曾逸鳳，徐兵，黃選紅

摘要：構(gòu)建在每一維空間能夠擴(kuò)展3個(gè)渦卷的5階線性系統(tǒng)，針對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性，在Matlab中對(duì)該系統(tǒng)的對(duì)稱性、李亞普諾夫系數(shù)等展開(kāi)分析。所需混沌序列即由該系統(tǒng)產(chǎn)生，應(yīng)用于數(shù)字圖像加密中，獲得一種新的圖像加密方法。

關(guān)鍵詞：多渦卷;5階線性系統(tǒng);混沌;安全性;圖像加密

中圖分類號(hào)：TP18文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2021）21-0103-02

開(kāi)放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

圖像作為常用的信息載體，各個(gè)方面都有廣泛的應(yīng)用，尤其是在一些安全系數(shù)需求較高的一些領(lǐng)域，對(duì)保密性有非常高的要求。圖像信息的安全是現(xiàn)在及未來(lái)長(zhǎng)期發(fā)展中必須重視并且研究的問(wèn)題，圖像加密算法的研究是非常必要的[1]。

本文引入分段線性相關(guān)函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)新的五階線性可控多渦卷混沌系統(tǒng)，并將其與“置亂+擴(kuò)散”方法相結(jié)合，以獲得較為優(yōu)良的數(shù)字圖像加密效果。

1 一種新的多渦卷混沌系統(tǒng)的構(gòu)建

為保證構(gòu)建系統(tǒng)的唯一平衡點(diǎn)屬于指標(biāo)2的鞍焦平衡點(diǎn)[2]，本文構(gòu)建了一個(gè)雅可比矩陣為滿秩的5階線性系統(tǒng)，并基于此線性系統(tǒng)，引入分段線性函數(shù)構(gòu)建多渦卷系統(tǒng)：

[xyzmn=? 0? 0? 0? 0-5? ?1? ?0? ?0? ?0-20? ?0? ?1? ?0? ?0-20? ?0? ?0? ?1? ?0-20? 0? 0? 0? 1-1x-g1（x）y-g2（y）z -g3（z）m-g4（m）n-g5（n）=WG?X=WG，]（1）

[?V=?x?x+?y?y+?z?z+?m?m+?n?n=-1]? ? ? ? ? ? ?（2）

由上式（2）所示，因?yàn)閇?V=-1]，可以得出系統(tǒng)（1）是耗散且以指數(shù)形式收斂的，其運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)穩(wěn)固在一個(gè)吸引子上，這說(shuō)明混沌吸引子是存在的[3]。

為了求出平衡點(diǎn)，令[X=0，即：]

[00000=? 0? 0? 0? 0-5? ?1? ?0? ?0? ?0-20? ?0? ?1? ?0? ?0-20? ?0? ?0? ?1? ?0-20? 0? 0? 0? 1-1x-g1（x）y-g2（y）z -g3（z）m-g4（m）n-g5（n）]? ? ? ?（3）

為了分析簡(jiǎn)便，選擇階躍函數(shù)構(gòu)建分段函數(shù)[gi（ai）]：

[gi（ai）=sgn（ai-1）+sgn（ai+1）.]? ? ? ? ? ? ? （4）

代入式（4），可以求得系統(tǒng)（1）的指標(biāo)2的鞍焦平衡點(diǎn)，分別為[xEi=0.0208+4.]

[3577i，yEi=0.0208-4.3577i，][zEi=-0.3608+0.8323i，][mEi=-0.3608-0.8323i，nEi]

[=-0.3200，均位于（-2， 0）或（0， 2）之中.]

仿真得該系統(tǒng)相位圖，如圖1所示。

可看出該系統(tǒng)是中心對(duì)稱的，有利于擴(kuò)展多渦卷吸引子。

針對(duì)系統(tǒng)（1），通過(guò)選擇合適的初值，基于Euler法和QR分解法計(jì)算出五個(gè)李亞普諾夫指數(shù)如下：

[L1=0.1150，L2=0.1032，L3=-0.3080，L4=-0.3596，L5=-0.3558，]

[因?yàn)長(zhǎng)1>0，L2>0，]由此可見(jiàn)，該系統(tǒng)是一個(gè)超混沌系統(tǒng)[4]。

計(jì)算系統(tǒng)（1）的維數(shù)，如下所示：

[DL=3+L1+L2+L3L4=2.7503]? ? ? ? ? ? （5）

該李亞普諾夫維數(shù)是分?jǐn)?shù)維數(shù)，可推出系統(tǒng)（1）為混沌系統(tǒng)。以上是關(guān)于該系統(tǒng)的相關(guān)動(dòng)力學(xué)數(shù)據(jù)分析。

2多渦卷混沌系統(tǒng)在數(shù)字圖像加密中的應(yīng)用

（1）圖像加密原理

混沌具有很好的不可提前進(jìn)行預(yù)測(cè)的特性，同時(shí)也較容易控制，便于復(fù)制[5]，使得混沌系統(tǒng)能良好應(yīng)用于圖像加密中。

利用本文系統(tǒng)構(gòu)造的五階線性可控多渦卷混沌系統(tǒng)，應(yīng)用于數(shù)字圖像加密的原理流程圖如圖2所示。

首先錄入圖像參數(shù)值和初始值，利用混沌系統(tǒng)進(jìn)行迭代產(chǎn)生所需的矩陣K1、K2、K3以及相應(yīng)混沌序列。再對(duì)待加密圖像進(jìn)行行置亂和列置亂。為保證算法有效性，循環(huán)重復(fù)該操作。最后進(jìn)行異或（XOR）運(yùn)算，即可得到相應(yīng)加密圖像。

（2）圖像解密原理

解密過(guò)程是加密過(guò)程的逆運(yùn)算。同理讀入待解密的圖像，錄入相應(yīng)的參數(shù)值和初始值，以得到相應(yīng)的密鑰矩陣。再對(duì)加密圖像進(jìn)行像素值置換還原，并截取混沌序列，依照循環(huán)分別還原列置亂和行置亂，最終得到解密圖像。