陳宇航，鄒春龍，王生懷，王金剛，張偉

（1.湖北汽車工業(yè)學院，湖北 十堰442002；2.東風活塞軸瓦有限公司，湖北 十堰442002）

在先進精密制造領域中，能否對零件三維型線和復雜空間曲面進行高效率、高精度的檢測和誤差評定是影響產(chǎn)品質(zhì)量和壽命［1-2］的因素。針對曲線輪廓度的評定，學者側(cè)重于平面曲線領域的研究。文獻［3］基于最小條件法，采用模擬實際量具測量過程的方法來評定平面線輪廓度誤差；文獻［4］采用最小二乘法，結合樣條插值函數(shù)與優(yōu)化技術來處理數(shù)據(jù)，從而實現(xiàn)空間平面曲線輪廓度誤差的評定；文獻［5］采用了特定的一維搜索法，實現(xiàn)自由曲線輪廓度誤差評定中的坐標系自適應調(diào)整；文獻［6］提出用逐次逼近思想來評定平面自由曲線的輪廓度誤差的方法。文獻［7］提出的正交最小二乘法將曲線輪廓度誤差的最小二乘評定從基于代數(shù)距離轉(zhuǎn)變?yōu)榛诜ㄏ蚓嚯x，提高了誤差評定的準確性；文獻［8］采用非均勻有理B樣條（NURBS）插值與遺傳算法相結合的方法來評定復雜平面曲線輪廓度。曲線輪廓度誤差評定的核心是確定測量點到理想曲線的最短距離，如何快速準確的求解測量點到理想曲線的最短距離成為研究重點。文獻［9］提出了計算點到空間參數(shù)曲線最小距離的3種算法。文獻［10］提出用非均勻有理B樣條表示自由曲線，應用改進遺傳算法重建自由曲線，基于擬隨機Halton序列產(chǎn)生均勻數(shù)據(jù)參數(shù)值計算點到重建自由曲線最短距離。針對復雜曲線輪廓度誤差的評定，在空間曲線函數(shù)關系式無法表達的情況下，學者一般根據(jù)實測離散點擬合曲線函數(shù)，測量實測點到擬合曲線函數(shù)的距離來評定線輪廓度。

由于復雜空間三維曲線的特殊性，曲線的輪廓難以用函數(shù)關系式表征。文中針對復雜三維空間曲線輪廓度評定，提出一種構建包絡圓方程來評定復雜全域線輪廓度的方法。首先針對于三維空間曲線輪廓的復雜性，提取理論輪廓曲線與實際輪廓曲線，根據(jù)被測輪廓線的特點，分別將理論輪廓曲線與實際輪廓曲線轉(zhuǎn)化為點坐標，并以理論輪廓點坐標建立包絡區(qū)域函數(shù)，最后通過包絡組圓函數(shù)來確定線輪廓誤差。

1 三維輪廓評定復雜度

線輪廓度公差帶是指包絡一系列直徑為公差值d的圓的兩包絡線之間的區(qū)域。諸圓的圓心位于具有理論正確幾何形狀線上，圖1為線輪廓度公差定義示意圖。

圖1 線輪廓度公差定義示意圖

國標定義輪廓度曲線是在二維平面內(nèi)進行評定的，未給出三維曲線輪廓度的評定方法?？臻g中三維曲線由空間點的位置決定，受x、y、z方向的影響，難以直接評定。根據(jù)被檢測零件的形狀與功能，分析影響空間曲線輪廓度誤差影響最大的方向，最終確定線輪廓度。圖2為被檢測零件模型及型線提取示意圖。線輪廓度誤差分為x、y、z軸3個方向，根據(jù)零件特性，分析得出y軸是影響線輪廓度的主要方向。

圖2 零件模型及被測型線提取示意圖

2 三維輪廓采樣與維度處理

2.1 三維輪廓提取

被檢測零件內(nèi)部的曲面光滑且連續(xù)。為準確描述曲線輪廓，按照型線位置選取圓柱函數(shù)：

圖3為圓柱函數(shù)示意圖，獲取被測輪廓型線?？臻g點由直角坐標系到柱坐標變換如下：

圖3 圓柱函數(shù)示意圖

式中：ρ為截面圓柱的半徑；θ為oP1與z軸的夾角，oP1為曲線輪廓線上點P在xz平面的投影P1與o點的連線。當ρ取某定值時，被測空間輪廓線函數(shù)：

式中：u為型線上的點在z軸方向的分量；v為型線上的點在x軸方向的分量；w為型線上的點在y軸方向的分量。

2.2 維度處理

空間曲線在2π范圍內(nèi)，經(jīng)過坐標變換將空間點（u,v,w）轉(zhuǎn)換為二維曲線：

式中：θ∈(-π,π)。將二維曲線的x坐標進行n等分，得到點云數(shù)據(jù)，用矩陣Π表示：

式中：pi為型線上第i個離散點序號值，i∈［1,n］；yi為型線上第i個離散點的在y軸上的分量。

3 誤差評定方法

3.1 采樣點的歸一處理

受檢測環(huán)節(jié)限制和噪聲點混雜，采樣數(shù)據(jù)的坐標與理論輪廓上對應點的坐標不完全匹配，造成評估過程中采樣數(shù)據(jù)位錯。空間采樣數(shù)據(jù)與理論輪廓點，經(jīng)過維度處理后，進行歸一化處理，即保證評估點與檢測點之間相互對應?？臻g實測點與理論輪廓的配對，按照維度處理原則，實測點矩陣Γ為

歸一化系數(shù)為

將ki并入Γ，獲得歸一化矩陣：

實測點云與理論點云配對，最小值偏離系數(shù)s的求解方法為

式中：t，j為正整數(shù)；d為被檢輪廓度公差值；當s≤d/10，實際輪廓與理論輪廓完成坐標點的配對，根據(jù)式（9）可以確定搜索次數(shù)n。

3.2 全域評定方法

根據(jù)線輪廓度公差定義，被測點相對于理論點的位置定義成測量點相對于誤差圓的相對位置。圖4為測量點在包絡組圓的分布情況，測量點在以理論點為圓心的4個象限內(nèi)。圖4a為點在圓內(nèi)分布均勻，圖4b在圓內(nèi)向圓心聚攏，圖4c為測量點聚攏于理論點圓心位置，圖4d為被測點未被包絡。

圖4 測量點分布圖

被檢測零件型線輪廓屬于空間三維曲線，為了準確評定該零件的線輪廓度，以已知理論輪廓點位置建立檢測包絡檢測區(qū)域函數(shù)，通過包絡組圓函數(shù)來評定全域內(nèi)測量點相對于理論輪廓的位置關系，從而確定線輪廓度誤差。線輪廓度全域評定原理如圖5所示。

圖5 被測輪廓度誤差評定原理圖

式中：α、β為分別誤差圓x、y方向上的自變量；λi為包絡圓的半徑；φi為型線上第i個理論輪廓點展開后的X軸方向的分量；ξ為尺寸系數(shù)比。

全域內(nèi)評估輪廓度值時，曲線形狀與誤差尺度量級不同，x偏小，不便于分辨和評估。對矩陣Γ、Π進行偏離處理，消除長度參數(shù)的尺度。在輪廓曲線維度處理后測量點用矩陣Μ表示：

偏離值集合矩陣N2表示為

偏離值平方和用矩陣H表示為

式中：σr為三維曲線的線輪廓度；Nn1為矩陣N中的元素；hn1為矩陣H中的元素。

4 實驗結果分析

被測零件為某雙離合變速器（DCT）換擋轂，選取直徑為107.8 mm的圓柱作為截圓，獲取理論輪廓和實測輪廓采樣點，經(jīng)緯度和離散化處理，得到其二維輪廓點云圖。經(jīng)式（9）歸一化處理完成輪廓理論點與實測點的配對，如圖6所示，型線展開后的配對情況如圖7所示。

圖6 輪廓采樣點提取圖

圖7 輪廓理論點與實測點配對圖

根據(jù)式（10）確定全域范圍內(nèi)包絡組圓及評定方法，如圖8所示。圖9參照圖4中點的分布情況，以點云中λ1最大值為半徑和對應理論點為圓心，繪制被測輪廓全域評定誤差圖。在全域內(nèi)隨機選取局部位置點放大，可觀察到測量離散點均包絡于組圓內(nèi)。獲取理論點與實測點在敏感方向的差值，見圖9，進一步顯示被測零件輪廓的偏差實際情況。

圖8 輪廓線區(qū)域離散點評定誤差圖

圖9 輪廓全域殘差圖

為了更直觀地顯示全域內(nèi)各個點的偏差，根據(jù)式（11）消去輪廓曲線長度元，對全域內(nèi)檢測點進行標記，方便檢測結果可溯源到曲線的對應位置，如圖10所示。利用式（14）搜尋到可包絡全部采樣點的圓，σr為0.350。溯源到全域內(nèi)最大誤差位置點為60，如圖10b所示。

圖10 輪廓度全域誤差溯源圖

包絡圓內(nèi)顯示全域內(nèi)點相對于理論點的位置和偏離的趨勢，即輪廓度誤差，通過點的標記號連續(xù)分布于包絡圓，所對應的曲線相關區(qū)域測量點偏離理論輪廓幅度大。

5 結論

文中提出了三維曲線輪廓度全域評定方法，實驗結果顯示誤差值為0.375 mm，符合誤差范圍要求，且檢測結果可溯源到曲線的對應位置，同時構建組圓包絡函數(shù)，實現(xiàn)輪廓度全域評定，該方法具有全局性，符合輪廓度定義。