任偉芳

(浙江省寧波市教育局教研室 315100)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》)把數(shù)學(xué)探究活動(dòng)編入必修課程五個(gè)主題中，與數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)一起建議安排6課時(shí)，在必修課程中要求學(xué)生完成一個(gè)課題的探究活動(dòng)[1]，凸顯了數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的重要性.但從探究教學(xué)現(xiàn)狀調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，一線數(shù)學(xué)教師在探究教學(xué)設(shè)計(jì)中普遍存在著沒(méi)有教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、理論資料缺乏、示范課例較少等現(xiàn)象.為此近日某市直屬在教壇新秀評(píng)審時(shí)把“正方體截面的探究”作為上課課題，在實(shí)踐中對(duì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)教學(xué)進(jìn)行大膽的嘗試.在課堂教學(xué)中發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)探究教學(xué)時(shí)除了要考慮教學(xué)目標(biāo)和教材內(nèi)容等要素外，學(xué)生的探究度也是教師教學(xué)設(shè)計(jì)所要思考的一個(gè)重要課題，學(xué)生自主與教師指導(dǎo)的“度”的把握是影響達(dá)成探究學(xué)習(xí)目標(biāo)的直接因素.本文就探究度這一課題在量化分析、課堂實(shí)踐和教學(xué)建議等方面作了有益的探索，敬請(qǐng)批評(píng)指正.

1 探究度分析

所謂探究度是指學(xué)生進(jìn)行自主探究的程度，探究度越高就意味教師指導(dǎo)得越少.國(guó)外學(xué)者認(rèn)為探究學(xué)習(xí)有五個(gè)基本特征，即問(wèn)題、證據(jù)、解釋、評(píng)價(jià)和發(fā)表，同時(shí)為這5個(gè)基本特征設(shè)定了量化的探究度等級(jí)[2].結(jié)合有關(guān)文獻(xiàn)和探究教學(xué)實(shí)踐，筆者提出了數(shù)學(xué)探究過(guò)程的6個(gè)維度，分別是:1問(wèn)題提出；2猜測(cè)結(jié)論；3擬定方案；4論證結(jié)論；5反思評(píng)價(jià)；6表達(dá)交流.其中前五個(gè)維度是探究學(xué)習(xí)基本過(guò)程的隱形量化，可以衡量學(xué)生自主探究的參與程度，第6個(gè)維度是貫穿探究全過(guò)程所反應(yīng)出來(lái)的顯性要素.每個(gè)維度按照學(xué)生自主探究程度由低到高設(shè)定三個(gè)水平等級(jí)，由此相對(duì)應(yīng)分別是跟隨者、模仿者和探索者的角色.如表1.

表1 學(xué)生數(shù)學(xué)探究度的水平劃分

2 同課異構(gòu)的探究教學(xué)

探究?jī)?nèi)容選自《標(biāo)準(zhǔn)》第123頁(yè)案例11《正方體截面的探究》，用一個(gè)平面截正方體，截面的形狀將會(huì)是什么樣的？授課對(duì)象為某校高三年級(jí)的普通班和創(chuàng)新班學(xué)生.

2.1 普通班教學(xué)

片段1 源自生活，問(wèn)題提出

一個(gè)幾何體和一個(gè)平面相交所得到的平面圖形(包含它的內(nèi)部)叫做幾何體的截面.生活中我們會(huì)遇到很多截面問(wèn)題，比如用刀去切正方體的面包，它的截面是什么圖形？怎樣來(lái)研究截面問(wèn)題呢？

片段2 直觀感知，猜測(cè)結(jié)論

問(wèn)題1用一個(gè)平面截正方體，截面的形狀將會(huì)是什么樣的？

說(shuō)明：為了使學(xué)生能夠直觀感知，需要操作確認(rèn).教師預(yù)先做了一個(gè)幾何畫(huà)板正方體截面的動(dòng)畫(huà)，依次拖動(dòng)三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，觀察截面的形狀發(fā)生了怎樣的變化.

片段3 操作確認(rèn)，擬定方案

問(wèn)題2如果截面是四邊形，可以截出幾類不同的四邊形？為什么？

問(wèn)題3除了截面是三角形和四邊形，你還能截出哪些多邊形？為什么？

問(wèn)題4根據(jù)“一平面與兩平行平面相交，交線平行”的定理，及正方體的六個(gè)面相對(duì)面平行的特性，你可以得出哪些結(jié)論？

說(shuō)明：通過(guò)師生討論可以總結(jié)得到如圖1所示的截面圖形.

圖1

為了研究截面的形狀先擬定解決問(wèn)題的方案，譬如要證明截面是銳角三角形，先擬定證明截面三角形的三個(gè)角都是銳角，就會(huì)聯(lián)想到用余弦定理來(lái)解決問(wèn)題的方案.

片段4 合作交流，論證結(jié)論

圖2

問(wèn)題5請(qǐng)大家按照四人組成小組進(jìn)行討論，如果截面是三角形，可以截出幾類不同的三角形，請(qǐng)說(shuō)明理由.

說(shuō)明：能截出銳角三角形，截不出直角三角形和鈍角三角形.

證明：設(shè)截出的三棱錐的三條側(cè)棱DN、DM、DL的長(zhǎng)分別為a、b、c.由余弦定理得

因此∠LNM為銳角，同理另二個(gè)角也為銳角.所以只能截出銳角三角形.

圖3

問(wèn)題6怎樣截能截出最大截面的三角形？

片段5 課堂小結(jié)，反思評(píng)價(jià)

問(wèn)題7請(qǐng)您談?wù)劚竟?jié)課探究的收獲，探究正方體截面您經(jīng)歷了怎樣的過(guò)程？

說(shuō)明：通過(guò)對(duì)正方體截面形狀的探索，引導(dǎo)學(xué)生在交流、思考的過(guò)程中增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的意識(shí)，在想象、解釋的過(guò)程中提高分析和解決問(wèn)題的能力，使學(xué)生積累數(shù)學(xué)探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).數(shù)學(xué)探究活動(dòng)一般流程，如圖4所示.

圖4

2.2 創(chuàng)新班教學(xué)

為了促使學(xué)生數(shù)學(xué)探究度從水平二向水平三提高，將學(xué)生從學(xué)習(xí)模仿者逐步培養(yǎng)成為知識(shí)的探索者.采用本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下的探究型教學(xué)，即選取正方體截面中的本原性問(wèn)題為引子，模擬數(shù)學(xué)家做數(shù)學(xué)研究的情境，經(jīng)歷數(shù)學(xué)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)、分析和解決的過(guò)程，回歸教學(xué)的本真.上課前一周發(fā)下《課前自主探究作業(yè)》給學(xué)生，全班分成五個(gè)小組，要求小組長(zhǎng)課前組織半個(gè)小時(shí)小組集中討論交流時(shí)間.把學(xué)生自主探究放在上課之前，確保有足夠的探究時(shí)間，提高探究質(zhì)量，課堂上以展示探究成果為主.

活動(dòng)一：?jiǎn)栴}驅(qū)動(dòng)，課前探究

課前自主探究作業(yè)：思考并完成表2中的探究任務(wù)，請(qǐng)?zhí)岢鲂聠?wèn)題，并加以證明.

表2 用平面截正方體截面的形狀

活動(dòng)二：展示交流，猜證結(jié)論

由學(xué)生代表上講臺(tái)展示(部分探究結(jié)論整理如下)：

探究1：截面有沒(méi)有可能是直角三角形？

說(shuō)明：截面不可能是直角三角形.

探究2：截出的截面不能是正五邊形？

證明(反證法)：假設(shè)截出截面是正五邊形D1EFGH，如圖5.

圖5

由面面平行的性質(zhì)定理可知，EF∥D1H,D1E∥GH，而正五邊形不存在對(duì)邊平行的性質(zhì)，故矛盾.所以截面是正五邊形不存在.

探究3：截面有沒(méi)有可能是正六邊形？

說(shuō)明：截面有可能是正六邊形，選取棱的中點(diǎn)依次相連構(gòu)成正六邊形.

探究4：截面有可能是直角梯形嗎？

圖6

證明：不妨假設(shè)∠QMN=∠MNP=90°.

由正方體可知CB⊥面

ABFE,BF⊥面ABCD，

因?yàn)镸N?面ABFE，

所以CB⊥MN；

又因?yàn)镃B∩NP=P,

CB,NP?面ABCD，

所以MN⊥面ABCD，MN∥BF；

因?yàn)镸N?面BCGF,BF?面BCGF，

所以MN∥面BCGF；

因?yàn)镸N?面NPQM，

面NPQM∩面BCGF=QP，

所以MN∥QP.這與截面是梯形相矛盾.

所以截面不可能是直角梯形.

探究5：任意一個(gè)平面截正方體，怎樣截使得截面的面積最大？

圖7

圖8

1=DM+MC=GM-GD+EF·cosα

故T=1-(EFcosα)(EFsinα)

②當(dāng)截面形狀為五邊形時(shí)，如圖9，固定E,F，顯然截面過(guò)頂點(diǎn)C1時(shí)面積會(huì)盡可能大，此時(shí)是情況①的一種特殊情形(C,M,N共點(diǎn))，故截面為五邊形時(shí)不會(huì)取到最大值.

圖9

活動(dòng)三：小結(jié)收獲，繼續(xù)探究

小結(jié)：用一個(gè)平面截正方體，截面的形狀將會(huì)是什么樣的圖形?因?yàn)檎襟w有六個(gè)面，截面與六個(gè)面最多產(chǎn)生六條交線，所以截面形狀可以是銳角三角形，四邊形(平行四邊形，梯形)，五邊形和六邊形，不存在六邊形以上的截面.

探究6：類比平面截正方體探究過(guò)程，您還想繼續(xù)提出怎樣的新問(wèn)題？

說(shuō)明：學(xué)生提出了如下新問(wèn)題并進(jìn)行部分論證：平面截正三棱柱，截面是什么圖形？

新問(wèn)題1：用一個(gè)截面截該正三棱柱，截面的形狀有哪幾種可能？

新問(wèn)題2：平面截正三棱柱，如果截面是三角形可以截出任意的三角形嗎？

說(shuō)明：存在正三角形截面，截面平行于底面.存在一般的等腰三角形，截面的一條交線與底面平行.可截得鈍角三角形截面.

新問(wèn)題3：平面截正三棱柱，怎樣截出一個(gè)面積最大的三角形？

圖11

3 教學(xué)建議

3.1 探究度分析有助于選用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式

弗賴登塔爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教育方式要結(jié)合學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”.生活現(xiàn)實(shí)即學(xué)生生活中有過(guò)的體驗(yàn)，數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)就是學(xué)生已具備的數(shù)學(xué)知識(shí)與素養(yǎng)[3].兩節(jié)同課異構(gòu)教學(xué)方式的選取充分考慮到學(xué)生的生活和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí).普通班學(xué)生采用問(wèn)題鏈教學(xué)方法，即教師結(jié)合正方體截面有可能幾種情況來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈，在問(wèn)題的引導(dǎo)下學(xué)生完成猜測(cè)、分析、論證和反思的探究過(guò)程.問(wèn)題情境由淺入深，學(xué)生數(shù)學(xué)探究度從水平一向水平二發(fā)展，促使學(xué)生從跟隨者到模仿者角色的轉(zhuǎn)變.教學(xué)流程先從教師啟發(fā)引導(dǎo)開(kāi)始，接著學(xué)生自主探究，最后通過(guò)四人小組探索出截面圖形特征，在探究過(guò)程中使學(xué)生體驗(yàn)問(wèn)題得到證實(shí)后帶來(lái)的成功喜悅.而創(chuàng)新班則采用本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下的研究型教學(xué)，所謂本原性問(wèn)題是指促使一個(gè)概念、一個(gè)原理、一門理論產(chǎn)生的那些原始的問(wèn)題[3].本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下的探究活動(dòng)教學(xué)設(shè)計(jì)，關(guān)鍵在于本原性問(wèn)題的選取，最終指向?qū)W生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育.一般需要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷四個(gè)探究步驟：首先，研究截面形狀的分類及特征，也就是研究了“是什么”；其次，研究截面所具有的性質(zhì)，在這個(gè)過(guò)程中遵循從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，對(duì)這些“特殊”的情形進(jìn)行大膽猜想，嚴(yán)謹(jǐn)論證，也就是解決了“為什么”.第三，回顧探究5的開(kāi)始階段先猜測(cè)三種特殊情形面積的數(shù)值，再建立一般情況的函數(shù)模型，通過(guò)函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)的最值，這為解決空間幾何體任意截面所得面積問(wèn)題的新思路，也就是得到了“怎么做”.第四，解決問(wèn)題后，學(xué)生又提出平面截正三棱柱(或者圓柱、圓錐等)截面是什么圖形等創(chuàng)新性問(wèn)題.在新的問(wèn)題情境下進(jìn)行繼續(xù)探究，也就是提出了“還想做什么”.盡管研究型教學(xué)展現(xiàn)出來(lái)的問(wèn)題未見(jiàn)得是歷史上解決這類問(wèn)題的真實(shí)情境，但設(shè)計(jì)本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)能誘發(fā)學(xué)生猜證問(wèn)題的欲望，通過(guò)類比推理提出新的問(wèn)題，讓學(xué)生掌握并運(yùn)用數(shù)學(xué)研究的基本途徑與方法.

3.2 探究度量化分析促進(jìn)教師的精準(zhǔn)教學(xué)

“教之道在于度”，學(xué)生自主與教師指導(dǎo)的“度”的把握需要探究度量化分析，其作用在于實(shí)現(xiàn)教學(xué)設(shè)計(jì)精細(xì)化：一是促進(jìn)教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)精準(zhǔn)地確定探究活動(dòng)的教學(xué)目標(biāo).譬如該班級(jí)整體學(xué)生的探究度學(xué)情為1低2高3中4中5中6低，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)制定目標(biāo)時(shí)，對(duì)1問(wèn)題提出和6表達(dá)交流這二個(gè)維度，上課時(shí)老師需要特別作針對(duì)性指導(dǎo).教學(xué)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)并非要在一節(jié)課中面面俱到，對(duì)于該班級(jí)教學(xué)中在創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境和多給學(xué)生表達(dá)與交流機(jī)會(huì)方面要實(shí)施“精準(zhǔn)教學(xué)”，達(dá)成這兩個(gè)維度由低級(jí)向中級(jí)發(fā)展的教學(xué)目標(biāo).二是促進(jìn)教師進(jìn)行因材施教.譬如根據(jù)探究度量化分析該生為1中2低3中4高5中6高，說(shuō)明2猜測(cè)結(jié)論能力相對(duì)較弱，因此教師在猜測(cè)合理的數(shù)學(xué)結(jié)論時(shí)加強(qiáng)方法上的有效引導(dǎo)，設(shè)計(jì)一些“猜測(cè)結(jié)論”問(wèn)題有針對(duì)性訓(xùn)練，告訴該位同學(xué)對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題需要大膽猜想，小心求證.三是促進(jìn)探究分組成員之間探究能力的互補(bǔ).探究學(xué)習(xí)往往需要學(xué)生分組合作進(jìn)行探究，教師要優(yōu)化組合分組，把探究度水平等級(jí)不同學(xué)生組合在一起進(jìn)行分組討論，綜合協(xié)調(diào)教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生能力水平和探究課時(shí)時(shí)間三者之間的關(guān)系，同時(shí)給探究能力不同學(xué)生的探究時(shí)間也要有所區(qū)別．這樣有利于按時(shí)完成課程所要求的探究任務(wù).只有在合作探究研究中各取所需、優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)、分頭共進(jìn)，才能使學(xué)生探究能力不斷地提高.

3.3 采集分析探究度實(shí)現(xiàn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)

“為學(xué)而教，教學(xué)設(shè)計(jì)中了解學(xué)情永遠(yuǎn)是第一位”[4].探究教學(xué)設(shè)計(jì)除了要考慮教學(xué)目標(biāo)、教材內(nèi)容等這些固有的要素外，還要分析學(xué)生的探究度現(xiàn)狀，因此課前探究度調(diào)查可以幫助教師選擇適合學(xué)生的教學(xué)方法.基本策略應(yīng)先收集再分析，在實(shí)踐中采集探究度數(shù)據(jù)的常用途徑有：學(xué)生自評(píng)、同學(xué)互評(píng)、老師點(diǎn)評(píng)、問(wèn)卷調(diào)查、個(gè)別訪談等，采集有關(guān)的6個(gè)維度數(shù)據(jù)后，接著評(píng)價(jià)每個(gè)學(xué)生探究度三個(gè)水平，再建立個(gè)人檔案詳細(xì)記錄學(xué)生當(dāng)時(shí)探究度數(shù)據(jù)，最后用六維雷達(dá)統(tǒng)計(jì)圖或折線統(tǒng)計(jì)圖等信息技術(shù)手段分析某個(gè)學(xué)生或整個(gè)班級(jí)學(xué)生探究度的發(fā)展變化狀況.為了提高探究度6個(gè)維探究度量化數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，要采用多種途徑采集學(xué)生探究度的數(shù)據(jù),盡力排除一切干擾因素.學(xué)生真實(shí)準(zhǔn)確的探究度數(shù)據(jù)是實(shí)施因材施教的前提，也是教師教學(xué)設(shè)計(jì)選擇最恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法的依據(jù).縱觀上面兩節(jié)同課異構(gòu)教學(xué)課例的教學(xué)設(shè)計(jì)，探究方式采用由教師指導(dǎo)下學(xué)習(xí)型探究還是完全開(kāi)放研究型教學(xué)，如果不準(zhǔn)確采集分析學(xué)生6維探究度數(shù)據(jù)，就很難實(shí)現(xiàn)學(xué)生探究活動(dòng)的深度學(xué)習(xí).

總之，“教為了不教”，自主探究學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)可以為學(xué)生終身學(xué)習(xí)奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)．對(duì)學(xué)生進(jìn)行探究度水平分析，并不能完全概括數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的復(fù)雜內(nèi)涵，但其意義和作用深遠(yuǎn)，它有助于教師確定合理的教學(xué)目標(biāo)，選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，準(zhǔn)確把握學(xué)生自主與教師指導(dǎo)的“度”，更有效地培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).通過(guò)探究度量化分析在教學(xué)設(shè)計(jì)中的運(yùn)用，使數(shù)學(xué)探究活動(dòng)這朵絢麗多彩之花，成為數(shù)學(xué)教學(xué)百花園中的一枝奇葩．