俞 燕

(青田縣章旦中學(xué)教育集團(tuán) 浙江麗水 323900)

在復(fù)習(xí)階段，筆者經(jīng)常思考如何上好一堂復(fù)習(xí)課，怎樣復(fù)習(xí)才是有效的復(fù)習(xí)。因此，以圓的基本性質(zhì)這一章為例，嘗試實(shí)踐復(fù)習(xí)課的上課方式，反思在教學(xué)中存在的不足，并為后續(xù)復(fù)習(xí)課提供思路。

一、如何上好一節(jié)復(fù)習(xí)課

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，存在兩種比較常見的復(fù)習(xí)課狀態(tài)。第一種習(xí)題課。這種課堂對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)只是一堂解題課，一節(jié)課在解題和校對(duì)中度過(guò)，對(duì)于學(xué)生而言原來(lái)會(huì)的還是會(huì)，原來(lái)不會(huì)的現(xiàn)在仍是模模糊糊。他們對(duì)本章知識(shí)的脈絡(luò)是不清晰的，知識(shí)點(diǎn)是分散的。另一種比較常見的是將復(fù)習(xí)課轉(zhuǎn)變成專題課。當(dāng)然專題復(fù)習(xí)有其優(yōu)越性，但它達(dá)不到梳理整章知識(shí)點(diǎn)的目的，因此也達(dá)不到課堂真正的有效性[1]。

在我看來(lái)，好的復(fù)習(xí)課首先應(yīng)促進(jìn)學(xué)生形成知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，找尋每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。其次，應(yīng)是一個(gè)查漏補(bǔ)缺的機(jī)會(huì)，使學(xué)生在本章新課學(xué)習(xí)后作業(yè)中所暴露的問(wèn)題得到有效解決。其三，要借機(jī)提升，綜合解決問(wèn)題。

二、圓的基本性質(zhì)教學(xué)過(guò)程

（一）視頻引入，導(dǎo)出主角

在課前花2分鐘時(shí)間先抓住學(xué)生眼球，用一個(gè)動(dòng)畫《圓滾滾的動(dòng)物世界》這一短視頻引出——“圓”這一主角。動(dòng)畫中的動(dòng)物都是圓滾滾的，一個(gè)個(gè)憨態(tài)可掬的形象，以此來(lái)達(dá)成圓是世界上最完美的圖形之一的認(rèn)知。幫助我打破借班上課的尷尬局面，拉近我與學(xué)生之間的距離。

（二）梳理知識(shí)脈絡(luò)

教師先用幾何畫板給出圓這一圖形，并畫一條直徑。

教師：觀察這一圖形你看出圓的什么性質(zhì)了？

生：軸對(duì)稱性，圓是軸對(duì)稱圖形。

教師：有此圖，你會(huì)聯(lián)想到什么？

生1：垂徑定理。加一條弦和AB垂直。

教師：給出圖形。如圖1，在⊙O中，直徑AB⊥弦CD于點(diǎn)E，OE=3，CD=8，求圓的半徑。

圖 1

圖 2

生2：連接OC，根據(jù)直徑AB⊥弦CD，得CE=ED=4（垂徑定理），根據(jù)勾股定理可得圓的半徑等于5。

教師追問(wèn)：解題依據(jù)？生2：利用垂徑定理。師生共同回顧垂徑定理的相關(guān)內(nèi)容，并將數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為幾何語(yǔ)言。

變式1：如圖1，若已知直徑AB平分弦CD于點(diǎn)E，CD=8，AB=10，試求OE的長(zhǎng)度。

生3：利用垂徑定理逆定理以及通過(guò)設(shè)未知數(shù)，結(jié)合勾股定理來(lái)解決此題。

在三小題的轉(zhuǎn)變中，通過(guò)稍動(dòng)已知條件，總結(jié)回復(fù)知識(shí)點(diǎn)并達(dá)成靈活應(yīng)用。三位學(xué)生的回答將直徑、弦、半徑三者之間構(gòu)成一條線。

變式2：如圖2，若已知直徑AB平分弦CD于點(diǎn)E，CD=8，AB=10，延長(zhǎng)CO，交圓O于點(diǎn)F，連接EF，試求EF的長(zhǎng)度。

此題考查的是垂徑定理的逆定理，以及在圓中利用垂徑定理及其逆定理求解線段長(zhǎng)度的問(wèn)題。圓中隱含條件的利用往往是解題的關(guān)鍵。此題即是利用直徑所對(duì)的圓周角是直角結(jié)合勾股定理幫助解決，師生回顧知識(shí)點(diǎn)并總結(jié)方法。

教師：再次利用此圖，老師稍加改動(dòng)，繼續(xù)探究。

如圖3，若已知直徑AB平分弦CD于點(diǎn)E，連接AD，OD。若已知∠COA=40°，求∠DOA，∠ADC的度數(shù)。

圖 3

圖 4

生4：根據(jù)垂徑定理可知有弧AC等于弧AD，則弧對(duì)應(yīng)的圓心角相等，又因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角等于圓心角的一半，∠DOA=40°，∠ADC=20°。

教師：要求圓心角或圓周角我們往往會(huì)將角轉(zhuǎn)化到弧，借助弧來(lái)求角，在板書上將圓心角、圓周角與垂徑定理相連。

變式：如圖4，AB是半圓O的直徑，D是AH的中點(diǎn)，CD⊥AB于E，交AH于G，求證：AG=DG。

生5：要求AG=DG，證明這個(gè)三角形是等腰三角形，我們只需證明∠GAD=∠ADG，要證這兩個(gè)角相等轉(zhuǎn)換到弧，即可求證。

此題考查學(xué)生對(duì)圓心角圓周角的理解及應(yīng)用，并借助于題目將圓心角、圓周角、弦（直徑）和弧之間的關(guān)系理清。在解決此類相關(guān)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生需要靈活轉(zhuǎn)化。

（三）拓展應(yīng)用（走進(jìn)中考）

如圖5，點(diǎn)A，B，C，D，E均在圓O上，∠BAC=15°，∠CED=30°，則∠BOD的度數(shù)為 。

圖 5

圖 6

生6：∠BOD=∠BOC+∠COD。轉(zhuǎn)到弧BC和弧CD，再將其轉(zhuǎn)化到相對(duì)應(yīng)的圓周角。

變式：如圖6，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C，D，E都在圓O上，若∠C=∠D=∠E，則∠A+∠B=________。

此題學(xué)生并不能很靈活的轉(zhuǎn)化，對(duì)于角到弧的轉(zhuǎn)化運(yùn)用不夠熟練。教師給予提示。

弧與角之間的轉(zhuǎn)化，學(xué)生在處理此類問(wèn)題時(shí)，存在混亂，找不到對(duì)應(yīng)的入手點(diǎn)，兩題的訓(xùn)練旨在幫助學(xué)生感受角到對(duì)應(yīng)弧的轉(zhuǎn)變，并總結(jié)規(guī)律。在求圓中角度問(wèn)題，往往先找到角所對(duì)應(yīng)的弧。

（四）綜合運(yùn)用

如圖7，△ABC內(nèi)接于圓O，AB為圓O的直徑，AB=10，AC=6，連結(jié)OC，弦AD分別交OC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，其中點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)。

圖7

（1）求證：∠CAD=∠CBA。

（2）求OE的長(zhǎng)。

綜合題的運(yùn)用，是檢測(cè)學(xué)生對(duì)于知識(shí)點(diǎn)掌握的重要手段之一。將圓中的知識(shí)點(diǎn)做一個(gè)整體的梳理，并通過(guò)此題讓學(xué)生感受弦、圓心角、圓周角直接的轉(zhuǎn)化。在求解線段長(zhǎng)度問(wèn)題，我們往往將其轉(zhuǎn)化到特殊的三角形中，構(gòu)建模型，構(gòu)建方式方法。

（五）知識(shí)梳理

三、課堂教學(xué)反思

復(fù)習(xí)課與新授課存在的區(qū)別在于如何將無(wú)序的轉(zhuǎn)化為有序的，從點(diǎn)狀到網(wǎng)絡(luò)狀思維的轉(zhuǎn)化。本節(jié)課雖已進(jìn)入尾聲，但教學(xué)的反思之路不停，值得思考的地方仍有很多。

（一）變式訓(xùn)練

在復(fù)習(xí)課過(guò)程中變式可以為突破知識(shí)點(diǎn)，以及檢測(cè)學(xué)生對(duì)于此類問(wèn)題是否掌握起到關(guān)鍵作用。本節(jié)課有三處變式訓(xùn)練的設(shè)置，分別來(lái)達(dá)到垂徑定理、圓心角圓周角和弧與角知識(shí)點(diǎn)的落實(shí)。

在實(shí)際課堂實(shí)施過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，變式題設(shè)置的難度分層并未體現(xiàn)。例如在垂徑定理復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)，三個(gè)變式的難度其實(shí)是在同一層次上的。垂徑定理這一塊內(nèi)容在中考題是一個(gè)必考點(diǎn)，在近幾年麗水卷中垂徑定理往往以證明題一道大題的第一小問(wèn)出現(xiàn)體現(xiàn)。因此在課下，我想對(duì)于垂徑定理復(fù)習(xí)是否可以由此在此題復(fù)習(xí)后讓學(xué)生真實(shí)感受中考題，清晰考點(diǎn)以及不懼怕中考。

在圓心角圓周角復(fù)習(xí)過(guò)程是采用中考題來(lái)體現(xiàn)的，兩題之間的關(guān)聯(lián)也比較密切，轉(zhuǎn)變方向再次思考，但此題后續(xù)的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)還不夠，在教學(xué)過(guò)程中可引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，轉(zhuǎn)化思想。

（二）一題一課

有幸在培訓(xùn)過(guò)程中看到過(guò)溫州優(yōu)秀名師的一題一課教學(xué)，將一節(jié)課以一種串聯(lián)的方式，層層深入，由淺入深。在代數(shù)式中通過(guò)改變數(shù)字，圖形中通過(guò)加線條的方式來(lái)完成一節(jié)課呈現(xiàn)，課堂是真正屬于學(xué)生的，通過(guò)學(xué)生自主參與變題改題發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性。

一題一課的優(yōu)勢(shì)在于課堂內(nèi)容的緊密聯(lián)系性。筆者在初始階段設(shè)計(jì)本堂課時(shí)想著是否能夠通過(guò)一個(gè)圖將所有知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系。因此由一個(gè)圓這個(gè)大環(huán)境下引出，在圓中加入一些線段。但在教學(xué)設(shè)計(jì)上串聯(lián)最后失敗，線條的取消與加入將原圖變得生硬。一題一課需要一定的功底，因此這也給此堂課留下了一個(gè)缺陷，也給自己留下了一個(gè)遺憾。但課堂教學(xué)之路不停，筆者將繼續(xù)嘗試。

（三）課堂自主性

本堂課在教學(xué)過(guò)程中，都是以教師引導(dǎo)為主。但好的課堂教師應(yīng)是學(xué)生課堂的合作者。因此，在課后，我試想著課堂可否完全歸還于學(xué)生。給出圓，讓學(xué)生在圓中添加線段，并讓學(xué)生出題，大家一起解決，總結(jié)方法。這是一堂復(fù)習(xí)課，學(xué)生已經(jīng)有了一定的知識(shí)儲(chǔ)備，放手讓學(xué)生去做，既能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，也能使學(xué)生體會(huì)到自身的主人翁意識(shí)。

本節(jié)課是借班上課，往往會(huì)存在學(xué)生與教師的磨合期，因此讓學(xué)生去總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，并添加線段，請(qǐng)全班一起動(dòng)起來(lái)應(yīng)是一個(gè)不錯(cuò)的方式。但此類課堂應(yīng)是雖是放手，教師在引導(dǎo)過(guò)程中應(yīng)要給學(xué)生一條主線，在預(yù)設(shè)環(huán)節(jié)需要更充分的思考。思考學(xué)生可能出現(xiàn)的變?cè)囶}，以及在放手操作和整堂課主題之間的聯(lián)系與銜接。在課堂上曾經(jīng)看到過(guò)一張PPT，本節(jié)課只有一道題，通過(guò)學(xué)生的合作參與將一節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)和內(nèi)容進(jìn)行呈現(xiàn)。

（四）運(yùn)用多媒體技術(shù)

數(shù)據(jù)分析能幫助教師更好地掌握學(xué)生學(xué)習(xí)情況。在以往的課堂教學(xué)過(guò)程中，教師若想準(zhǔn)確了解學(xué)生的實(shí)際掌握情況，唯一的方式可能在于課后作業(yè)以及課后檢測(cè)，對(duì)整堂課的把握沒(méi)有明確的概念。而利用平板的輔助，教師可以明確自身上課的有效性以及了解學(xué)生對(duì)于哪一塊內(nèi)容是存在問(wèn)題的。能夠及時(shí)針對(duì)學(xué)生的學(xué)情及時(shí)調(diào)整課堂節(jié)奏，使課堂真正做到有效。

學(xué)生對(duì)于平板這一類新型事物的熱情性是比較高的，我們都知道興趣是最好的老師，學(xué)生有了一定興趣，那么對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就會(huì)更感興趣，學(xué)生聽講的專注度也會(huì)相對(duì)來(lái)說(shuō)提高。平板由于它自身帶有的可以觀看視頻，拍照上傳，網(wǎng)上查詢資料的優(yōu)點(diǎn)，學(xué)生也樂(lè)意用這種方式。并且在學(xué)習(xí)過(guò)程中我們會(huì)對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，小組之間會(huì)形成良性競(jìng)爭(zhēng)。并且學(xué)生個(gè)人在學(xué)習(xí)過(guò)程中，每答對(duì)一題，系統(tǒng)會(huì)給予一定的金幣激勵(lì)，教師針對(duì)學(xué)生上課表現(xiàn)也可以學(xué)生一些小紅花之類的獎(jiǎng)勵(lì)，讓每個(gè)學(xué)生都能獲得滿足感和充實(shí)感。學(xué)生通過(guò)答題會(huì)有一個(gè)積分排行榜，這也能促進(jìn)學(xué)生之間的良性競(jìng)爭(zhēng)[2]。

針對(duì)學(xué)生的個(gè)體差異性，因材施教不失為一種好方法。我們也都知道教學(xué)過(guò)程中若能有效實(shí)行因材施教，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有較大的作用。借助于平板，我們可以針對(duì)學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，分層布置作業(yè)，讓每一個(gè)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都能吃飽、吃好，也讓每個(gè)學(xué)生都能感受到跳一跳就能夠得到。并且，學(xué)生的每一次作業(yè)也都可以形成一本電子錯(cuò)題本，這本錯(cuò)題本根據(jù)知識(shí)點(diǎn)的不同進(jìn)行分類，能快速、有效地形成，節(jié)省學(xué)生很多時(shí)間；學(xué)生和教師都能夠快速準(zhǔn)確地掌握學(xué)情。若從初一堅(jiān)持到初三，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)也是一份寶藏。

（五）課堂有效性

評(píng)價(jià)一節(jié)復(fù)習(xí)課好與不好，我想課堂有效性勢(shì)必是一個(gè)重要的評(píng)價(jià)指標(biāo)，如：學(xué)生能否從這堂課得到提升，學(xué)生能否通過(guò)課堂將未解決的問(wèn)題得到解決等。

學(xué)習(xí)最近發(fā)展區(qū)理論表明，復(fù)習(xí)課的開展應(yīng)基于學(xué)生已有的知識(shí)和能力，在實(shí)施過(guò)程中不流于表面，真正做到復(fù)習(xí)有效可行是值得初中數(shù)學(xué)老師思考的一個(gè)重要問(wèn)題。我們?cè)诔踔姓鹿?jié)復(fù)習(xí)課的復(fù)習(xí)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)多思考，多實(shí)踐，多交流和學(xué)習(xí)優(yōu)秀的復(fù)習(xí)策略和方法。