龍 兵，高雙勝，金 偉

(1 常州工學(xué)院航空與機(jī)械工程學(xué)院，江蘇常州 213032；2 96811部隊(duì)，浙江江山 324109)

0 引言

固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)是導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的動(dòng)力裝置，其結(jié)構(gòu)完整性是動(dòng)力系統(tǒng)乃至整個(gè)武器系統(tǒng)安全性和可靠性的重要影響因素。發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥在生產(chǎn)、運(yùn)輸和使用過(guò)程中，會(huì)受到溫度、機(jī)械振動(dòng)和沖擊等載荷作用。研究表明[1]，裝藥產(chǎn)生裂紋和脫粘等缺陷的主要原因是過(guò)載沖擊和溫度變化所產(chǎn)生的伸縮變形。裂紋會(huì)破壞固體發(fā)動(dòng)機(jī)的結(jié)構(gòu)完整性，嚴(yán)重時(shí)甚至可能引起爆燃爆轟，造成災(zāi)難性事故[2]。因此開展點(diǎn)火瞬態(tài)發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥的動(dòng)態(tài)斷裂研究十分必要。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)固體推進(jìn)劑的動(dòng)態(tài)斷裂性能開展了一定的試驗(yàn)研究。Ho等[3]使用霍普金森桿和動(dòng)態(tài)熱分析(DMA)研究了復(fù)合固體推進(jìn)劑斷裂特性與其動(dòng)態(tài)粘彈特性的關(guān)系。龍兵等[4-5]開展了固體推進(jìn)劑的低溫?cái)嗔研阅艿脑囼?yàn)研究，結(jié)果表明溫度和應(yīng)變率對(duì)推進(jìn)劑的斷裂性能具有重要影響。汪文強(qiáng)等[6]利用SHPB技術(shù)，對(duì)CMDB推進(jìn)劑進(jìn)行了沖擊斷裂試驗(yàn)，研究結(jié)果表明CMDB推進(jìn)劑動(dòng)態(tài)斷裂韌性表現(xiàn)出明顯的線性率敏感特性，其在高過(guò)載條件下表現(xiàn)出明顯的脆性起裂特性。趙汝巖等[7]進(jìn)行了含典型裂紋裝藥結(jié)構(gòu)點(diǎn)火瞬態(tài)的壓強(qiáng)變化試驗(yàn)研究，結(jié)果表明較深裂紋尖端的壓強(qiáng)遠(yuǎn)高于燃燒室壓強(qiáng)，易引發(fā)爆炸事故。

隨著數(shù)值計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，越來(lái)越多的學(xué)者開始使用有限元法分析發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥的斷裂問(wèn)題。Han等[8]在考慮應(yīng)變率相關(guān)性的影響基礎(chǔ)上，建立了一種應(yīng)變率相關(guān)內(nèi)聚力本構(gòu)，仿真結(jié)果和試驗(yàn)所得結(jié)果基本一致。李東[9]通過(guò)建立由三維非線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系描述的固體推進(jìn)劑有限元模型，研究了裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)的分布及其對(duì)加載速率的響應(yīng)。但是目前國(guó)內(nèi)外對(duì)于發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥動(dòng)態(tài)沖擊載荷下的數(shù)值模擬見諸報(bào)道的不多。動(dòng)態(tài)條件下裂紋尖端場(chǎng)的研究不僅可以為裂紋起裂和擴(kuò)展準(zhǔn)則的建立提供理論依據(jù)，并且可以檢驗(yàn)數(shù)值解的正確性。

為研究發(fā)動(dòng)機(jī)藥柱在點(diǎn)火瞬態(tài)時(shí)的動(dòng)態(tài)裂紋尖端場(chǎng)，建立管形含裂紋藥柱結(jié)構(gòu)的有限元模型，計(jì)算得到固體推進(jìn)劑藥柱動(dòng)態(tài)裂紋尖端的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)，分析其變化規(guī)律；在此基礎(chǔ)上得到裂尖區(qū)域的張開應(yīng)力分布，并計(jì)算動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子。

1 固體推進(jìn)劑不可壓縮Ⅰ型裂紋尖端場(chǎng)

在裂紋尖端附近，也就是當(dāng)r趨近于0時(shí)，裂尖附近的應(yīng)力趨向于無(wú)窮大，這就是應(yīng)力奇異性，圖1為裂紋尖端應(yīng)力奇異性示意圖。

圖1 裂紋尖端應(yīng)力奇異性

對(duì)于Ⅰ型裂紋，裂尖應(yīng)力場(chǎng)可以通過(guò)下列方程表示：

(1)

(2)

(3)

式中：r,θ為裂紋尖端附近點(diǎn)的極坐標(biāo)；KI為應(yīng)力強(qiáng)度因子，由式(4)計(jì)算：

(4)

裂紋尖端位移場(chǎng)可由下列方程描述：

(5)

(6)

式中：ν為材料的泊松比；G為剪切模量。

從以上裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)可以看出，它們都由參數(shù)KI，r，θ控制，其中r和θ為坐標(biāo)參量。因此可以認(rèn)為在同一結(jié)構(gòu)中，KI為裂紋尖端場(chǎng)的最終控制參量。對(duì)于動(dòng)態(tài)裂紋尖端場(chǎng)問(wèn)題，只需要計(jì)算動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子，就可以得出動(dòng)態(tài)裂紋尖端場(chǎng)的控制方程：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

2 含裂紋固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)模型

2.1 有限元模型及網(wǎng)格劃分

固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)由安全發(fā)火機(jī)構(gòu)、點(diǎn)火機(jī)構(gòu)、裝藥燃燒室和噴管等部分組成。裝藥燃燒室由高強(qiáng)度合金鋼殼體、絕熱層、襯層和藥柱等組成。裝藥結(jié)構(gòu)由于受到各種載荷的作用產(chǎn)生裂紋等缺陷，造成結(jié)構(gòu)完整性的破壞。為便于研究，在這里選取裝藥結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，力學(xué)特征明顯，易于數(shù)值仿真建模的內(nèi)燃式管形裝藥，藥柱結(jié)構(gòu)預(yù)制裂紋，分析藥柱受沖擊載荷作用下的表面裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)。如圖2所示帶預(yù)制裂紋的管型發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖，取裝藥外徑R=160 mm，內(nèi)徑r=50 mm，W代表發(fā)動(dòng)機(jī)推進(jìn)劑肉厚，a代表預(yù)制裂紋的長(zhǎng)度，在這里設(shè)置裂紋長(zhǎng)度a/W=0.4進(jìn)行仿真計(jì)算。

圖2 固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)示意圖

圖3 裂紋尖端的網(wǎng)格細(xì)化

2.2 材料參數(shù)及邊界條件

在點(diǎn)火瞬態(tài)載荷的沖擊條件下，發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥應(yīng)變和應(yīng)力表現(xiàn)出明顯的線性特征[10-11]，固體推進(jìn)劑使用線粘彈性本構(gòu)模型，泊松比為0.496，密度為1.78 g/cm3，常溫下固體推進(jìn)劑松弛模量的Prony級(jí)數(shù)為:

E(t)=1.172+3.90e-0.5t-3.078e-0.25t+1.709e-0.125t-

0.422e-0.05t+0.633e-0.025t+0.005e-0.0125t

如圖4所示假設(shè)某發(fā)動(dòng)機(jī)的點(diǎn)火升壓過(guò)程近似為線性，有限元計(jì)算時(shí)施加如圖所示點(diǎn)火增壓載荷，Pm為內(nèi)壓。

圖4 點(diǎn)火增壓曲線

3 仿真計(jì)算結(jié)果與分析

3.1 有限元計(jì)算結(jié)果

本節(jié)主要專注裂紋尖端附近的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)，因此只截取裂紋尖端附近區(qū)域計(jì)算結(jié)果進(jìn)行研究。圖5和圖6分別是加載3.5 ms和7 ms固體推進(jìn)劑裂紋尖端的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)。從圖中可以看出，不同加載條件下固體推進(jìn)劑的裂紋尖端都出現(xiàn)了應(yīng)力集中現(xiàn)象，推進(jìn)劑的裂紋前端主要受拉應(yīng)力的作用；3.5 ms加載和7 ms加載時(shí)裂紋尖端的應(yīng)力應(yīng)變?cè)茍D形狀相似，裂紋尖端附近的近場(chǎng)應(yīng)力要比遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力大1到3個(gè)數(shù)量級(jí)，并且環(huán)向應(yīng)力比徑向應(yīng)力要大；環(huán)向應(yīng)力云圖與最大主應(yīng)力云圖的形狀較為相似，而徑向應(yīng)力云圖的形狀則與之差別較大。比較3.5 ms加載云圖和7 ms加載云圖可以發(fā)現(xiàn)，隨著時(shí)間的增加，裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)的數(shù)值逐漸增大。

圖5 t=3.5 ms時(shí)裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)

圖6 t=7 ms時(shí)裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)

圖7和圖8是t為3.5 ms和7 ms時(shí)裂紋尖端區(qū)域的最大主應(yīng)力與環(huán)向應(yīng)變隨距裂尖距離r及角度θ的變化曲線。從圖中可以看出，不同條件下最大主應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)變的變化趨勢(shì)基本相同。隨著θ的變化，裂紋尖端附近的應(yīng)力應(yīng)變逐漸變化，在θ處于0°～90°時(shí)，最大主應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)變隨θ的增大逐漸增大；而當(dāng)θ處于90°～180°時(shí)則隨著角度的增加而逐漸減小，并且環(huán)向應(yīng)變?cè)?20°之后逐漸趨于負(fù)值。比較t為3.5 ms和7 ms時(shí)的曲線可以看出，隨著時(shí)間的增加主應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)變逐漸增加。從圖中還可以看出，最大主應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)變隨著距離裂紋尖端距離r的增加逐漸趨于穩(wěn)定，在r較小時(shí)應(yīng)力應(yīng)變的變化梯度明顯較大。

圖7 t=3.5 ms時(shí)最大主應(yīng)力與環(huán)向應(yīng)變隨r和θ變化曲線

圖8 t=7 ms時(shí)最大主應(yīng)力與環(huán)向應(yīng)變隨r和θ變化曲線

3.2 動(dòng)態(tài)裂紋起始條件

高應(yīng)變率條件下裂紋的常用動(dòng)態(tài)起始判據(jù)有：動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子判據(jù)、動(dòng)態(tài)J積分判據(jù)、最小作用量判據(jù)和極小作用時(shí)間判據(jù)等。固體推進(jìn)劑在動(dòng)態(tài)條件下一般屬于脆性斷裂[4]，因此這里使用動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子判據(jù)：

(13)

假設(shè)Williams[12]級(jí)數(shù)解的首三項(xiàng)能夠表征裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)，在I型加載條件下θ=0°裂紋面的張開應(yīng)力為：

(14)

將有限元計(jì)算結(jié)果與式(14)進(jìn)行比較，即可驗(yàn)證使用參數(shù)KI和A3確定裂紋尖端場(chǎng)是否正確。將式(14)重新排列[13]，可得：

(15)

通過(guò)裂尖距離r和裂紋尖端張開應(yīng)力變化曲線，結(jié)合式(15)對(duì)曲線進(jìn)行線性擬合，即可得到KI和A3，然后由式(14)即可得出裂尖附近應(yīng)力場(chǎng)。圖9是t為3.5 ms和7 ms時(shí)裂紋尖端附近張開型應(yīng)力分布有限元計(jì)算結(jié)果同Williams三項(xiàng)解計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖。從圖中可以看出有限元計(jì)算結(jié)果和理論預(yù)測(cè)結(jié)果基本吻合，這說(shuō)明使用上述三項(xiàng)解能夠有效描述固體推進(jìn)劑動(dòng)態(tài)裂尖場(chǎng)。

圖9 裂紋尖端張開應(yīng)力分布有限元計(jì)算結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果曲線

通過(guò)計(jì)算得到KI(3.5)=0.357 MPa/m，KI(7)=0.697 MPa/m。隨著時(shí)間的推移，固體推進(jìn)劑的動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子增大。同文獻(xiàn)[4]的試驗(yàn)結(jié)果相比較，可以看出在文中加載條件下固體發(fā)動(dòng)機(jī)藥柱表面裂紋的動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子已經(jīng)達(dá)到推進(jìn)劑的動(dòng)態(tài)斷裂韌性試驗(yàn)值，因此可以認(rèn)為在這種條件下發(fā)動(dòng)機(jī)藥柱存在裂紋擴(kuò)展危險(xiǎn)性。

4 結(jié)論

1)在裂尖及附近很小的區(qū)域內(nèi)存在應(yīng)力奇異性，并且主要是受到拉應(yīng)力的作用，變形主要由環(huán)向應(yīng)力與環(huán)向應(yīng)變控制。

2)裂尖應(yīng)力應(yīng)變隨著r的增加而逐漸減小并最終趨于一定值；隨著θ的變化，裂紋尖端附近的應(yīng)力應(yīng)變逐漸變化，在θ處于0°～90°時(shí)，最大主應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)變隨θ的增大逐漸增大；而在θ處于90°～180°時(shí)則隨著角度的增加而逐漸減小，并且環(huán)向應(yīng)變?cè)?20°之后逐漸趨于負(fù)值。

3)Williams級(jí)數(shù)解的三項(xiàng)解能夠準(zhǔn)確描述固體推進(jìn)劑的動(dòng)態(tài)裂紋尖端張開型應(yīng)力場(chǎng)，并且使用K準(zhǔn)則能夠預(yù)測(cè)裂紋是否起裂，計(jì)算了點(diǎn)火增壓條件下藥柱表面裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，預(yù)測(cè)了在文中條件下固體推進(jìn)劑藥柱裂紋起裂擴(kuò)展的危險(xiǎn)性。