蘇 涵，李清棟

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

1 基本問(wèn)題

本文主要討論如下形式的退化拋物方程

(1)

其中，常數(shù)m>1，p0、q0、a>0，Ω是N(N≥1)上具有光滑邊界?Ω的有界閉區(qū)域，QT*=Ω×(0，T*)，ST*=?Ω×(0，T*).方程(1)在物理學(xué)上表示為記憶項(xiàng)和吸收項(xiàng)相互作用下的非線性擴(kuò)散現(xiàn)象.

進(jìn)行了研究，給出了解爆破和整體存在的部分結(jié)論.近些年來(lái)，還有很多學(xué)者對(duì)于帶有非線性記憶項(xiàng)或非局部源的拋物方程(組)解的奇性性質(zhì)進(jìn)行了研究，得到了方程(組)解的爆破和整體存在等相關(guān)結(jié)論[5-14].從研究結(jié)果看，對(duì)于同時(shí)具有非線性記憶項(xiàng)和吸收項(xiàng)共存的退化拋物方程(組)研究較少或結(jié)論不夠完整.本文利用比較原理，通過(guò)構(gòu)造合適的上下解得到了方程(1)解爆破和整體存在指標(biāo)的完整結(jié)論.

為了方便討論，我們對(duì)方程(1)做如下變形：

令v=um，則方程(1)化為

(2)

為了證明方程(2)解的存在唯一性，我們需要初值滿足如下的相容性條件：

在初值滿足假設(shè)(H1)～(H3)的條件下，本文首先通過(guò)考慮正則化問(wèn)題得到方程(2)有唯一的古典解，進(jìn)而證明了解的整體存在性和有限時(shí)刻爆破，從而給出了方程(1)的解的奇性性質(zhì).

2 局部解的存在唯一性

因?yàn)楫?dāng)(x，t)∈ST時(shí)，由于v(x，t)=0，m>1，使得方程(2)擴(kuò)散項(xiàng)的系數(shù)可能為零，因而方程不是嚴(yán)格拋物的，稱之為退化方程，所以拋物方程的古典理論不適用，因此我們考慮如下的正則化問(wèn)題

(3)

引理2在(H1)～(H3)條件下，方程(3)的解vε滿足vεt≥0.

證明：令Vε=vεt，當(dāng)L充分大時(shí)，有

證明：令W=vε1-vε2，則W滿足方程

由引理2和引理3知

因而方程(3)的解vε關(guān)于ε單調(diào)不減，有上、下界，則當(dāng)ε→0時(shí)，存在極限函數(shù)v(x，t)使得

(4)

易得如下定理1.

3 解的整體存在性和有限時(shí)刻爆破

定理2當(dāng)p≤max{q，1}時(shí)，方程(2)的解整體存在.

證明：由于p≤max{q，1}，下面分情況討論：

1)p

.

(5)

2)p=max{q，1}.

c2φect+mcr+1φrec(1+r)t-mcrφ1+rec(1+r)t+mcrφ1+recrt+amcq+rφq+rec(q+r)t≥0，

定理3當(dāng)p>max{q，1}時(shí)，方程(2)的解在有限時(shí)刻爆破.

定理4當(dāng)p0≤max{q0，m}時(shí)，方程(1)的解整體存在；當(dāng)p0>max{q0，m}時(shí)，方程(1)的解在有限時(shí)刻爆破.

注1從定理2的證明中我們可以看出，當(dāng)q≥1時(shí)，方程中的吸收項(xiàng)比非線性記憶項(xiàng)更占優(yōu)勢(shì)，因而對(duì)任何初值，方程(2)的解可以整體存在；當(dāng)q<1時(shí)，非線性記憶項(xiàng)占優(yōu)勢(shì)，只有當(dāng)初值v0充分小時(shí)才能得到解的整體存在性.