趙曉 胡鴻韜

摘要：為降低鋼鐵企業(yè)采購和運輸鐵礦石的綜合成本，考慮船型、航速和碳排放等因素，建立長江鐵礦石運輸?shù)幕旌险麛?shù)非線性規(guī)劃模型。將模型中的非線性項轉(zhuǎn)化為線性項，運用CPLEX求解器求解。針對CPLEX求解中大型規(guī)模算例的局限性，引入標準粒子群優(yōu)化（particle swarm optimization， PSO）算法提高求解精度。針對標準PSO算法容易陷入局部最優(yōu)的問題，提出一種基于自適應策略的改進PSO算法，動態(tài)調(diào)整慣性權重，提高算法的收斂性和全局尋優(yōu)能力。通過數(shù)值實驗發(fā)現(xiàn)，改進后的算法在全局尋優(yōu)能力和收斂能力上有一定的提高。

關鍵詞：? 多層級運輸網(wǎng)絡; 碳排放; 混合整數(shù)非線性規(guī)劃; 粒子群優(yōu)化（PSO）算法

中圖分類號：? U695.2

文獻標志碼：? A

收稿日期： 2021-03-29

修回日期： 2021-04-26

基金項目： 國家自然科學基金（71771143）

作者簡介：

趙曉（1996—），男，四川巴中人，碩士研究生，研究方向為內(nèi)河航運，（E-mail）1515992779@qq.com;

胡鴻韜（1981—），男，四川綿陽人，教授，博導，博士，研究方向為港口和航運管理與優(yōu)化、供應鏈網(wǎng)絡設計與優(yōu)化，（E-mail）hthu@shmtu.edu.cn

Meeting of the Waterborne Transport Division， World Transport Convention 2021 （WTC 2021）

Research on iron ore transportation in the Yangtze River considering carbon emission cost

ZHAO Xiaoa， HU Hongtaob

（a. Institute of Logistics Science & Engineering; b. Logistics Engineering College， Shanghai Maritime University， Shanghai 201306， China）

Abstract： In order to reduce the overall cost of steel companies purchasing and transporting iron ore， taking into account factors such as ship type， navigation speed and carbon emission， a mixed-integer nonlinear programming model of iron ore transportation in the Yangtze River is established. In the model， the nonlinear terms are converted into the linear terms， and the CPLEX solver is used to solve the model. Aiming at the limitation of CPLEX in solving medium and large scale cases， the standard particle swarm optimization （PSO） algorithm is used to improve the accuracy of solutions. For the problem that the standard PSO algorithm is easy to fall into the local optimum， an improved PSO algorithm based on adaptive strategy is proposed， which can dynamically adjust the inertia weight to improve the algorithms convergence and global optimization ability. Through numerical experiments， it is found that the improved algorithm has a certain improvement in the global optimization ability and convergence ability.

Key words： multi-level transportation network; carbon emission; mixed-integer nonlinear programming; particle swarm optimization （PSO） algorithm

0 引 言

近年來，以長江為紐帶的城市在快速發(fā)展的同時也帶動了長江航道的進一步發(fā)展。這些長江沿岸城市建有許多鋼鐵廠，需要通過長江航道來運輸冶煉鋼鐵所需的鐵礦石。從國外采購鐵礦石再運輸至國內(nèi)，涉及采購價格、船型、航速等問題，因此本文研究在鐵礦石的采購和運輸過程中，如何合理選擇鐵礦石供應商、安排船型、制定航速以及考慮綠色內(nèi)河航運因素，將總成本降到最低。

為實現(xiàn)更高質(zhì)量的綠色內(nèi)河航運，在考慮碳稅政策和碳排放的前提下，林貴華等[1]針對航速優(yōu)化、航線配船、貨物分配問題，建立了船公司收益最大化的混合整數(shù)非線性模型。隋志超等[2]認為征收碳稅和實施碳排放交易機制是實現(xiàn)碳減排目標的有效手段。李晗[3]把政府征收的碳稅作為班輪公司碳減排行為的主要影響因素，并建立了考慮碳排放的集裝箱班輪航線配船優(yōu)化模型。呂靖等[4]認定征收碳稅會增加集裝箱班輪公司的運營成本。李旭等[5]認為在引入碳稅政策后，需要綜合考慮單路徑碳排放約束、整個海運網(wǎng)絡碳排放約束和不同地區(qū)碳稅差異。苗紅云等[6]以航道和港口設計通過能力為條件，將碳排放轉(zhuǎn)化為低碳成本，并考慮減載運輸來建立內(nèi)河散貨運輸網(wǎng)絡優(yōu)化模型，并通過算例分析證明了該模型可以有效降低運輸中的碳排放。

在研究內(nèi)河運輸時，學者們發(fā)現(xiàn)內(nèi)河運輸?shù)目偝杀静粌H包含運營成本、碳排放成本，還包括裝卸成本、碼頭?？砍杀镜取I等[7]選取長江沿岸的鋼鐵企業(yè)為對象，研究如何使企業(yè)運營成本最低，而YANG等[8]通過優(yōu)化模型讓總運輸成本與未滿足所有需求的罰款的總和達到最小。ZHENG等[9]研究了集裝箱運輸軸輻式網(wǎng)絡設計，并提出一個最小混合整數(shù)線性規(guī)劃模型。YANG等[10]建立了以成本最低為目標的長江集裝箱班輪運輸網(wǎng)絡優(yōu)化模型。KONNINGS等[11]探討了鹿特丹港集裝箱駁船裝卸作業(yè)的改進方法以達到成本最低的目標。MENG等[12]所提出的軸輻式網(wǎng)絡以最小化承運商的總運輸成本和樞紐運營商的運營成本為目標。MOON等[13]提出一個在軸輻式網(wǎng)絡中船隊部署的最小不定期船航線模型。而在內(nèi)河航運的服務研究中，TAN等[14]針對船舶排程設計和航行速度最佳化問題，建立了成本最小化雙目標規(guī)劃模型。

本文在以往研究的基礎上，考慮船舶運輸鐵礦石的周期、運輸鐵礦石所使用船舶的類型以及船舶在通過不同航段時的航速、碳排放成本等因素，以鋼鐵企業(yè)的鐵礦石采購和運輸總成本最低為目標建立混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型。將模型中的非線性項轉(zhuǎn)化為線性項，引入標準粒子群優(yōu)化（particle swarm optimization， PSO）算法提高求解精度。提出一種基于自適應策略的改進PSO算法，使模型更容易實現(xiàn)、求解精度更高、收斂速度更快。

1 問題描述和模型

一家位于長江邊的鋼鐵企業(yè)在計劃周期t內(nèi)將從國外供應商處購買的鐵礦石通過船舶運輸?shù)絿鴥?nèi)指定港口進行卸船和轉(zhuǎn)運（見圖1）。鐵礦石不能直接從供應商處運輸至轉(zhuǎn)運港口之外的其他港口，因為受其他港口的水深限制，鐵礦石需先在規(guī)定的轉(zhuǎn)運港進行卸船并裝載到載重較小的船舶上，然后運輸至長江沿岸上游其他港口?？紤]不同類型船舶的載重，決策各航段運輸所需使用船舶的類型及數(shù)量。以鋼鐵企業(yè)總運營成本為目標函數(shù)，并同時考慮與船舶航速、船舶載重等因素相關的碳排放成本。

本文所考慮的長江內(nèi)河散貨運輸問題，不僅要考慮相應參數(shù)的動態(tài)性、不同類型船舶的載重量、船舶航速、碳排放成本等相關因素，而且要滿足每個接收鐵礦石的港口對鐵礦石的需求，決策每個周期內(nèi)需從供應商處采購的鐵礦石數(shù)量、各接收鐵礦石的港口之間需運輸鐵礦石的數(shù)量和運輸鐵礦石所需的船舶數(shù)量。

1.1 條件假設

已知所選定鋼鐵企業(yè)的船舶資源及相關航線信息，針對案例提出以下6點假設：（1）因為本文涉及小規(guī)模算例，其周期不會太長（不超過一個月），且通常散貨船的租金一般以日為單位進行收取，所以本文周期以日為單位[15];（2）港口根據(jù)其實際地理位置排序;（3）鐵礦石只能從下游港口運輸至上游各港口，不能從上游港口運輸至下游各港口;（4）每個港口的需求是預先設定的，而且必須得到滿足;（5）船舶的靠港時間和在各港口的裝卸作業(yè)時間以及由此所產(chǎn)生的成本歸入船舶運輸鐵礦石的時間和成本中;（6）運輸鐵礦石的船舶都為滿載狀態(tài)。

1.2 模型建立

1.2.1 參數(shù)與變量

參數(shù)：t為周期，t=1，2，…，T;v為船型，v=1，2，…，V;s為航速，s=1，2，…，S;h為供應商，h=1，2，…，H;j為中轉(zhuǎn)港，j=1，2，…，N-1;k為目的港，k=j+1;Qv為船型為v的船舶容量大小;ths為船舶以航速s從供應商h到港口1的運輸時間;pht為在周期為t時從供應商h處采購鐵礦石的單價;chvst為在周期為t時船型為v的船舶以航速s從供應商h到港口1的滿載運輸成本;rhvst為在周期為t時船型為v的船舶以航速s從供應商h到港口1的滿載碳排放成本;Ik0為在周期開始時港口k的庫存;Ikt為在周期t末港口k的剩余庫存;dkt為在周期為t時港口k對鐵礦石的需求量;lkt為在周期為t時港口k對鐵礦石的單位存儲成本;tjks為船舶以航速s從港口j到港口k的運輸時間;cjkvst為在周期為t時船型為v的船舶以航速s從港口j到港口k的滿載運輸成本;rjkvst為在周期為t時船型為v的船舶以航速s從港口j到港口k的滿載碳排放成本;M表示足夠大的正數(shù)。

決策變量：xhvt，在周期為t時船型為v的船舶從供應商h到港口1的鐵礦石運輸數(shù)量;yhvst，在周期為t時以航速s從供應商h到港口1運輸鐵礦石所需的船型為v的船舶的數(shù)量;xjkvt，在周期為t時船型為v的船舶從港口j到港口k的鐵礦石運輸數(shù)量;yjkvst，在周期為t時以航速s從港口j到港口k運輸鐵礦石所需的船型為v的船舶的數(shù)量;zhvst是0-1變量，若在周期為t時船型為v的船舶以航速s從供應商h運輸鐵礦石到港口1，則其值為1，否則為0;zjkvst是0-1變量，若在周期為t時船型為v的船舶以航速s從港口j運輸鐵礦石到港口k，則其值為1，否則為0;Yhvst與Zjkvst是輔助決策變量，其值均大于0。

1.2.2 總成本最小化模型

本文所建立的總成本最小化模型為混合整數(shù)非線性規(guī)劃（mixed-integer nonlinear programming， MINLP）模型：

minHh=1Vv=1Tt=1phtxhvt+Hh=1Vv=1Ss=1Tt=1chvstyhvstzhvst+

N-1j=1Nk=j+1Vv=1Ss=1Tt=1cjkvstyjkvstzjkvst+

Hh=1Vv=1Ss=1Tt=1rhvstyhvstzhvst+

N-1j=1Nk=j+1Vv=1Ss=1Tt=1rjkvstyjkvstzjkvst+Nk=1Tt=1Iktlkt

（1）

s. t.

Hh=1Vv=1t-thsτ=1xhvτ+I0=

tτ=1d1τ+It+Nk=2Vv=1tτ=1x1kvτ

（2）

k-1j=1Vv=1t-tjksτ=1xjkvτ+Ik0=

tτ=1dkτ+Ikt+Nj=k+1Vv=1tτ=1xkjvτ

（3）

yhvstQv≥xhvt

（4）

yjkvstQv≥xjkvt

（5）

Vv=1Ss=1zhvst=1

（6）

Vv=1Ss=1zjkvst=1

（7）

xhvt，yhvst，xjkvt，yjkvst，Ikt≥0

（8）

zhvst，zjkvst∈{0，1}

（9）

式（1）為目標函數(shù)，其第一項為從供應商處采購鐵礦石的成本，第二項為從供應商處運輸鐵礦石到第一個港口的運輸成本，第三項為在各港口之間運輸鐵礦石的運輸成本，第四項為從供應商處運輸鐵礦石到第一個港口的碳排放成本，第五項為在各港口之間運輸鐵礦石的碳排放成本，最后一項為鐵礦石在港口的倉儲成本;式（2）和（3）分別為鐵礦石從供應商處向港口1運輸和鐵礦石在各港口之間運輸?shù)牧髌胶?式（4）和（5）分別為鐵礦石從供應商處向港口1運輸和鐵礦石在各港口之間運輸時的船舶數(shù)量限制;式（6）和（7）分別為鐵礦石從供應商處向港口1運輸和鐵礦石在各港口之間運輸時船型和航速的決策;式（8）為非負變量的數(shù)值定義;式（9）為0-1變量的數(shù)值定義。

1.3 模型線性化

本文模型中包含了決策船型和航速，因此目標函數(shù)中存在非線性項。為便于求解，引入兩個輔助決策變量將目標函數(shù)中的非線性項轉(zhuǎn)化為線性項，改進后的模型如下：

minHh=1Vv=1Tt=1phtxhvt+Hh=1Vv=1Ss=1Tt=1chvstYhvst+

N-1j=1Nk=j+1Vv=1Ss=1Tt=1cjkvstZjkvst+Hh=1Vv=1Ss=1Tt=1rhvstYhvst+

N-1j=1Nk=j+1Vv=1Ss=1Tt=1rjkvstZjkvst+Nk=1Tt=1Iktlkt

（10）

s. t.

式（2）～（9）

Yhvst≥（zhvst-1）M+yhvst（11）

Zjkvst≥（zjkvst-1）M+yjkvst（12）

改進后的模型比原模型多了兩個約束（式（11）和（12））。這兩個約束建立起兩個相乘的決策變量之間的線性關系，從而將模型轉(zhuǎn)化為CPLEX能夠求解的一般線性規(guī)劃模型。

1.4 參數(shù)設置

本文研究的問題是從鋼鐵企業(yè)的角度需要解決的問題。實驗所使用的不同規(guī)模的數(shù)據(jù)是通過查閱相關航運資料、寶鋼鋼鐵企業(yè)相關資料并結(jié)合實際設置的，不同規(guī)模下的集合數(shù)據(jù)見表1。模型中的其他參數(shù)是通過利用程序代碼在合理且符合實際的范圍下隨機產(chǎn)生的，數(shù)據(jù)如下：（1）運輸鐵礦石的各類船舶的容量在[2，20]萬t內(nèi)離散均勻產(chǎn)生;（2）從供應商處到港口1的運輸時間為其距離與航速的比值;（3）各供應商的鐵礦石價格在[500，900]元/t內(nèi)隨機產(chǎn)生;（4）根據(jù)相關資料，鐵礦石運輸成本c與船舶容量Qv、船舶航速s、船舶運價p1、運價轉(zhuǎn)化系數(shù)p2存在關系c=p1Qv+p2（s+10），其中船舶在從供應商處到港口1和從港口1到其他港口的運價p1分別在[50，100]元/t和[20，50]元/t內(nèi)隨機產(chǎn)生，船舶在從供應商處到港口1和從港口1到其他港口的運價轉(zhuǎn)換系數(shù)p2分別在[10，30]和[10，15]內(nèi)隨機產(chǎn)生;（5）根據(jù)相關資料，碳排放成本r與船舶容量Qv、船舶航速s、單位碳排放成本k1、碳排放成本轉(zhuǎn)化系數(shù)存在關系r=k1Qv+k2（s+10），其中k1在[200，400]元/t內(nèi)隨機產(chǎn)生，k2在[30，50]內(nèi)隨機產(chǎn)生;（6）港口鐵礦石周期初、末的庫存均在[1 000，4 000]t內(nèi)均勻產(chǎn)生;（7）每個港口的鐵礦石需求在[0.5，2]萬t內(nèi)隨機產(chǎn)生;（8）每個港口的鐵礦石倉儲成本在[1，7]元/t內(nèi)隨機產(chǎn)生;（9）從港口1到其他港口的運輸時間為其距離與航速的比值。

2 求解算法

2.1 PSO算法

PSO算法首先對粒子進行初始化，每個粒子代表一個解。在一個B維搜索空間有n個粒子，粒子i（i=1，2，…，n）的位置和速度分別為xi和vi。在每次迭代中，粒子通過跟蹤兩個極值pi和gi來更新自己，這里，pi和gi分別為個體極值和全局極值。在找到這兩個最優(yōu)值后，粒子更新自己的速度和位置的方法如下：

vi=wvi+c1ri（pi-xi）+c2ri（gi-xi）（13）

xi=xi+vi（14）

式中：w為慣性權重，w∈[0.4，0.9]，w值越大，說明粒子全局尋優(yōu)能力越強，局部尋優(yōu)能力越弱;ri為（0，1）內(nèi)的隨機數(shù);c1和c2為學習因子，通常c1=c2=2。粒子速度的最大值用vmax表示，如果粒子速度超過vmax，則取vi=vmax。

2.2 改進的PSO算法

在PSO算法中，權重w對全局尋優(yōu)和局部尋優(yōu)有著很大的影響，因此選擇合適的w是提高算法尋優(yōu)能力的關鍵。為提高PSO算法的收斂性以及避免PSO算法陷入局部最優(yōu)，引入自適應權重[15]（權重w隨著每個粒子的位置、速度的更新進行自適應調(diào)整）。本文w取值與當前迭代次數(shù)d和迭代總次數(shù)D有關。

通過自適應調(diào)整權重w的PSO算法更新公式如下：

wid=wmin+（wmax-wmin）f（xid）-fdminfdavg-fdmindD，

f（xid）≤fdavg

wmax， f（xid）>fdavg

（15）

式中：wmin和wmax為預設的最小速度權重和最大速度權重，一般取wmin=0.4，wmax=0.9;f（xid）為粒子i第d次迭代時的適應度值;fdavg為第d次迭代時所有粒子的平均適應度值;fdmin為所有粒子第d次迭代時的最小適應度值，fdmin=min{f（x1d），f（x2d），…，f（xnd）}。適應度值越小，說明距離最優(yōu)解越近，此時更需要局部搜索;適應度值越大，說明距離最優(yōu)解越遠，此時更需要全局搜索。

改進的PSO算法流程見圖2。

2.3 算法求解過程

粒子群中每個粒子代表一個解，因為粒子是隨機生成的，所以可以保證粒子的多樣性。選取0-1變量zhvst和zjkvst進行編碼，共生成kt個zhvst和k（k-1）t/2個zjkvst作為生成的初始粒子群，經(jīng)過算法迭代得到種群中最優(yōu)的港口k和周期t所代表的位置，最后獲得粒子的最優(yōu)位置和目標函數(shù)值。

算法中每個粒子的解P包含整數(shù)部分和小數(shù)部分，P的取值范圍為[0，vs-1]。由P/S得到的整數(shù)代表zhvst的v;P/S的余數(shù)代表zhvst中的s，其小數(shù)部分如在[0，0.5]范圍內(nèi)則向下取整，如大于0.5則向上取整。在j、k、t、h分別確定的情況下，唯一的v、s也就隨之確定。

3 算 例

3.1 3種規(guī)模算例實驗

本次算例實驗平臺的CPU為Intel Core i5-9400 2.9 GHz，運行內(nèi)存為8 GB，Windows 10 64位處理系統(tǒng)。采用Python 3.7進行編程，線性規(guī)劃求解部分調(diào)用CPLEX 12.6.2求解器進行求解。標準PSO算法參數(shù)如下：粒子群種群規(guī)模為100，迭代次數(shù)為50，權重w取wmin與wmax的均值0.6;改進PSO算法中權重w通過自適應進行調(diào)整，其余參數(shù)的設置與標準PSO算法的一致。本文設置的小規(guī)模、中規(guī)模、大規(guī)模算例分別包括3個港口、8個港口、20個港口，每個規(guī)模生成了12組數(shù)據(jù)。將每組數(shù)據(jù)輸入模型中進行求解，求解時間及結(jié)果見表2～4。由表2可知，CPLEX的求解時間較短，說明在進行小規(guī)模算例求解時，采用CPLEX進行求解是最為合適的。隨著算例規(guī)模的增大，CPLEX的求解時間也增加，當算例規(guī)模增大到一定程度時CPLEX無法在合適的時間內(nèi)找出最優(yōu)解，因此，中大規(guī)模算例已不適合用CPLEX進行求解。對于中大規(guī)模算例，標準PSO算法和改進的PSO算法均能在合適的時間范圍內(nèi)求解出對應的最優(yōu)解，而且求解出的解的質(zhì)量較好。相比之下，中規(guī)模算例采用改進的PSO算法的求解效果比大規(guī)模算例的好。

3.2 參數(shù)靈敏度分析

模型中涉及的一系列參數(shù)，例如鐵礦石的采購價格、鐵礦石的倉儲成本等，分別分布在成本函數(shù)的各項成本中，其余參數(shù)均與之相關。下面對鐵礦石采購價格進行靈敏度分析，假設鐵礦石的供應商為3個，其分別位于澳大利亞、巴西、南非，且有載重量分別為60 000 t和80 000 t的兩種靈便型散貨船可供選擇，航速可選擇12 kn和15 kn。在其他參數(shù)都一樣的情況下，改變鐵礦石的采購價格，得到鋼鐵企業(yè)總成本的變化情況，見圖3。

由圖3可以看出，隨著鐵礦石采購價格的不斷提高，鋼鐵企業(yè)的總成本也在相應增加。由此可見各國的鐵礦石市場價格很大程度上也會影響鋼鐵企業(yè)的運營。模型中其他參數(shù)如各港口對鐵礦石的需求、鐵礦石的倉儲成本等發(fā)生變化產(chǎn)生的影響均與鐵礦石市場價格的影響一致，鋼鐵企業(yè)的總運營成本會隨著這一系列參數(shù)的變化而發(fā)生改變。

3.3 算法迭代過程對比

為驗證本文所用算法的有效性，選取中規(guī)模、大規(guī)模算例進行實驗，中（大）規(guī)模算例的相關參數(shù)設置：港口數(shù)為8（20）個、規(guī)劃周期為30 d（80 d）、船型數(shù)為6種（15種）、航速為6 kn（15 kn）以及供應商數(shù)為6個（15個）。標準PSO算法和改進的PSO算法的迭代過程對比見圖4和5。兩種算法在求解過程中逐步尋優(yōu)，并在經(jīng)過不同的迭代次數(shù)后收斂于不同的穩(wěn)定值。由圖4和5可以知，兩種算法求解時，雖然標準PSO算法的收斂速度快于改進的PSO算法，但是改進的PSO算法所得到的結(jié)果優(yōu)于標準的PSO算法。

4 結(jié) 論

針對長江內(nèi)河鐵礦石運輸問題，在考慮碳排放成本的情況下，以一家位于長江邊的鋼鐵企業(yè)為研究背景，以鋼鐵企業(yè)的鐵礦石采購和運輸總成本最低為目標建立混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型。采用標準粒子群（PSO）算法和改進的PSO算法進行求解并評價兩種算法的適用性。本文所提出的優(yōu)化模型，能夠讓鋼鐵企業(yè)鐵礦石的采購和運輸總成本有明顯降低，為鋼鐵企業(yè)運營決策提供一定的參考，如選擇相對大的船型可以增加每艘船的鐵礦石運輸量，從而減少運輸次數(shù)、降低運營成本。

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（編輯 賈裙平）