈簧、加速度傳感器、臺(tái)架、激振器等組成，如圖3所示。剛性梁的質(zhì)量為2.1kg，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.01488kg·m2，兩個(gè)彈簧的剛度分別為7200N/m，系統(tǒng)阻尼為2N·s·m-1。

圖3 螢火蟲算法的參數(shù)識(shí)別流程圖Fig.3 Parameter Identification Flow Chart of FA

圖4 二自由度系統(tǒng)激振實(shí)驗(yàn)Fig.4 Two DOFs System Excitation Experiment

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，加速度采樣時(shí)間為4s，激振器的激勵(lì)力幅值為7.3N，激勵(lì)頻率為10Hz，激勵(lì)力到質(zhì)心C的距離e=0.2 m，激勵(lì)力信號(hào)如圖5所示。彈簧兩側(cè)的振動(dòng)加速度信號(hào)如圖6所示，傳感器在測(cè)量每個(gè)時(shí)刻的加速度由于客觀因素，會(huì)存在一定誤差，因此使用某時(shí)刻的加速度值來(lái)構(gòu)建誤差函數(shù)會(huì)存在一定的誤差，為減少誤差，取加速度的均方根值構(gòu)建誤差函數(shù)，可有效減少誤差。為避免單個(gè)實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)誤差，做多組實(shí)驗(yàn)，取其加速度均方根值的平均值來(lái)構(gòu)建誤差函數(shù)，從而得到準(zhǔn)確的目標(biāo)函數(shù)值。

圖5 激勵(lì)力FFig.5 The Excitation Force F

圖6 加速度信號(hào)Fig.6 Acceleration Signals

5 慣性參數(shù)識(shí)別與結(jié)果分析

采用Matlab 2016a編寫FA算法參數(shù)識(shí)別程序，并在一臺(tái)運(yùn)行內(nèi)存為16G和CPU為Intel Core i7-3930K的Win10電腦進(jìn)行相關(guān)參數(shù)識(shí)別。FA算法參數(shù)設(shè)置：最大迭代次數(shù)Tmax=1000，種群數(shù)量n=30，最小吸引度βmin=0.2，步長(zhǎng)因子α=0.5，光吸收系數(shù)γ=1。在精選初始螢火蟲時(shí)，通過(guò)混沌算法映射出500個(gè)螢火蟲，并選出質(zhì)量最高的30個(gè)螢火蟲作為初始螢火蟲。將改進(jìn)前后的兩種螢火蟲算法分別進(jìn)行多次系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別，其識(shí)別結(jié)果如下：

（1）圖7為兩種算法在10獨(dú)立識(shí)別中目標(biāo)函數(shù)平均值的進(jìn)化過(guò)程。圖中，改進(jìn)的螢火蟲算法的初始目標(biāo)函數(shù)值為4.3*10-4，而FA算法的初始目標(biāo)函數(shù)值為5.6，說(shuō)明改進(jìn)之后的螢火蟲能夠有效提高初始螢火蟲質(zhì)量。改進(jìn)螢火蟲算法的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值為1.58*10-15，遠(yuǎn)小于螢火蟲算法的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值2.88*10-8，說(shuō)明改進(jìn)之后的螢火蟲算法識(shí)別精度更高。

圖7 目標(biāo)函數(shù)平均最優(yōu)值的進(jìn)化曲線Fig.7 Curves of the Best Objective Function Value

（2）算法識(shí)別的二自由度系統(tǒng)參數(shù)結(jié)果如表1所示。從表1可以看出，改進(jìn)螢火蟲算法識(shí)別參數(shù)的誤差在5%以內(nèi)，最高誤差為3.6%，最低誤差僅為0.27%。傳統(tǒng)的螢火蟲算法參數(shù)識(shí)別的最大誤差為7%，最小誤差為2.2%?？梢钥闯觯倪M(jìn)螢火蟲算法識(shí)別精度更高，滿足實(shí)驗(yàn)誤差要求，而傳統(tǒng)的螢火蟲算法參數(shù)識(shí)別結(jié)果誤差偏大，個(gè)別參數(shù)可能會(huì)出現(xiàn)誤差過(guò)大的情形，導(dǎo)致識(shí)別結(jié)果不準(zhǔn)確。

表1 二自由度系統(tǒng)參數(shù)和識(shí)別結(jié)果Tab.1 Parameters of Two DOFs and Identification Results

從參數(shù)識(shí)別結(jié)果可以得出，改進(jìn)的螢火蟲算法相比傳統(tǒng)的螢火蟲算法在參數(shù)識(shí)別中能夠有效提高初始種群質(zhì)量，提高識(shí)別精度和參數(shù)識(shí)別速度。同時(shí)改進(jìn)螢火蟲算法能夠有效降低各個(gè)參數(shù)識(shí)別誤差，準(zhǔn)確的識(shí)別系統(tǒng)各個(gè)參數(shù)。

6 結(jié)論

（1）搭建simulink模型來(lái)求解二自由度振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)加速度，并利用加速度的均方根值構(gòu)建螢火蟲算法的目標(biāo)函數(shù)，降低實(shí)驗(yàn)誤差帶來(lái)的影響。

（2）引入Logistic映射產(chǎn)生螢火蟲并挑選優(yōu)質(zhì)螢火蟲作為初始螢火蟲種群，引入一種可變步長(zhǎng)的位置更新公式提高了螢火蟲算法收斂速度和識(shí)別精度。

（3）該方法的優(yōu)點(diǎn)是僅利用系統(tǒng)兩端的豎直振動(dòng)加速度響應(yīng)就能準(zhǔn)確識(shí)別出該系統(tǒng)的參數(shù)。該方法識(shí)別條件簡(jiǎn)單、無(wú)需單獨(dú)的實(shí)驗(yàn)室，能夠在工況下進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，識(shí)別成本低、精度高、速度快。

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明，螢火蟲算法識(shí)別的參數(shù)最大誤差是3.6%，滿足工程實(shí)踐要求，驗(yàn)證了該算法識(shí)別參數(shù)的合理性和準(zhǔn)確性，為動(dòng)力總成等復(fù)雜系統(tǒng)的慣性參數(shù)在線識(shí)別提供參考。