張皓翔

摘 要：粒子群算法是數(shù)學(xué)建模中的重要方法之一，本文總結(jié)結(jié)合實(shí)際分析其在數(shù)學(xué)建模中的作用，為在數(shù)學(xué)建模過程中正確選擇建模方案提供參考。

關(guān)鍵詞：粒子群算法;數(shù)學(xué)模型;應(yīng)用;分析

0 前言

粒子群算法是一種典型的尋優(yōu)算法，其基本思想是通過模擬自然界生物捕食的策略，群體迭代，使得粒子在解空間向最優(yōu)的粒子靠攏，其是智能算法的一種。粒子群算法模型中，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)都能記憶自身在運(yùn)動(dòng)中的最優(yōu)位置和群體在運(yùn)動(dòng)中的最優(yōu)位置，他們相互共享所得到的信息，因此整個(gè)群體都能通過分析得到的信息群體最佳位置運(yùn)動(dòng)。它是一個(gè)全面的尋優(yōu)方法，有效的避免了遺傳算法等復(fù)雜的操作過程，只通過簡(jiǎn)單的位置變換來達(dá)到群體最優(yōu)解。本文以討論普通消費(fèi)者確定成為自動(dòng)駕駛汽車車主的臨界購車成本為例，對(duì)粒子群算法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用進(jìn)行分析。

1 粒子群算法簡(jiǎn)介

1.1 算法基本概念

在PSO算法中，微粒群在n維空間中搜索，其中每個(gè)粒子的位置Xi表示問題的一個(gè)解，粒子通過不斷更新自己的位置進(jìn)行解的搜索。

第i個(gè)粒子t時(shí)刻的位置用表示;

第1個(gè)粒子t時(shí)刻的速度用表示;

第1個(gè)粒子每一個(gè)時(shí)刻都能記住自己t時(shí)刻前搜索到的最佳位置，記作Pt，整個(gè)微粒群搜索到的最佳位置，記作Pg。

每個(gè)粒子t時(shí)刻的速度Vit由自身最佳位置和群體最佳位置影響，并按照以下公式更新各微粒的速度和位置。

其中，ω稱為權(quán)慣因子，c1，c2為正的加速常數(shù)，r1，r2為0到1之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

1.2 算法基本原理

粒子群算法從模型中得到啟示并用將其運(yùn)用于解決問題。在粒子群算法中，解決問題最佳方案都是粒子。粒子們均有一個(gè)自身最佳值，這個(gè)值是由執(zhí)行過優(yōu)化的函數(shù)決定的。每個(gè)粒子向前的移動(dòng)都是由一定的速度（具有方向性、相對(duì)性、瞬時(shí)性）決定的。粒子們跟隨著最優(yōu)粒子在空間中移動(dòng)至最優(yōu)方位。粒子群初始的集群是一群隨機(jī)產(chǎn)生的粒子，他們通過不斷的迭代找到最終目標(biāo)。在每一次迭代的過程中，粒子們通過跟蹤自身的個(gè)體極值和種群的全局極值來更新自己的位置;個(gè)體極值是粒子自己找到的最佳位置;全局極值是整個(gè)種群找到的最優(yōu)解[4]。我們也可以只取其中一部分粒子作為樣本群體而不是采用整個(gè)粒子群解決問題，而取值的這部分粒子群的極值被稱為這部分粒子群的局部極值。

1.3 算法特點(diǎn)

在粒子群剛開始進(jìn)行優(yōu)化算法時(shí)，其產(chǎn)生的第一代粒子群具有很大的隨機(jī)性，而每代所有粒子用過信息的共享和各個(gè)粒子的自身尋求最優(yōu)解的能力的逐步提高使得粒子群隨著種群進(jìn)化代數(shù)的增加而變得具有更大的隨機(jī)性。而遺傳算法需要采用二進(jìn)制編碼或者是采用針對(duì)實(shí)數(shù)的遺傳操作，所以粒子群算法相對(duì)于遺傳算法的主要優(yōu)勢(shì)就是采用了實(shí)數(shù)編碼的機(jī)制;并且通過粒子群優(yōu)化算法的信息共享機(jī)制和遺傳算法相比是具有相當(dāng)大的差異的：在遺傳算法中，染色體相互之間都能實(shí)現(xiàn)信息的傳遞，因此整個(gè)種群會(huì)相互聯(lián)結(jié)向著最佳的方向均勻移動(dòng);而在粒子群算法解決相同的問題的過程中，粒子間的信息流動(dòng)是單向的，只有最優(yōu)解粒子能夠?qū)⑿畔鬟_(dá)給其他的粒子，所以整個(gè)優(yōu)化解決問題的過程中粒子都是跟隨最優(yōu)粒子的速度移動(dòng)。例如對(duì)于F=x12+x22+x32的問題求解，粒子可以直接編碼為（x1，x2，x3），而其適應(yīng)度函數(shù)就是f（x）。并且粒子是有記憶特性的，它們通過自我和借鑒式的學(xué)習(xí)，讓其后續(xù)粒子有方向性的向著最優(yōu)的方位移動(dòng)，所以粒子群算法能在相對(duì)短的時(shí)間內(nèi)得出問題的最優(yōu)解。

2 粒子群算法在具體問題中的應(yīng)用舉例

2.1 討論自動(dòng)駕駛汽車的充電時(shí)間縮短，幫助普通消費(fèi)者確定成為車主的臨界購車成本

假設(shè)自動(dòng)駕駛汽車的充電時(shí)間縮短，幫助普通消費(fèi)者確定成為車主的臨界購車成本。然后利用Matlab軟件，采用粒子群算法可以得到如下所示結(jié)果。

由此可以確定當(dāng)超過5.2w時(shí)，可能會(huì)造成一定的損失。

2.2 討論如果自動(dòng)駕駛汽車的續(xù)航里程增加，幫助普通消費(fèi)者確定成為車主的臨界購車成本

利用Matlab軟件編制程序，進(jìn)行優(yōu)化分析，通過優(yōu)化確定出自動(dòng)駕駛汽車的續(xù)航里程增加時(shí)的消費(fèi)者確定成為車主的臨界購車成本。對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行設(shè)定，可以確定此種情況下的臨界曲線如下所示。

如果自動(dòng)駕駛汽車的續(xù)航里程增加，幫助普通消費(fèi)者確定成為車主的臨界購車成本為81 w。

3 結(jié)語

粒子群算法是數(shù)學(xué)建模中的重要工具之一。其實(shí)際應(yīng)用從初期的函數(shù)優(yōu)化、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練發(fā)展到求解隨機(jī)優(yōu)化問題、求解最優(yōu)控制問題和工程領(lǐng)域應(yīng)用，涵蓋系統(tǒng)設(shè)計(jì)，多目標(biāo)優(yōu)化，高精度分類，模式識(shí)別，快速調(diào)度，信號(hào)處理，輔助快速?zèng)Q策等多個(gè)方面，對(duì)工程實(shí)踐有著十分重要的意義。

參考文獻(xiàn)：

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[2]卓金武，周英.量化投資：數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)與實(shí)踐[M]. 電子工業(yè)出版社，2015.

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[4]羅德相.粒子群算法改進(jìn)方法研究[D].廣西民族大學(xué)，2009.

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