□鄭日鋒

（杭州學軍中學西溪校區(qū)，浙江杭州310012）

一、試題特點

自2017年浙江高考數(shù)學實施文理合卷以來，今年已是第五年.對于今年的高考數(shù)學，一般考生反應比較平靜，尖子生則反應比較強烈，他們普遍覺得容易題大家都會做，而試卷上的第10題及第22題最后一小題，大家又都沒思路.筆者對全卷做了一番研究，認為今年的試卷系統(tǒng)全面地考查了高中數(shù)學的基礎知識、基本思想方法，突出考查學生的核心素養(yǎng).試卷難度與去年相當，保持了浙江卷的一貫特色，穩(wěn)中求變，具有一定的區(qū)分度，并對高中數(shù)學教學具有良好的導向作用.主要體現(xiàn)了以下特點.

（一）定調——通性通法唱主角

今年大部分試題讓基礎薄弱的學生可動筆，許多試題背景熟悉，源自于課本素材的移植與改編，并從學科整體意義與知識結構上進行了設計，全面覆蓋了中學數(shù)學教材中的主干知識模塊，試卷中第1，2，3，4，6，7，9，11，12，13，14，15，16，18，19，20，21第（1）小題，22第（1）小題，都源自于課本，或從課本中的例題、習題直接改編過來，這體現(xiàn)了試題的基礎性.試卷第11題，以趙爽弦圖為背景設計.趙爽是三國時期吳國的數(shù)學家，此題意在對學生進行數(shù)學文化的熏陶，與愛國主義教育相關.

試卷注重考查對數(shù)學概念、基本定理、基本性質等的理解，及數(shù)學思想方法的運用，倡導用通性通法解決問題.大部分試題都可以運用教材中的方法來解決，如：第6題，以正方體為載體，考查立體幾何中空間線面位置關系；第15題，以熟悉的摸球模型，考查古典概型、隨機變量的均值、超幾何分布等基礎知識；第20題，考查數(shù)列的和與通項的關系、錯位相減法求和及含參數(shù)的不等式恒成立求參數(shù)范圍.

試卷中的許多試題，可以有多個觀察視角，進而可用多種方法解決，這可以有效區(qū)分不同層次學生的數(shù)學水平和能力.如第19題是立體幾何中線線垂直與求線面角問題，既可以用傳統(tǒng)幾何法解決，也可以用建立空間直角坐標系的向量法解決，但后者會容易些.

例1（第21題）如圖（略），已知F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點，M是拋物線的準線與x軸的交點，且|MF|=2.

（1）求拋物線的方程；

（2）設過點F的直線交拋物線于A，B兩點，若斜率為2的直線l與直線MA,MB,AB,x軸依次交于點P,Q,R,N，且滿足|RN|2=|PN|?|QN|，求直線l在x軸上截距的取值范圍.

此題以拋物線為載體，關注了解析幾何的本質，體現(xiàn)了坐標法思想.解決此題的關鍵是將幾何條件|RN|2=|PN|?|QN|坐標化，即把同一直線上的三條線段RN,PN,QN投影在y軸上，得到R,P,Q三點的縱坐標的關系|yR|2=|yP?yQ|.解答此題通常有兩種思路：

（二）定位——以考查素養(yǎng)為主導

試卷在考查數(shù)學基礎知識和基本技能的基礎上，重視對數(shù)學核心素養(yǎng)的考查：第8，9，10，13，15，17，18，20，21，22等題考查數(shù)學抽象素養(yǎng)；第3，6，7，8，10，19，20，22等題考查邏輯推理素養(yǎng)；第2，4，9，10，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22等題考查數(shù)學運算素養(yǎng)；第4，5，6，7，9，11，16，17，19，21，22等題考查直觀想象素養(yǎng).

例2（第8題）已知α,β,γ是互不相同的銳角，則在sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα三個值中，大于的個數(shù)的最大值是（）

A.0 B.1 C.2 D.3

本題設計新穎，考查數(shù)學直覺和估算能力，及綜合運用知識分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)學抽象、邏輯推理素養(yǎng)，有以下兩種解法：

例3（第17題）已知平面向量a,b,c(c≠0)滿足|a|=1,|b|=2,a?b=0,(ab)?c=0.記向量d在a,b方向上的投影分別為x,y，d-a在c方向上的投影為z，則x2+y2+z2的最小值是________.

本題考查平面向量數(shù)量積的幾何意義，及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)學運算及直觀想象素養(yǎng).解決本題既可以用幾何法，也可以用建系的方法，它的本質是求直線上的動點到此直線上兩定點距離的平方和的最小值，此時動點為兩定點的中點.

（三）定向——設計新穎問題求突破

高考評價體系對高中數(shù)學提出了數(shù)學建模能力、空間想象能力、運算求解能力、邏輯推理能力及創(chuàng)新能力等要求.試卷設計了多道綜合性強，思維能力要求高并且設問方式新穎的試題，這些試題回歸概念、回歸通性通法、回歸數(shù)學本原，能有效區(qū)分考生的水平.

例4（第22題）設a,b為實數(shù)，且a>1，函數(shù)f(x)=ax-bx+e2(x∈R).

（1）求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；

（2）若對任意b>2e2，函數(shù)f(x)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；

（3）當a=e時，證明：對任意b>e4，函數(shù)f(x)有兩個不同的零點x1,x2，滿足x2>（注：e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）

本題是零點問題，2018年與2020年的浙江省高考數(shù)學試卷的壓軸題也都是零點問題，解決本題需綜合運用導數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質.此題考查了函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結合思想及轉化思想，考查了學生的邏輯推理素養(yǎng)、運算素養(yǎng)及分析問題、解決問題的能力.

解決第（1）小題，求出導函數(shù)后，需對b分（i）b≤0，（ii）b>0兩種情況分類討論，利用導函數(shù)的符號與原函數(shù)的單調性的關系來解決.

本題第（3）小題不等式的證明，需要學生運用分析法、綜合法及放縮的技巧，與平時練習的極值點偏移問題，雖然在解題方法上有相似之處，即將證明的自變量的大小關系轉化為證明函數(shù)值的大小關系，但避開了運用常見不等式ex≥1+x,lnx≤x-1及對數(shù)均值不等式，導致絕大部分學生未能做出此題.與此類似的還有第10題，給出遞推數(shù)列，估計前100項和的范圍，這是本屆學生備考時忽略的問題；第21題也是如此.這樣的考查打破了原有的模式，體現(xiàn)了試題的靈活性與創(chuàng)新性，展現(xiàn)了穩(wěn)定與創(chuàng)新、穩(wěn)定與改革的融合，考查了學生的數(shù)學理性思維、知識技能及靈活解決問題的能力等，發(fā)揮了高考數(shù)學學科選拔人才的功能.

二、對試題的認識

加強應用，培養(yǎng)學生的應用意識，發(fā)展學生的數(shù)學建模素養(yǎng)，是新課程的一大亮點.數(shù)學的應用分兩大類，一類是內部的應用，另一類是實際應用.在今年的試卷中，與往年一樣僅設計了第15題，以摸球為背景的概率問題，與全國卷比較，實際應用的試題偏少.

選擇題第10題、填空題第17題及解答題第21，22題作為給優(yōu)等生量身定制的問題，選材及設問方式都較新穎，但第10題答案為A，與前兩年的答案相同，讓投機取巧者占了便宜.第22題第（3）小題分值只有4分，而且包含了證明f(x)有2個零點（此證明比較容易），明顯占分太少，這讓優(yōu)等生情何以堪？筆者認為最后一小題賦6分會更合理.

自2017年以來，連續(xù)5年選擇題答案分配均為3，3，2，2，即A，B，C，D四個選項正確答案個數(shù)為3，3，2，2，我們認為這樣命題是不科學的，只會給投機取巧者占便宜，對優(yōu)等生尤其不公平.

此外，填空題前6題都比較簡單，梯度不夠，如將第15，16題稍微提高點難度會更恰當些.從整張試卷來看，簡單題稍微少了些，導致試卷對藝術、體育類及純文科的考生不太有利.運算量還是比較大，應該體現(xiàn)“多考點怎么想，少考點怎么算”.

三、對教學的啟示

綜觀全卷，考查基礎主干知識是不變的旋律，強調探究應用是命題的指向，力求推陳出新是不懈的追求.試卷再次傳遞信息——高中數(shù)學教學依靠“題海戰(zhàn)術”并不能保證考生在高考中取得好成績，呼喚數(shù)學教學回歸自然.

在概念教學中，教師要注重揭示概念的發(fā)生、發(fā)展過程，讓學生明晰概念的內涵與外延.注重基礎、回歸教材是教學的首要環(huán)節(jié)：一是幫助學生構建知識網(wǎng)絡；二是再現(xiàn)重要知識的產(chǎn)生過程；三是挖掘教材例題、習題的潛在價值.

在教學中，只有加強數(shù)學知識內在的聯(lián)系，抓住數(shù)學的本質，突出對概念的理解和運用，突出思維能力的培養(yǎng)，才能真正提高學生的數(shù)學素質，提高學生解決新穎問題的能力.

開展深度學習，關注高階思維和意義建構，以此引導學生在體驗知識方法的過程中不斷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，落實數(shù)學核心素養(yǎng).同時，教師應對課堂上的某些問題適當加以延伸、推廣，并引導學生加以解決，使學生的數(shù)學關鍵能力和學習力獲得提升.