黃洪猛，張元海

(1. 蘭州交通大學 土木工程學院，甘肅 蘭州 730070；2. 西北民族大學 土木工程學院，甘肅 蘭州 730030)

組成薄壁箱梁的各板件在約束扭轉(zhuǎn)和橫向彎曲中的受力性能可以按照平面應力問題進行分析，而在彈性力學平面問題的物理學中，泊松比是描述應力應變關系的材料彈性常數(shù)之一。烏曼斯基第二理論和符拉索夫的廣義坐標法是薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)分析最為實用的理論[1]。采用烏曼斯基第二理論分析薄壁箱梁的約束扭轉(zhuǎn)效應時，需利用平面應力問題中的應力應變關系并滿足剛周邊假設。謝旭等[2?4]考慮泊松比建立約束扭轉(zhuǎn)翹曲正應力與應變的關系，而郭金瓊等[1,5?9]卻忽略泊松比的影響，近似取拉壓彈性模量描述應力應變關系。橫向內(nèi)力分析，即對組成薄壁箱梁的各板件考慮畸變效應的橫向撓曲分析，一般采用框架分析法，KURIAN等[10]基于大量的三維有限元分析提出了修正的簡化框架分析法。根據(jù)平面應力問題的物理和幾何條件，參照薄板彎曲理論的力矩—位移方程，薄板的橫向抗彎剛度含有泊松比這一常數(shù)。但是在畸變橫向內(nèi)力分析時，對泊松比的處理并不統(tǒng)一：項海帆等[5,9,11?12]在畸變橫向內(nèi)力分析中忽略泊松比對橫向彎曲剛度的影響；XU 等[3]在畸變橫向內(nèi)力分析時考慮泊松比對彈性模量修正，而郭金瓊等[1,13?15]考慮泊松比均對橫向彎曲慣性矩修正。目前，在薄壁箱梁的約束扭轉(zhuǎn)和橫向內(nèi)力分析中，對泊松比這一常數(shù)的處理方式尚不統(tǒng)一，而且泊松比考慮與否對結(jié)果的影響程度尚無對比研究。本文分別采用烏曼斯基第二理論和框架分析法對薄壁箱梁的約束扭轉(zhuǎn)和橫向內(nèi)力進行分析，結(jié)合不同材料的薄壁箱梁數(shù)值算例，對比泊松比考慮與否對約束扭轉(zhuǎn)效應和橫向內(nèi)力的影響。

1 約束扭轉(zhuǎn)分析

圖1 為薄壁箱梁的橫斷面簡圖。坐標原點O為形心，y軸和z軸為形心主軸，S為扭轉(zhuǎn)中心；b，bt，bb，bf，bw分別為箱梁總寬、頂板寬、底板寬、懸臂板寬、腹板寬，tt，tb，tw分別為頂板、底板、腹板的厚度，h為頂、底板中面的距離；s為沿箱壁的曲線坐標；ρ為扭轉(zhuǎn)中心至各板中面的垂直距離。

根據(jù)烏曼斯基第二理論及剛周邊假定εs=0，結(jié)合平面應力問題的幾何和物理方程，扭轉(zhuǎn)翹曲正應力σωˉ表達為：

式中：x為縱向坐標；u為橫截面約束扭轉(zhuǎn)時的縱向翹曲位移；E為材料彈性模量；μ為材料泊松比；考慮泊松比影響時，用E'代替E，E'=E/(1-μ2)。

薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)分析時需考慮二次剪切變形影響，引入新的廣義翹曲位移β'(x)，則翹曲正應力σωˉ為[1]：

式中帶有符號‖l/2的項表示x＞l/2 時考慮此項。由式(11)～(13)可以看出，跨中截面的總扭矩Mz，自由扭矩Ms和二次扭矩Mωˉ不受泊松比的影響。

將式(9)代入式(3)可得簡支箱梁跨中截面的扭轉(zhuǎn)翹曲正應力表達σωˉ為：

由式(14)可以計算出跨中截面考慮泊松比與不考慮泊松比時的翹曲正應力，按照2種方式計算的翹曲正應力比值與約束扭轉(zhuǎn)特性參數(shù)k和泊松比μ有關，而k只與μ有關，因此翹曲正應力比值是常量。

2 橫向內(nèi)力分析

本文采用框架分析法分析由畸變引起的橫向內(nèi)力，框架分析法包括加支承的框架分析和支承釋放后的結(jié)構(gòu)分析。加支承時的框架橫向內(nèi)力采用結(jié)構(gòu)力學的方法即可求得，支承釋放后將加支承的框架反力反向施加在原結(jié)構(gòu)上，并分解為對稱荷載和反對稱荷載。由于對稱荷載作用下的橫向彎矩較小，可忽略不計，故僅分析反對稱荷載作用下的橫向彎矩。支承釋放后的反對稱荷載分布如圖2 所示，A和D分別為腹板與頂板、底板的交點，qs和qh分別為支承釋放后的水平、豎向反對稱荷載。

圖2 支承釋放的反對稱荷載Fig.2 Dissymmetric load after releasing the supports

假定箱梁各板件在反對稱荷載作用下的畸變翹曲正應力在平面內(nèi)沿直線分布且符合平截面假

畸變翹曲正應力在箱梁橫截面需滿足自平衡關系：

式中：各參數(shù)的含義如圖1所示。

支承釋放后的結(jié)構(gòu)分析中，反對稱荷載可使箱梁產(chǎn)生剛性扭轉(zhuǎn)和畸變，從而在各板件上沿縱向產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)剪力差和畸變剪力差。設t′s，t′x，t′h分別為頂板、底板和腹板上的扭轉(zhuǎn)剪力差，T′s，T′x，T′h分別為頂板、底板和腹板上的畸變剪力差。剪力差分布如圖3所示。

底板和腹板交點處的平均剪力流相等，即：

ηm為描述腹板反彎點位置的系數(shù)，依據(jù)反彎點的概念，采用結(jié)構(gòu)力學方法可求得系數(shù)ηm：

結(jié)構(gòu)分析中，畸變荷載作用下會產(chǎn)生畸變角和畸變位移。根據(jù)畸變角和畸變位移之間的幾何關系，以及縱向撓曲作用求解的畸變位移和按框架作用求解的畸變位移之間的協(xié)調(diào)性[1,15]，可得：

聯(lián)立式(16)～(24)即可求得Qs，Qx，Qh，進而由圖4求得反對稱荷載下各角點的橫向彎矩。

圖4 各板件的剪力Fig.4 Shear force of each slab

3 數(shù)值算例

3.1 剪切變形的影響分析

為了驗證本文方法的正確性，并對比剪切變形對約束扭轉(zhuǎn)和畸變橫向彎曲的影響，選取跨度l=1 m，截面寬度b=0.4 m，高度h=0.3 m，壁厚t=0.01 m 的矩形薄壁箱梁作為算例，材料彈性模量E=206 GPa，泊松比μ=0.31。

約束扭轉(zhuǎn)分析時，選取左端固定右端自由的懸臂梁為算例，自由端作用集中扭矩荷載M? = 1.0 kN ?m。由于矩形箱梁的雙對稱性，腹板與頂、底板交點處的各角點扭轉(zhuǎn)翹曲正應力絕對值相等。圖5 繪制了角點扭轉(zhuǎn)翹曲正應力沿縱向的分布曲線。由圖5可以看出在固定端處，考慮剪切變形與不考慮剪切變形的計算結(jié)果存在明顯差異固定端處的結(jié)果存在明顯差異。文獻[1]中提到不考慮剪切變形，選取扭率φ'(x)作為描述扭轉(zhuǎn)翹曲位移的函數(shù)時，結(jié)果誤差很大。

橫向內(nèi)力分析時，選取簡支梁為算例，距頂板中點0.1 m 處滿跨布置豎向均布荷載q=1.0 kN/m。跨中截面的橫向彎矩分布如圖6 所示。由圖6 可以看出，考慮剪切變形與不考慮剪切變形的計算結(jié)果差異很小，因此橫向彎曲內(nèi)力分析時可以不考慮剪切變形。

圖6 跨中截面橫向彎矩分布Fig.6 Transverse bending moment at mid-span cross section

3.2 約束扭轉(zhuǎn)分析算例

文獻[1,5]中的預應力混凝土等截面簡支箱梁，橫截面尺寸如圖7所示。計算跨徑l=40 m，在跨中截面作用集中扭矩荷載M=1 060 kN?m。材料彈性常 數(shù)：E= 34 GPa，μ= 0.17。 計 算 得 出Iρ=11.503m4，Id= 8.069 m4，Iωˉ= 2.366 m6，ξ=0.299，ωˉA= 1.627 7 m2，ωˉB= -1.375 4 m2，ωˉC=0.7513m2。

圖7 箱梁橫截面Fig.7 Cross section of box girder

為了分析不同泊松比對薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)效應的影響，本文還按照鋼材、有機玻璃等常用材料選取不同的泊松比。材料彈性常數(shù)：鋼材E=206 GPa，μ=0.31；有機玻璃E=2.8 GPa，μ=0.37。為了分析考慮泊松比與不考慮泊松比的計算結(jié)果差異，引入差值比，其由考慮泊松比的解與不考慮泊松比的解的差除以不考慮泊松比的解求得。

由式(3)和式(4)可知同一截面上任一點的扭轉(zhuǎn)翹曲正應力和雙力矩是正比例關系，并且考慮泊松比與不考慮泊松比時的結(jié)果也是正比例關系，故差值比相等，表1 中僅列出了A點扭轉(zhuǎn)翹曲正應力的結(jié)果。表1 中有限元解是采用有限元軟件AN‐SYS 中的SHELL63 殼單元計算得到，為了消除跨中截面加載的局部應力影響，故選在距跨中2 m 處的截面與有限元解進行比較。由表1可以看出：泊松比越大，扭轉(zhuǎn)翹曲正應力差值比越大；考慮泊松比的扭轉(zhuǎn)翹曲正應力與有限元值吻合更好，且比不考慮泊松比時的結(jié)果大；距跨中2 m 處的扭轉(zhuǎn)翹曲正應力差值比大于跨中截面，當μ=0.37(有機玻璃)時，差值比達到17.38%。

表1 扭轉(zhuǎn)翹曲正應力比較Table 1 Comparison of torsion warping normal stresses

表2 給出了跨中截面的扭轉(zhuǎn)角結(jié)果，由表2 可以看出，泊松比考慮與否的最大扭轉(zhuǎn)角基本相等，最大扭轉(zhuǎn)角差值比的絕對值均未超過0.5%。

表2 跨中截面的扭轉(zhuǎn)角Table 2 Torsional angle at mid-span cross section

為了研究箱梁約束扭轉(zhuǎn)翹曲正應力與寬跨比的關系，懸臂板相對頂板寬度不變的情況下，改變箱梁總寬b的尺寸，使其從2 m 開始以2 m 的步長增大至16 m，對應的寬跨比b/l從0.05 以0.05 的步長增大至0.4。圖8 繪制了考慮泊松比后不同寬跨比的混凝土箱梁翹曲正應力沿縱向坐標的分布曲線，由圖8可以看出，跨中截面的翹曲正應力最大，并且向兩側(cè)呈現(xiàn)減小的趨勢，隨著寬跨比的逐漸增大，翹曲正應力減小的趨勢由陡峭逐漸變緩，當寬跨比為0.40時，距跨中2 m 截面處的翹曲正應力達到跨中的44%，因此靠近跨中位置的截面應力不能忽視。計算表明，當按照鋼材和有機玻璃計算時，不同寬跨比的箱梁扭轉(zhuǎn)翹曲正應力雖數(shù)值不同，但沿縱坐標的分布規(guī)律一致。

圖8 不同寬跨比b/l的混凝土箱梁扭轉(zhuǎn)翹曲正應力Fig.8 Torsion warping normal stresses of concrete box girder with different b/l

為了分析翹曲正應力差值比隨寬跨比的變化趨勢，圖9繪制了不同材料的薄壁箱梁在跨中截面和距跨中2 m 截面處的翹曲正應力差值比曲線。由圖9可以看出：跨中截面的翹曲正應力差值比不隨寬跨比變化，這是因為跨中的應力差值比只與約束扭轉(zhuǎn)特性參數(shù)k和泊松比μ有關，而k只與泊松比μ有關所致；距跨中2 m 截面處的翹曲正應力差值比隨寬跨比的增大而減小，當μ=0.37(有機玻璃)、b/l=0.05 時，應力差值比達到28.41%；當寬跨比b/l相同時，同一截面上的應力差值比隨泊松比的增大而增大。

圖9 翹曲正應力差值比隨寬跨比b/l的變化曲線Fig.9 Variation of difference ratio of warping normal stresses with b/l

3.3 橫向內(nèi)力分析算例

有機玻璃制作的等截面簡支箱梁模型[1]，計算跨徑l=1 200 mm，在頂板上距離腹板50 mm 的位置處滿跨作用q=1 kN/m 的偏心豎向均布荷載。材料彈性常數(shù)：E=2.8 GPa，μ=0.37。簡支箱梁荷載及橫截面見圖10。

圖10 箱梁荷載及橫截面Fig.10 Load and cross section of box girder

為了分析不同泊松比對薄壁箱梁橫向內(nèi)力的影響，按照鋼材、混凝土等常用材料選取不同的泊松比值，對鋼箱梁、混凝土箱梁、鋼(腹板)—混凝土(頂板、底板)組合箱梁等結(jié)構(gòu)的橫向彎矩進行了分析。材料彈性常數(shù)：鋼材E=206 GPa，μ=0.31；混凝土E=34 GPa，μ=0.17。

加剛性支承的框架橫向彎矩和支承反力可采用結(jié)構(gòu)力學的方法求解，根據(jù)支承反力與支承釋放后的荷載之間的關系，可進一步求得反對稱荷載。當組成箱梁的各板件選用相同的材料時，由ηm的表達式可知反對稱荷載下的橫向彎矩不受泊松比的影響，故各點在反對稱荷載下的橫向彎矩差值比相同。對于鋼—混組合箱梁的各板件選用不同的材料，造成各板件的相對彎曲剛度發(fā)生變化，及加支承的框架支承反力重分配，進而使得釋放支承后的反對稱荷載值發(fā)生變化，另外各板件選用不同的材料時，受泊松比的影響ηm也不同，也使得橫截面各點在反對稱荷載下的橫向彎矩差值比不同。

表3 列出了泊松比考慮與否在跨中截面A點和D點的橫向彎矩結(jié)果，表3 中的有限元解同樣采用有限元軟件ANSYS 中的SHELL63 殼單元計算得到。由表3可以看出：考慮泊松比的橫向彎矩與有限元值吻合良好；支承釋放后反對稱荷載下的橫向彎矩差值比的絕對值隨泊松比的增大而增大，但均未超過5%。

表3 跨中截面A和D點的橫向彎矩比較Table 3 Comparison of transverse bending moment at mid-span cross section

為了研究箱梁在反對稱荷載下的橫向彎矩與寬跨比的關系，通過改變箱梁總寬b，使得箱梁總寬b從100 mm 以100 mm 的步長增大至500 mm，對應寬跨比b/l分別為0.083，0.167，0.333，0.25和0.417，頂板、懸臂板和底板寬度隨總寬b 呈正比例變化，梁高h分別取值100 mm，200 mm，q=1 kN/m 的豎向荷載作用于距頂板中點20 mm 的位置。有機玻璃箱梁的橫向彎矩差值比隨寬跨比的變化曲線如圖11 所示。由圖11 可以看出，反對稱荷載下的橫向彎矩差值比絕對值隨寬跨比的增大而增大，當h=200 mm，b/l=為0.417時，橫向彎矩差值比達到了-24.97%。

圖11 反對稱荷載下的橫向彎矩差值比隨寬跨比b/l的變化曲線Fig.11 Variation of difference ratio of transverse bending moment with dissymmetric load with b/l

4 結(jié)論

1) 通過數(shù)值算例分析了剪切變形在約束扭轉(zhuǎn)和橫向內(nèi)力中的影響，剪切變形對約束扭轉(zhuǎn)的影響較大，采用烏曼斯基第二理論分析約束扭轉(zhuǎn)時應考慮剪切變形的影響，而采用框架分析法分析橫向內(nèi)力時剪切變形的影響可忽略。

2) 本文提出對薄壁箱梁的約束扭轉(zhuǎn)和橫向內(nèi)力分析應考慮泊松比的影響，數(shù)值算例表明：按本文方法計算扭轉(zhuǎn)翹曲正應力和橫向彎矩與有限元結(jié)果吻合良好，驗證了本文方法的合理性。

3) 采用烏曼斯基第二理論分析薄壁箱梁的約束扭轉(zhuǎn)時，翹曲正應力差值比隨泊松比的增大而增大，距跨中2 m 截面處的翹曲正應力差值比隨寬跨比的增大而遞減，最大可達到28.41%，泊松比在約束扭轉(zhuǎn)分析中的影響不容忽視。

4) 采用框架分析法分析薄壁箱梁畸變橫向內(nèi)力時，反對稱荷載下的橫向彎矩差值比絕對值隨泊松比的增大而增大，同種材料下隨寬跨比的增大而增大，橫向彎矩的差值比絕對值最大達到24.97%，泊松比在橫向內(nèi)力分析中的影響同樣不容忽視。

5) 對薄壁箱梁的各板件在約束扭轉(zhuǎn)和橫向彎曲中的受力性能分析時，結(jié)合平面應力問題的幾何和物理方程，考慮泊松比對應力應變關系的影響，才能真實反映薄壁箱梁各板件的受力情況，本文的研究也使得對泊松比的處理相統(tǒng)一。