韓淑霞， 吳 潔， 黃永忠

(華中科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，武漢430074)

1 引 言

傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)課程測(cè)試中，一般有兩種題型，一種是客觀題，包括單項(xiàng)選擇題、多項(xiàng)選擇題和判斷題等，另一種是主觀題，包括計(jì)算題、應(yīng)用題、證明題等.客觀題在在線測(cè)試平臺(tái)上可以直接使用，測(cè)試結(jié)果能夠即時(shí)反饋給學(xué)生和老師，方便學(xué)生對(duì)自己學(xué)習(xí)中的問(wèn)題進(jìn)行反思、方便教師對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況進(jìn)行評(píng)判和答疑解析，促進(jìn)課程的在線學(xué)習(xí).但是主觀題卻不方便應(yīng)用于在線平臺(tái)測(cè)試.在2017年高等教育出版社組織的高等數(shù)學(xué)評(píng)測(cè)系統(tǒng)的在線題庫(kù)啟動(dòng)會(huì)上，國(guó)防科技大學(xué)的朱鍵民教授提出了主觀題客觀化的思想.主觀題客觀化就是將主觀題設(shè)計(jì)成客觀題的形式，讓主觀題也能像客觀題一樣進(jìn)行在線測(cè)試.

斯金納的新行為主義理論[1]認(rèn)為及時(shí)反饋是強(qiáng)化學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，所以主觀題能否客觀化，怎樣客觀化，能否讓主觀題像客觀題一樣在在線平臺(tái)上進(jìn)行測(cè)試是值得探索和實(shí)踐的問(wèn)題.

關(guān)于測(cè)試題的設(shè)計(jì)相關(guān)文獻(xiàn)包含兩類，一類是怎么利用各類軟件技術(shù)實(shí)現(xiàn)在線測(cè)試如文獻(xiàn)[2-4]，另一類從教學(xué)角度對(duì)某種客觀題型的設(shè)計(jì)給出了原則性建議如[5-7]，其中鄒增家[7]給出了高等數(shù)學(xué)的單項(xiàng)選擇題的設(shè)計(jì)規(guī)則和設(shè)計(jì)方法.

作者[8-9]從2016年開(kāi)始在微助教平臺(tái)進(jìn)行了微積分大班的翻轉(zhuǎn)混合式課堂實(shí)踐，由于課堂教學(xué)在線測(cè)試的需要，做了主觀題客觀化的大量實(shí)踐.本文下面將給出主觀題客觀化的原則，并以《微積分學(xué)》課程為例給出在線測(cè)試題主觀題客觀化的四種思想方法及教學(xué)案例.

2 主觀題客觀化規(guī)則

主觀題客觀化過(guò)程中應(yīng)該遵循以下規(guī)則：

(i) 題目的正確性與科學(xué)上的可解性；

(ii) 以教學(xué)目標(biāo)為目標(biāo). 確保通過(guò)對(duì)主觀題客觀化后的測(cè)試題作答，能夠幫助學(xué)生理解相關(guān)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，激發(fā)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的興趣，增進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步研究性學(xué)習(xí)的可能；

(iii) 搭建起課程基礎(chǔ)內(nèi)容與課堂重難點(diǎn)的橋梁.主觀題基本上課堂教學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容，客觀化過(guò)程就是將重難點(diǎn)內(nèi)容與相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)內(nèi)容銜接起來(lái)，測(cè)試過(guò)程就是將基礎(chǔ)內(nèi)容深化到重難點(diǎn)內(nèi)容的思維成長(zhǎng)過(guò)程；

(iv) 符合程序教學(xué)法原則.比如斯金納[10]提出的小步子原則、積極反應(yīng)原則、即時(shí)強(qiáng)化原則、自定步調(diào)原則、低錯(cuò)誤率原則.

3 主觀題客觀化的四種思想方法

3.1 頂層逆向設(shè)計(jì)方法

頂層逆向設(shè)計(jì)法的具體做法：

(i) 將重難點(diǎn)問(wèn)題利用數(shù)學(xué)分析和邏輯思維方法將其解答過(guò)程一層一層向下分解，一直分解到和學(xué)生預(yù)習(xí)的基本內(nèi)容正好接軌為止；

(ii) 從基本內(nèi)容或基本題目出發(fā)，以小步走的科學(xué)學(xué)習(xí)方法，一層一層逆勢(shì)向上，設(shè)計(jì)出體現(xiàn)基本解題過(guò)程中的每一小步和及其拓展的基礎(chǔ)命題，這樣就可以得到一組正確的基礎(chǔ)命題；

(iii) 根據(jù)往屆學(xué)生常犯的錯(cuò)誤，對(duì)上述正確的基礎(chǔ)命題進(jìn)行錯(cuò)誤分析法，相應(yīng)得到一組錯(cuò)誤的基礎(chǔ)命題. 這樣從一道重難點(diǎn)題目出發(fā)，就設(shè)計(jì)出一個(gè)重難點(diǎn)題目的正確命題模塊和錯(cuò)誤命題模塊，設(shè)計(jì)方案如圖1；

圖1 重難點(diǎn)題目的頂層逆向設(shè)計(jì)法

(iv) 從這兩個(gè)模塊中任意抽取一個(gè)命題就可做為判斷題，抽出3-5個(gè)命題進(jìn)行有機(jī)組合就可設(shè)計(jì)出多個(gè)多項(xiàng)選擇題或者單項(xiàng)選擇題，而這種組合功能可以利用一些學(xué)習(xí)軟件輔助實(shí)現(xiàn)，這些選擇題就形成了重難點(diǎn)題目對(duì)應(yīng)的復(fù)合測(cè)試題模塊. 具體班級(jí)的課堂上根據(jù)學(xué)生的具體情況從目標(biāo)題目模塊中進(jìn)行選擇使用.

比如《微積分學(xué)》課程在極限四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算部分，有一道這樣的重難點(diǎn)題目：

圖2 重難點(diǎn)題目的析錯(cuò)設(shè)計(jì)方法

將上面(i)～(vii)進(jìn)行組合，可以設(shè)計(jì)多個(gè)復(fù)合型測(cè)試題，比如結(jié)合(v)和(vii)，可以設(shè)計(jì)下面的單項(xiàng)選擇題：

(A) 1/2 (B) 2 (C) 9/2 (D) 7

結(jié)合(ii)，(iii)，(vi)，(vii)設(shè)計(jì)下面的多項(xiàng)選擇題：

題目?jī)?nèi)容：下面選項(xiàng)正確的是( ).

3.2 析錯(cuò)設(shè)計(jì)法

對(duì)于某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，依據(jù)平時(shí)學(xué)生作業(yè)中所犯的各種錯(cuò)誤析取出來(lái)，用每一種錯(cuò)誤的解法就會(huì)得到錯(cuò)誤命題，這就是析錯(cuò)設(shè)計(jì)法，如圖2. 將錯(cuò)誤命題作為選擇題的干擾項(xiàng)，可以設(shè)計(jì)出更多的單項(xiàng)選擇題或者多項(xiàng)選擇題. 析錯(cuò)法設(shè)計(jì)法的好處在于精準(zhǔn)擊中學(xué)生所犯錯(cuò)誤，教師只需要畫(huà)龍點(diǎn)睛做一些解釋就會(huì)做到藥到病除，比起傳統(tǒng)課堂上教師費(fèi)破了口舌講解的效果要好.

比如在第二型曲線積分這部分內(nèi)容的計(jì)算題目，在掌握了二重積分的基礎(chǔ)上學(xué)生計(jì)算常犯的有兩種類型的方向錯(cuò)誤：

錯(cuò)誤1：忽略二型曲線積分的積分曲線的方向；

錯(cuò)誤2：使用格林公式時(shí)忽視封閉曲線的正向(逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?條件.

針對(duì)上面兩種錯(cuò)誤類型，相應(yīng)的題目可以設(shè)計(jì)出三種的錯(cuò)誤解法，第一種犯錯(cuò)誤1，第二種犯錯(cuò)誤2，第三種犯錯(cuò)誤1和錯(cuò)誤2. 正確解法答案唯一. 這四種解答的答案作為選擇支得到的單項(xiàng)選擇題. 作者采用這種析錯(cuò)設(shè)計(jì)法在微助教平臺(tái)上在測(cè)試了一道第二型曲線積分的題目，并將測(cè)試題目的內(nèi)容以及兩個(gè)微積分大課堂的學(xué)生答題情況截屏如圖3所示.

圖3 第二型曲線積分的一道選擇題及學(xué)生答題情況

(A) -4π+e2-1 (B) 4π+e2-1

(C) 4π-e2+1 (D) -4π-e2+1

微助教平臺(tái)在測(cè)試完成后，立刻將學(xué)生答題情況顯示如圖3的直方圖，完全區(qū)分了學(xué)生所犯三種錯(cuò)誤的情況. 忽視了格林公式的封閉曲線方向的答案為(A)選項(xiàng)，弄錯(cuò)了曲線積分中曲線的方向的答案為選項(xiàng)(C)，兩個(gè)方向都錯(cuò)誤的對(duì)應(yīng)答案是選項(xiàng)(D)，選項(xiàng)(B)是正確答案，錯(cuò)誤率占到了約1/3，正確率約2/3. 每個(gè)答錯(cuò)學(xué)生根據(jù)在線測(cè)試平臺(tái)的反饋就明白了自己所犯錯(cuò)誤，達(dá)到了最初設(shè)計(jì)此測(cè)試題的教學(xué)目的.

3.3 強(qiáng)化書(shū)寫(xiě)步驟方法

在《微積分學(xué)》的課程教學(xué)中，不管是學(xué)生的作業(yè)還是學(xué)生的考試卷，經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生解答過(guò)程出現(xiàn)邏輯混亂的問(wèn)題. 其實(shí)一個(gè)題目的解答書(shū)寫(xiě)過(guò)程恰好體現(xiàn)了答題者的思維邏輯是否嚴(yán)密有序，數(shù)學(xué)分析是否正確清楚，而且好的數(shù)學(xué)表達(dá)也會(huì)為學(xué)生后期進(jìn)行專業(yè)課的學(xué)習(xí)和科學(xué)研究打下良好的基礎(chǔ)，所以在數(shù)學(xué)課程教學(xué)過(guò)程中，無(wú)論怎么強(qiáng)調(diào)書(shū)寫(xiě)過(guò)程的正確性也不過(guò)分. 其次書(shū)寫(xiě)過(guò)程的步驟恰巧體現(xiàn)了教學(xué)中需要強(qiáng)調(diào)的教學(xué)內(nèi)容，也可將每個(gè)步驟所對(duì)應(yīng)的小知識(shí)點(diǎn)分離出來(lái)單獨(dú)強(qiáng)化，所以可將同類型重難點(diǎn)題目的同一步驟剝離出來(lái)點(diǎn)單獨(dú)考察，有助于整體上更好地掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn). 在分解重難點(diǎn)題目的解答步驟時(shí)仍然需要強(qiáng)調(diào)小步子原則，不怕步驟多，一定要分解到和學(xué)生學(xué)過(guò)的基本公式、定理或者方法技巧相聯(lián)通，讓學(xué)生在解答強(qiáng)調(diào)書(shū)寫(xiě)步驟法的測(cè)試題時(shí)能體會(huì)出數(shù)學(xué)思維的邏輯過(guò)程和數(shù)學(xué)分析的方法，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生形成正確邏輯思維和嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)表達(dá)的效果. 強(qiáng)化書(shū)寫(xiě)步驟法的測(cè)試題設(shè)計(jì)方法如圖4.

圖4 重難點(diǎn)題目的強(qiáng)化書(shū)寫(xiě)步驟設(shè)計(jì)方法

這里以球面坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算題目入手來(lái)探討這部分題目的設(shè)計(jì).

從例2的解答可分為四個(gè)步驟：重積分的對(duì)稱性質(zhì)，怎么利用對(duì)稱性將積分轉(zhuǎn)化為適合球面坐標(biāo)系下的積分；怎樣將三重積分轉(zhuǎn)化為球面坐標(biāo)系下的三次積分，如何計(jì)算三次積分. 在解決球面坐標(biāo)系下的三重積分計(jì)算之前，先讓學(xué)生逐一掌握四個(gè)基本的知識(shí)點(diǎn)，然后再來(lái)強(qiáng)調(diào)三重積分的步驟書(shū)寫(xiě). 只需要將四個(gè)步驟按順序組成一個(gè)閱讀題，或者將學(xué)生常犯的錯(cuò)誤加入某一步驟，然后按順序(不能用梅花序)得到一個(gè)選擇題，最好設(shè)計(jì)成多選題. 在微助教上，作者曾將最后一步的計(jì)算結(jié)果改成錯(cuò)誤結(jié)論得到一個(gè)多選題，現(xiàn)將微助教上的測(cè)試題以及兩個(gè)大班學(xué)生的測(cè)試結(jié)果截屏如圖5.

圖5 球面坐標(biāo)積分的一個(gè)計(jì)算題及解答情況

從圖5中的微助教反饋的直方圖可以看出，學(xué)生經(jīng)過(guò)前期基本知識(shí)點(diǎn)的訓(xùn)練，對(duì)此類題目的解答過(guò)程已經(jīng)熟悉，但其中一個(gè)班對(duì)于球面坐標(biāo)系下重積分化為累次積分還有所欠缺，所以這個(gè)班就需要在球面坐標(biāo)系下重積分化為累次積分方面多加練習(xí)，另一個(gè)班只需對(duì)個(gè)別同學(xué)提出建議即可.

3.4 一題多解設(shè)計(jì)法

在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)分析和多角度邏輯思維能力方面，一題多解有無(wú)可挑剔的優(yōu)越性. 一題多解通常在方法總結(jié)、以及不同方法之間的關(guān)聯(lián)等起到不可替代的作用. 但一題多解應(yīng)該是主觀題客觀化中最難的一種情形，計(jì)算題有一題多解，證明題也有一題多解，怎么針對(duì)一題多解設(shè)計(jì)客觀題呢？首先將題目的各種解法(包括錯(cuò)誤解法)依次整理出來(lái)不同的思路以及不同的結(jié)論，從思路和結(jié)論中挑選出3～5種為選擇支即可得到選擇題. 此時(shí)每個(gè)選擇支盡可能體現(xiàn)不同的解題思路，這樣得到的選擇題不一定有完整的解題或證明過(guò)程，但充分體現(xiàn)了一題多解的解題思路. 一題多解設(shè)計(jì)法歸納為圖6.

圖6 一題多解測(cè)試題設(shè)計(jì)方法

下面給出一道證明題和一道計(jì)算題的一題多解的客觀題設(shè)計(jì)方法.

例3設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(a>0)，試證在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ滿足2ξ[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f′(ξ). 則下面證明思路正確的是( ) .

(A) 做輔助函數(shù)F(x)=f(x),G(x)=x2,利用柯西中值定理可得結(jié)論

(B) 構(gòu)造F(x)=x2[f(b)-f(a)]-(b2-a2)f(x),可由羅爾定理證明結(jié)論

這道題的正確答案為(A)、(B)、(D)，而(C)是一種錯(cuò)誤解答. 這里三種正確解法(A)、(B)、(D)分別給出了用柯西中值定理、羅爾定理及拉格朗日定理證明同一道題的思路，從而反映出三個(gè)中值定理在一定條件下是等價(jià)的，而(C)這個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)也體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)微分中值定理中的中值理解不到位常犯的一種錯(cuò)誤. 所以這道證明題的客觀化設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了微分中值定理的總結(jié)和其相互關(guān)聯(lián)，也是一種思考和總結(jié).

例4求xy′=x-y的通解.

此題可用三種不同思路，一種是化為一階線性非齊次方程，另外兩種是分別以x，y為自變量可分離變量的方程求解，這三種解題思路和正確答案作為四個(gè)選擇支就設(shè)計(jì)了如下一道多項(xiàng)選擇題.

題目?jī)?nèi)容 對(duì)于方程xy′=x-y,下列說(shuō)法正確的是( ).

4 結(jié) 論

主觀題客觀化問(wèn)題是很多課程，尤其是理工類課程開(kāi)展混合式教學(xué)中一個(gè)棘手的問(wèn)題. 如果解決了主觀題客觀化問(wèn)題，就等于消滅了這些課程開(kāi)展混合式教學(xué)的攔路虎. 本文以《微積分學(xué)》課程為例創(chuàng)造性地提出了四種主觀題客觀化方法，并進(jìn)行了舉例說(shuō)明，這些思路和方法同樣適用于其它理工類課程. 如果主觀題客觀化問(wèn)題解決好了，理工類課程的課程考試就可以加大客觀題所占的比例，甚至完全采用客觀題線上考試，這樣也可以減少主觀題在人為批改時(shí)所產(chǎn)生的誤差，也減輕了教師批改試卷的工作量. 主觀題客觀化主要是用于線上線下的混合式教學(xué)中，這些思想方法對(duì)這方面的教學(xué)改革一定也會(huì)起到不可估量的重要作用. 同時(shí)會(huì)提升高校教師的教學(xué)技能和教學(xué)研究，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、邏輯思維、數(shù)學(xué)分析等方面的能力.

主觀題客觀化方面，目前還有一些不足之處，還需要大量的客觀實(shí)踐和實(shí)驗(yàn)研究去比較此方法與傳統(tǒng)課堂講授方法誰(shuí)更有效，還需進(jìn)一步給出主觀題客觀化方法是否能夠在在線平臺(tái)上完全取代或者部分取代傳統(tǒng)課堂的重難點(diǎn)講授的結(jié)論.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見(jiàn).