傅俊滔，陸 宇，劉慶林，何玉潔，桑宏偉，呂 勇

(95859部隊(duì)，甘肅酒泉 735018)

0 引言

在復(fù)雜環(huán)境下，雷達(dá)回波中的背景雜波直接影響雷達(dá)的工作性能[1-2]，對(duì)其特性進(jìn)行研究具有重要意義。隨著雷達(dá)分辨率的提高，雜波模型已經(jīng)與早期提出的Rayleigh分布等模型[3]不符，K分布和Pareto分布模型的出現(xiàn)，在理論層次和與實(shí)際雜波的擬合程度上都更具有優(yōu)勢(shì)[4-5]。

雜波仿真的方法一般有球不變隨機(jī)過(guò)程(spherically invariant random process, SIRP)法和零記憶非線性變換(zero memory nonlinearity, ZMNL)法兩種[6-7]。Pareto分布的結(jié)構(gòu)變量可以通過(guò)倒數(shù)變化得到K分布的結(jié)構(gòu)變量[8]，因此Pareto分布的雜波模擬研究可以借鑒K分布的雜波模擬方法。文獻(xiàn)[9]利用SIRP法產(chǎn)生K分布的雜波，優(yōu)點(diǎn)是其幅度分布能夠獨(dú)立控制，但是計(jì)算量較大。文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[11]采用的是ZMNL法，在生成K分布雜波時(shí)需要將形狀參數(shù)進(jìn)行近似處理或者拆分處理。文獻(xiàn)[12]解決了ZMNL法中形狀參數(shù)取值受限的問(wèn)題，利用逆Gamma分布和逆Beta分布的乘積來(lái)生成任意形狀參數(shù)值的Pareto分布，但是沒(méi)有對(duì)Pareto分布雜波的功率譜特性進(jìn)行研究。

海雜波的自相關(guān)函數(shù)可以表示功率譜特性，一般采用高斯模型進(jìn)行建模，功率譜呈現(xiàn)出對(duì)稱的特點(diǎn)[13-14]。由于實(shí)際海雜波的功率譜不一定是對(duì)稱的，該方法無(wú)法模擬非對(duì)稱形狀的雜波功率譜，從而使雜波功率譜的仿真受到了限制。文中針對(duì)ZMNL法中功率譜模型受限的問(wèn)題，在文獻(xiàn)[12]解決了形狀參數(shù)取值的基礎(chǔ)上，提出了一種產(chǎn)生功率譜為非對(duì)稱形狀的雜波模擬方法，該方法在頻譜泄漏水平滿足要求的前提下，能夠得到非對(duì)稱形狀功率譜的Pareto分布雜波。

1 雜波模型及模擬方法

1.1 Pareto分布雜波模型

服從Pareto分布的海雜波X是復(fù)合高斯模型，其概率密度函數(shù)(probability density function，PDF)可視為結(jié)構(gòu)分量與散斑分量作用的結(jié)果，其表達(dá)式為[15]：

(1)

其中，pY(y)是結(jié)構(gòu)分量的PDF?？杀硎緸椋?/p>

(2)

式中：Γ(·)為Gamma函數(shù)；a為形狀參數(shù)，其值決定PDF的形狀；b為尺度參數(shù)，其值決定支撐域的起點(diǎn)。

pX|Y(x|y)是散斑分量的PDF，可表示為：

(3)

1.2 ZMNL方法

假設(shè)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量z～I(xiàn)G(z;p+q,1)，τ～I(xiàn)Be(τ;p-r,q+r)，那么隨機(jī)變量γ=zτ～I(xiàn)G(γ;p-r,1)[12]。其中，p和q為整數(shù)，0

(4)

(5)

文獻(xiàn)[12]中沒(méi)有對(duì)雜波模擬的功率譜特性進(jìn)行分析，如果依然采用傳統(tǒng)的方法對(duì)海雜波的功率譜進(jìn)行仿真，不僅計(jì)算復(fù)雜，而且只能得到對(duì)稱的功率譜模型。對(duì)于實(shí)際采集得到的海雜波來(lái)說(shuō)，其功率譜不一定是對(duì)稱的，因此，雜波功率譜的模擬存在限制，需要進(jìn)一步研究。改進(jìn)的Pareto雜波模擬框圖如圖1所示。

圖1 改進(jìn)的Pareto分布雜波模擬框圖

2 改進(jìn)的Pareto雜波模擬方法

為了簡(jiǎn)化表達(dá)式，設(shè)圖1中的p+q為v，2a2為ε，那么圖1中y服從平方根逆Gamma分布，其PDF為：

(6)

假設(shè)yi和yj相互獨(dú)立，那么y的自相關(guān)函數(shù)R(yi,yj)為：

(7)

E[y]表達(dá)式為：

(8)

令t=ε/y2，代入式(8)可得：

(9)

E[g]表達(dá)式為：

(10)

令t=ε/g，代入式(10)可得：

(11)

Ry(τ)為：

(12)

由維納欽欣定理可得，y={y1,y2,…,yN}的功率譜Sy(w)是對(duì)Ry(τ)進(jìn)行傅里葉變換：

(13)

對(duì)式(13)進(jìn)行分析，可得：

(14)

Sy(w)的值可以近似表示為：

(15)

此時(shí)，圖1中的輸出γ={γ1,γ2,…,γN}的功率譜Sγ(w)為：

(16)

其中，Sz(w)為圖1中復(fù)高斯序列z={z1,z2,…,zN}的功率譜。令K為一個(gè)足夠大的系數(shù)，那么，可以將式(14)改寫為式(17)：

(17)

當(dāng)N和K為定值時(shí)，式(14)成立的條件是v值需要達(dá)到臨界值，并且當(dāng)v值足夠大后，v值的增加對(duì)式(14)的影響很微弱。當(dāng)v值沒(méi)有達(dá)到臨界值時(shí)，Sγ(w)便不滿足式(16)，式(13)中的第二項(xiàng)便不能忽略不計(jì)，功率譜將出現(xiàn)頻譜泄漏的現(xiàn)象。此時(shí)，圖1中Sγ(w)為：

Sγ(w)=ASz(w)+B

(18)

式中，A和B分別為：

(19)

(20)

圖2 y序列的自相關(guān)估計(jì)

當(dāng)v=2.25，ε=3，理論值由式(12)可得：

(21)

對(duì)比圖2中的3個(gè)點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)估計(jì)值與理論值的大小幾乎相等。因此，可以證明式(10)和式(11)理論推導(dǎo)的正確性。

圖3 仿真數(shù)據(jù)的功率譜

Sy(0)=(8000-1)×1.97+2.4=15760.43

(22)

通過(guò)以上計(jì)算可知，假設(shè)v值大小恰當(dāng)，y的功率譜是沖擊響應(yīng)函數(shù)，那么復(fù)高斯序列z的功率譜形狀決定了模擬雜波功率譜Sγ(w)的形狀，而復(fù)高斯序列z的功率譜形狀是由圖1中的成形濾波器|H(w)|的形狀決定的。因此，只要成形濾波器|H(w)|的形狀不是對(duì)稱的，那么模擬雜波功率譜Sγ(w)的形狀就可以是不對(duì)稱的。而在設(shè)計(jì)時(shí)，對(duì)濾波器|H(w)|的形狀是沒(méi)有硬性要求的，所以濾波器|H(w)|在理論上能夠?yàn)槿我獾男螤睢?/p>

3 仿真性能分析

為了檢驗(yàn)輸出的功率譜是否具有非對(duì)稱性，在MATLAB中進(jìn)行仿真和驗(yàn)證。首先給出仿真數(shù)據(jù)的參數(shù)，如表1所示。

表1 仿真參數(shù)表

表1中的形狀參數(shù)取值為非整數(shù)，這是為了區(qū)別于傳統(tǒng)的ZMNL法的形狀參數(shù)不能為非整數(shù)的情況。用MATLAB設(shè)計(jì)一個(gè)功率譜具有非對(duì)稱形狀的成形濾波器，這也是最終輸出功率譜期望得到的形狀，其曲線如圖4所示。

圖4 成形濾波器

根據(jù)周期圖法，可以生成模擬的輸出功率譜圖像。圖5為形狀參數(shù)v1=3.75時(shí)，通過(guò)成形濾波器的功率譜形狀。

由圖5可知，模擬的輸出功率譜與其相應(yīng)的成形濾波器在形狀上非常相似，即滿足功率譜不對(duì)稱的特點(diǎn)。此外，仿真的功率譜形狀存在一定程度的頻譜泄漏，這是由于式(18)中存在的B項(xiàng)引起的，與理論推導(dǎo)的結(jié)論一樣。

圖5 模擬功率譜與成形濾波器1對(duì)比

圖6為形狀參數(shù)v1=1.05時(shí)，通過(guò)成形濾波器的功率譜形狀。

圖6 模擬功率譜與成形濾波器2對(duì)比

觀察可知，圖6仿真的輸出功率譜存在一定的頻譜泄漏，與其對(duì)應(yīng)的成形濾波器的形狀相似，具有不對(duì)稱的特點(diǎn)，與圖5中得出的結(jié)論一致。

觀察形狀參數(shù)取不同值時(shí)通過(guò)同一成形濾波器的圖像，即圖5和圖6。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，形狀參數(shù)v1=3.75對(duì)應(yīng)圖像的頻譜泄漏程度要低于形狀參數(shù)v1=1.05對(duì)應(yīng)圖像的頻譜泄漏程度。這是因?yàn)楫?dāng)形狀參數(shù)取大值時(shí)，式(18)中的B項(xiàng)對(duì)輸出功率譜的影響很小。而隨著形狀參數(shù)值的減小，B項(xiàng)對(duì)輸出功率譜的影響越來(lái)越大，造成的頻譜泄漏程度也越來(lái)越高，這與前面的理論推導(dǎo)一致。因此，在Pareto雜波模擬的仿真中，形狀參數(shù)的取值要合適，而且不能太小，這樣生成的雜波才能既滿足幅度分布，又滿足功率譜非對(duì)稱性的要求。

4 結(jié)束語(yǔ)

研究了ZMNL方法中Pareto雜波的功率譜仿真問(wèn)題。得出如下結(jié)論：只要形狀參數(shù)選擇恰當(dāng)值，其頻譜泄漏水平在要求的范圍內(nèi)，那么就能夠生成形狀參數(shù)為非整數(shù)、功率譜為非對(duì)稱形狀的Pareto分布雜波。