宋 爽，湯 瓊，瞿民凱，趙思遠(yuǎn)

（湖南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 株洲 412007）

1 背景知識(shí)

1979年，學(xué)者O.E.R?ssler首次發(fā)現(xiàn)了一個(gè)可以同時(shí)產(chǎn)生兩個(gè)方向上雙曲不穩(wěn)定的混沌奇異吸引子的四維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)[1]，并將之命名為超混沌現(xiàn)象。相較于常見的三維混沌系統(tǒng)，超混沌系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中更能滿足通信保密、圖像加密、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、非線性電路等領(lǐng)域的需求。超混沌系統(tǒng)可以通過(guò)引入新的狀態(tài)變量反饋或基于憶阻器元件實(shí)現(xiàn)，得到四維及以上的高維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)[2-5]，并通過(guò)改變非線性項(xiàng)取值范圍或憶阻器的控制參數(shù)，獲得倍周期分叉、單渦卷吸引子、雙渦卷吸引子、單方向多渦卷吸引子，甚至網(wǎng)格多渦卷吸引子等混沌現(xiàn)象，現(xiàn)已成為混沌系統(tǒng)中極具研究?jī)r(jià)值的一個(gè)方向。

相較于低維混沌系統(tǒng)較為簡(jiǎn)單的動(dòng)力學(xué)特性和不夠多的密鑰參數(shù)，超混沌系統(tǒng)具有更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性和更豐富的密鑰參數(shù)。判定一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是否為超混沌系統(tǒng)，最直觀的判斷標(biāo)準(zhǔn)就是具有兩個(gè)或兩個(gè)以上的正Lyapunov指數(shù)。

近幾十年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者一直在研究生成超混沌系統(tǒng)的方法。受學(xué)者Li Q.D.[6]發(fā)現(xiàn)超混沌Chen系統(tǒng)的啟發(fā)，科研工作者們多通過(guò)引入新狀態(tài)變量反饋法生成超混沌系統(tǒng)[7-14]。由于引入狀態(tài)變量的反饋控制器多為非線性項(xiàng)，它可進(jìn)一步豐富動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的混沌特征，增加系統(tǒng)的不可預(yù)測(cè)性。該系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)取決于反饋量非線性項(xiàng)的復(fù)雜程度，如何找到簡(jiǎn)單且易實(shí)現(xiàn)的超混沌系統(tǒng)一直是混沌電路的研究目標(biāo)。

雖然關(guān)于超混沌系統(tǒng)的構(gòu)造已經(jīng)有了大量的研究，但是由于混沌吸引子較為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，現(xiàn)有關(guān)于多渦卷混沌系統(tǒng)電路實(shí)現(xiàn)的報(bào)道仍然比較少。因此，對(duì)不同非線性控制函數(shù)構(gòu)造的超混沌系統(tǒng)進(jìn)行詳細(xì)的動(dòng)力學(xué)分析，并搭建出對(duì)應(yīng)的電路模型，是十分必要的。因此，本研究在三維Lü系統(tǒng)[7]的基礎(chǔ)上加以修改，構(gòu)建了一個(gè)基于狀態(tài)變量反饋的四維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，經(jīng)計(jì)算Lyapunov指數(shù)后，證實(shí)其為超混沌系統(tǒng)。然后，對(duì)其進(jìn)行了基本的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析、耗散性分析、對(duì)稱性分析等動(dòng)力學(xué)分析，并通過(guò)計(jì)算Lyapunov指數(shù)及維數(shù)、繪制Poincaré截面圖等方法對(duì)該超混沌系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值仿真分析。最后，根據(jù)反相器、積分器等基本的運(yùn)算放大電路搭建出其相應(yīng)的電路模型。本研究基于憶阻器反饋設(shè)計(jì)新的超混沌系統(tǒng)，該方法在增加系統(tǒng)維度的同時(shí)豐富了系統(tǒng)的混沌特征，且對(duì)應(yīng)的混沌電路設(shè)計(jì)更易實(shí)現(xiàn)，本研究可為混沌系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)提供參考。

2 超混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

在三維Lü系統(tǒng)基礎(chǔ)上進(jìn)行修改，構(gòu)建了一個(gè)基于狀態(tài)變量反饋的四維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，新的超混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：

式中：a、b、c、d、e、g均為實(shí)數(shù)，且a、b、c、d、e均為正實(shí)數(shù)，e為控制參數(shù)。

由式（1）可知，該混沌系統(tǒng)是基于狀態(tài)變量反饋控制實(shí)現(xiàn)的超混沌系統(tǒng)。

當(dāng)系統(tǒng)（1）取a=35、b=35、c=1、d=3、e=3、g=-27時(shí)，得到該超混沌系統(tǒng)的相軌跡圖如圖1所示。

圖1 超混沌系統(tǒng)（1）的相軌跡圖Fig.1 Phase diagram of the hyperchaotic system (1)

通過(guò)觀察圖1所示超混沌系統(tǒng)的相軌跡圖可以得知，該超混沌系統(tǒng)的渦卷數(shù)目為2個(gè)，有明顯的混沌現(xiàn)象。

3 超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析及數(shù)值仿真分析

3.1 超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

由于非線性混沌系統(tǒng)的解析解通常無(wú)法輕易獲得，所以需要通過(guò)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析、耗散性分析等定性分析的方法獲得系統(tǒng)的近似形態(tài)。

3.1.1 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

對(duì)于一個(gè)四階非線性自治系統(tǒng)，經(jīng)平衡點(diǎn)線性化后得到其雅可比矩陣，根據(jù)解得的特征值性質(zhì)的不同，會(huì)得到不同性質(zhì)的平衡點(diǎn)。下面針對(duì)每一個(gè)平衡點(diǎn)逐一展開討論。

令系統(tǒng)（1）的右邊全部等于0，則可以得到如下方程組：

解得系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)有兩種情況：

1）d=0時(shí)，系統(tǒng)無(wú)平衡點(diǎn)；

2）d≠0時(shí)，系統(tǒng)存在平衡點(diǎn)P1（0, 0,, 0）。

3.1.1.1 系統(tǒng)（1）無(wú)平衡點(diǎn)時(shí)的超混沌吸引子

取a=8、b=0.1、c=1、d=0、e=2、g=-8時(shí)，初值為[0 1 1 0]時(shí)，系統(tǒng)（1）沒有平衡點(diǎn)，且此時(shí)該新超混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為：

可見，系統(tǒng)（1）滿足存在兩個(gè)正的Lyapunov指數(shù)的條件，故該系統(tǒng)存在隱藏的超混沌吸引子，其相圖如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)（1）隱藏超混沌吸引子的相軌跡圖Fig.2 Phase diagram of the hidden hyperchaotic attractor of system (1)

通過(guò)觀察圖2所示的相軌跡圖可知，該系統(tǒng)有明顯的混沌現(xiàn)象。

3.1.1.2 系統(tǒng)（1）有一個(gè)平衡點(diǎn)時(shí)的超混沌吸引子

當(dāng)d≠0時(shí)，系統(tǒng)存在平衡點(diǎn)P1(0, 0,, 0)。其中，g可取任意實(shí)數(shù)，則該系統(tǒng)有無(wú)限平衡點(diǎn)集。在平衡點(diǎn)處做線性化處理，可得到系統(tǒng)（1）線性化后的雅可比矩陣為

將式（3）代入平衡點(diǎn)坐標(biāo)后，令|λI-J|=0，則系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)處線性化后得到的特征方程為

特征方程的第一個(gè)特征值為λ1=-d，設(shè)

則根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)，可得：

則有

若系統(tǒng)（1）同時(shí)滿足

當(dāng)系統(tǒng)（1）取a=35、b=35、c=1、d=3、e=3、g=-27時(shí)，在平衡點(diǎn)P1處對(duì)系統(tǒng)（1）進(jìn)行線性化處理后，求得對(duì)應(yīng)特征方程（4）的解為

此時(shí)，特征方程（4）的解為兩正兩負(fù)的實(shí)特征值，且所有特征值之和滿足λ1+λ2+λ3+λ4<0，故此時(shí)系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)P1是具有二維穩(wěn)定流形和二維不穩(wěn)定流形的鞍焦平衡點(diǎn)。將此時(shí)系統(tǒng)（1）的各參數(shù)取值代入后，式子仍然成立，故P1是不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)，系統(tǒng)呈現(xiàn)超混沌現(xiàn)象，此時(shí)系統(tǒng)（1）的相圖如圖3所示，可見結(jié)果符合前文論述結(jié)論。

圖3 系統(tǒng)（1）有一個(gè)平衡點(diǎn)時(shí)的超混沌吸引子相軌跡圖Fig.3 Phase diagram of the Hyperchaotic system (1)with an equilibrium point

3.1.2 對(duì)稱性分析

對(duì)于超混沌系統(tǒng)（1）做(x,y,z,w)～ (-x, -y, -z,-w)變換后，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)的狀態(tài)方程仍保持不變。故該系統(tǒng)關(guān)于z軸對(duì)稱，且這種對(duì)稱關(guān)系對(duì)于系統(tǒng)的所有參數(shù)都成立。

3.1.3 耗散性分析

系統(tǒng)（1）的相空間容積率為

當(dāng)a-c-d<0時(shí)，系統(tǒng)是耗散的，相空間的體積元將以指數(shù)形式收斂：

解得V=V0e-(a+c+d)t。

即當(dāng)時(shí)間趨近于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)的每一條軌線都將以-(a+c+d)的速度指數(shù)收斂至0。最終，系統(tǒng)的所有軌線收斂至體積為0的集合，系統(tǒng)的所有軌線都固定于一個(gè)吸引子上。

當(dāng)系統(tǒng)（1）取a=35、b=35、c=1、d=3、e=3、g=-27時(shí)，=-(35+1+3)=-39<0，即此時(shí)的系統(tǒng)（1）是耗散的。

3.2 超混沌系統(tǒng)的數(shù)值仿真分析

由于混沌系統(tǒng)的解對(duì)初值具有敏感依賴性，從而很難證明所獲得的近似解是否會(huì)收斂于系統(tǒng)的真實(shí)解。因此，除了對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行定性分析之外，還需要通過(guò)數(shù)值分析方法，如Lyapunov指數(shù)譜、Poincaré圖等，對(duì)混沌系統(tǒng)進(jìn)行進(jìn)一步的定量分析，以彌補(bǔ)定性分析的某些不足，從而更全面地研究動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的混沌特征。

3.2.1 Lyapunov指數(shù)譜及維數(shù)

當(dāng)取a=35、b=35、c=1、d=3、e=3、g=-27時(shí)，可以計(jì)算得：

此時(shí)，系統(tǒng)（1）滿足存在兩個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，處于超混沌狀態(tài)，其Lyapunov指數(shù)圖見圖4。

圖4 系統(tǒng)（1）的Lyapunov指數(shù)圖Fig.4 Lyapunov exponential diagram of system (1)

Lyapunov維數(shù)計(jì)算公式為

其中，k滿足以下條件：

將Lyapunov指數(shù)代入后算得，

故可知該超混沌系統(tǒng)為分?jǐn)?shù)維，具有豐富的動(dòng)力學(xué)特性。

3.2.2 Poincaré截面圖

當(dāng)選取參數(shù)a=35、b=35、c=1、d=3、e=3、g=-27時(shí)，繪制出該系統(tǒng)的Poincaré截面圖，如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)（1）的Poincaré截面圖Fig.5 Poincaré diagram of system (1)

觀察圖5所示的系統(tǒng)（1）Poincaré截面圖可以發(fā)現(xiàn)，不論是yz相平面還是xw相平面的Poincaré截面圖，上面都有著一片密密麻麻雜亂分布的點(diǎn)，結(jié)合該系統(tǒng)有兩個(gè)正Lyapunov指數(shù)的特征，可以得知此時(shí)系統(tǒng)（1）處于超混沌狀態(tài)。

4 超混沌系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)

本文采取模塊化設(shè)計(jì)思路，運(yùn)用簡(jiǎn)單的電感、電容、運(yùn)算放大器等元件實(shí)現(xiàn)電路的搭建。

由于要運(yùn)用到反相器等運(yùn)算放大電路，需先將方程組（1）改寫為

為了使信號(hào)在時(shí)域上擴(kuò)展而幅度不發(fā)生變化，需要先對(duì)各變量取值范圍進(jìn)行核查，若各變量取值超過(guò)元件額定值，則需要對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)方程進(jìn)行時(shí)間尺度變換：

令τ=τ0，其中τ0是時(shí)間尺度變換因子，取τ0=100 μs，則方程組可改寫為

根據(jù)式（7），可搭建出其對(duì)應(yīng)的輸出為x、y、z、w的電路圖，如圖6所示。

圖6 系統(tǒng)（1）的Simulink電路圖Fig.6 Simulink simulation circuit of system (1)

圖6中，當(dāng)運(yùn)算放大器工作于線性狀態(tài)時(shí)，其兩個(gè)輸入端可視為等電位。由于運(yùn)算放大器的差模輸入電阻較大，故流入運(yùn)算放大器輸入端的電流可以小到忽略不計(jì)，即可以將運(yùn)算放大器的兩個(gè)輸入端視作開路，得到：

圖中的電容是為了避免因參數(shù)選取過(guò)大導(dǎo)致進(jìn)入混沌前時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，特選取C1=C2=C3=C4=100 nF，比較式（7）和（8），可得：

解得：R1=R2=R3=2.86 kΩ，

R4=R6=R7=100 kΩ，

R5=R9=0.1 kΩ，

R8=R10=33.33 kΩ。

故可得系統(tǒng)（1）的電路圖如圖7所示。

圖7 系統(tǒng)（1）的電路圖Fig.7 Circuit realization diagram of system (1)

5 超混沌系統(tǒng)電路的仿真驗(yàn)證

為了證明設(shè)計(jì)電路的正確性，在Simulink中搭建了對(duì)應(yīng)的模擬電路。本文采用了模塊化設(shè)計(jì)的思路，運(yùn)用運(yùn)算放大器、電容、電感等基本元件組成反相器，與積分器一起搭建出模擬電路。其中，給定運(yùn)算放大器的門限電壓設(shè)置為±15 V，考慮到乘法器AD633JN的乘法因子為0.1/V，R5、R9的取值變更為1 kΩ，并按照計(jì)算出的參數(shù)設(shè)置元件的值，觀察示波器輸出的結(jié)果，所得仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 系統(tǒng)（1）的Simulink仿真結(jié)果圖Fig.8 Simulation diagrams of system (1)

將圖8所示仿真結(jié)果與吸引子相軌跡圖進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)該超混沌電路的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與Matlab的數(shù)值仿真結(jié)果一致，這證明所設(shè)計(jì)的電路準(zhǔn)確有效。

6 結(jié)語(yǔ)

相比于常見的三維混沌系統(tǒng)，超混沌系統(tǒng)有著更為復(fù)雜的混沌特征，更能滿足現(xiàn)代通信保密、圖像加密、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、非線性電路等領(lǐng)域的需求。如何找到結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、動(dòng)力學(xué)特性豐富的超混沌系統(tǒng)，并且將其應(yīng)用到實(shí)際生產(chǎn)與生活中，是混沌理論一直追求的目標(biāo)。

本文采用狀態(tài)變量反饋法構(gòu)造了一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)，通過(guò)根據(jù)平衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)的雅可比矩陣計(jì)算出相應(yīng)的特征值判定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性等定性分析方法，以及計(jì)算Lyapunov指數(shù)和維數(shù)、繪制Poincaré截面圖等定量分析方法，對(duì)超混沌系統(tǒng)進(jìn)行了基本的動(dòng)力學(xué)分析。通過(guò)基本的運(yùn)算放大電路，搭建了新超混沌系統(tǒng)的電路模型，并利用Matlab-Simulink仿真模塊庫(kù)驗(yàn)證了電路實(shí)現(xiàn)的準(zhǔn)確性，為超混沌系統(tǒng)的研究提供了新的思路。