王弟成

(江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215011)

提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效益，提高學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力，提升學(xué)生核心素養(yǎng)，讓學(xué)生獲得高考理想成績，是高三教學(xué)的重要目標(biāo)．高三教學(xué)中我們始終堅(jiān)持“基于學(xué)生思維，解決學(xué)生問題”的教學(xué)方法，讓學(xué)生思維先行，展示學(xué)生思維，學(xué)在教的前頭，教師針對學(xué)生“已有思維”及時(shí)診斷，發(fā)現(xiàn)問題，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑探究，激發(fā)學(xué)生思維，比較改進(jìn)，優(yōu)化提升．在解決學(xué)生問題過程中落實(shí)四基，發(fā)展四能，提升素養(yǎng)，取得較好的復(fù)習(xí)效果．現(xiàn)以一道高考函數(shù)綜合題求解教學(xué)為例，談?wù)勎覀兊慕虒W(xué)思考．

題目：(2018全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2．

(1)若a=1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1；

(2)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a．

第(1)問給出a=1，f(x)是具體函數(shù)，學(xué)生按步驟有序思維，連續(xù)求導(dǎo)，判斷單調(diào)區(qū)間，求最小值，再判斷單調(diào)性，尋求最小值．難度不大，學(xué)生不存在問題，都能正確解答．

學(xué)生解答主要是第(2)問不會解、不嚴(yán)謹(jǐn)、不全面，所以課堂教學(xué)主要針對(2)問教學(xué)．

1 展示解法 指出問題 探究完善

學(xué)生解法1由f(x)=ex-ax2，得f′(x)=ex-2ax，

設(shè)g(x)=ex-2ax，則g′(x)=ex-2a．

(i)當(dāng)a≤0時(shí)，g′(x)=ex-2a>0，

所以g(x)=ex-2ax在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

又g(0)=1，所以g(x)>g(0)=1>0，

所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以f(x)>f(0)=1>0，

所以f(x)在(0,+∞)上沒有零點(diǎn)．

(ii)當(dāng)a>0時(shí)，由g′(x)=ex-2a>0得，

當(dāng)x∈(-∞,ln 2a)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(ln 2a,+∞)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增．

所以在(0,+∞)上，g(x)有最小值，即

g(x)min=g(ln 2a)=2a-2aln 2a

=2a(1-ln 2a)， ……

教學(xué)片斷1: 改進(jìn)討論過程 優(yōu)化討論切入點(diǎn)

師：上面是部分同學(xué)的解法，主要是從參數(shù)a的一般情況討論起，分a≤0,a>0等情況討論，同學(xué)們考慮是否可以改進(jìn)？

生2提出，討論可以改進(jìn)，由于當(dāng)x≥0，此時(shí)ex≥1，所以可以直接討論2a與1的關(guān)系.

學(xué)生解法2由f(x)=ex-ax2，

得f′(x)=ex-2ax，

設(shè)g(x)=ex-2ax，則g′(x)=ex-2a．

由于x∈(0,+∞)，所以g(x)=ex>1．

g(x)min=g(ln 2a)=2a-2aln 2a

=2a(1-ln 2a)，

教學(xué)片斷2: 點(diǎn)出關(guān)鍵問題 師生探究完善

學(xué)生一片沉默，沒有提出異議，顯然認(rèn)為這樣解答可以了．這樣老師先指出問題所在，以啟發(fā)學(xué)生思考．

經(jīng)老師提醒生3提出要說明g(x)是否有零點(diǎn)，僅有單調(diào)性是不夠的．由于當(dāng)x∈(0,ln 2a)時(shí)，由于g(0)=1，g(ln 2a)<0，g(x)是連續(xù)的，必存在x1∈(0,ln 2a)使g(x1)=0．所以g(x)一定是先正，后負(fù)，再正，因?yàn)間(x)一定有零點(diǎn)．

師：很好！找到這個(gè)x1是必須的，那(ln 2a,+∞)呢？要不要也說明g(x)有零點(diǎn)呢？否則g(x)單調(diào)遞增是下列哪種情況呢？同學(xué)們?yōu)槭裁醋杂X認(rèn)為是第二種情況，理由是什么？

學(xué)生4提出從直觀感知，g(x)的圖象應(yīng)是第二種情況，但直觀不能代替推理，還是要在(ln 2a,+∞)找x2使g(x2)=0，但學(xué)生普遍感到困難無多下手。

師：(1)問所證明結(jié)論ex-x2≥1能給我們什么啟發(fā)？此式能說明什么問題？

在教師啟發(fā)后，生5提出可以借助不等式ex-x2≥1進(jìn)行放縮.由ex-x2≥1，得ex≥x2+1，所以ex>x2．所以當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，易證2a>ln 2a，所以g(2a)=e2a-2a·2a>(2a)2-4a2=0，所以在(ln 2a,+∞)上存在x2=2a使g(x2)=0．所以g(x)在(0,x1)為正，在(x1,x2)為負(fù)，在(x2,+∞)為正，從而f(x)先增，后減，再增．

師：同學(xué)們補(bǔ)充得非常好.通過第(1)問隱含的信息，結(jié)合放縮統(tǒng)一ex與x2關(guān)系，其目的是為方便找到x2，這也是這類問題中找點(diǎn)常用手法，希望同學(xué)們能夠理解、掌握，并學(xué)會遷移運(yùn)用．至此解法2是否就完善了？

生5提出對于f(x)也存在同樣的問題，要說明是否存在零點(diǎn)，否則也是不完善的，也會出現(xiàn)如圖所示情況.

由于f(0)=1>0，所以f(x1)>1，

而g(x2)=ex2-2ax2=0，

若x2<2，則f(x2)>0，此時(shí)f(x)沒有零點(diǎn)．

生6提出由(1)得x>0時(shí)，ex>x2，若直接放縮得f(x)>x2-ax2，又x2-ax2<0，不可能成功．

師：為什么會是這樣？說明什么問題？大家可以直觀感覺到當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)>0．怎么辦？畫畫圖象看能給我們什么啟發(fā)？

生7提出可以將ex放大一點(diǎn)，考慮證明ex>x3．

師：如何證明？請大家動(dòng)手．

設(shè)h(x)=ex-x3，(x>0)，證明h(x)>0．要進(jìn)行三次導(dǎo)，很麻煩．

師：好！上面證明ex>x3，處理方法很值得我們借鑒.積式比差式好，積式求導(dǎo)后方便求出單調(diào)區(qū)間．還能放再大一點(diǎn)嗎？如能證明ex>x4(在一定區(qū)間上)也行，ex>x2對我們有什么啟發(fā)？如令x=2a，則有e2a>(2a)2=4a2，也可以變?yōu)閑2a=(ea)2>(a2)2=a4等等，如何選擇x的值，能使f(x)>0？

生9提出選擇x=4a，f(4a)=e4a-a(4a)2=(e2a)2-a(4a)2>16a4-16a3>0．

師：漂亮！利用已證明結(jié)論，作適當(dāng)變換，就得到所要的結(jié)果，這是最經(jīng)濟(jì)的事.這也是我們解題要特別注意的地方.至此我們完整地、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟鉀Q此題．雖然討論有點(diǎn)煩，但我們解決了，我們成功了，收獲很大.下面看解法3．

教學(xué)片斷3: 類比思維 發(fā)現(xiàn)問題 自我解決

師：這是部分同學(xué)的解法，很漂亮.繁則思變，對給定的函數(shù)通過函數(shù)與方程關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，把所求參數(shù)分離出來，構(gòu)造出無參數(shù)函數(shù)，尋求不一樣的解法，其思路明顯比解法1簡捷！討論減少了，為什么會出現(xiàn)簡捷情況？

生10認(rèn)為通過分參后使所求解函數(shù)中不含有參數(shù)，函數(shù)是具體的，圖象是固定的，單調(diào)性是定的，不需要對參數(shù)a分類討論，當(dāng)然簡捷．

2 比較改進(jìn) 優(yōu)化提升

教學(xué)片斷4：比較解法2與3，形成新方法

(i)當(dāng)a≤0時(shí)，h(x)>0,h(x)沒有零點(diǎn)；

(ii)當(dāng)a>0時(shí)，h′(x)=ax(x-2)e-x.

當(dāng)a∈(0,2)時(shí)，h′(x)<0;

當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),h′(x)>0.

所以h(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+∞)單調(diào)遞增．

所以h(x)在(0,2)有一個(gè)零點(diǎn)，

由(1)知，當(dāng)x>0時(shí)，ex>x2,

此題看答案似乎很簡潔，但簡潔卻不簡單，簡潔中卻蘊(yùn)含不簡單的思維，不簡單的方法，不簡單思想，需要在不同解法中比較感悟，細(xì)節(jié)問題不同處理中，才能感得真諦！

3 反思感悟 改進(jìn)堅(jiān)持

(1)高三教學(xué)要讓學(xué)生思維先行

讓學(xué)生的思維走在教師的前頭．高三復(fù)習(xí)不是知識、方法、思想的簡單重復(fù)，更不是概念、性質(zhì)、公式的簡單回憶，而是學(xué)生在學(xué)習(xí)內(nèi)容豐富后對知識、方法、思想的再認(rèn)識，再理解．從系統(tǒng)的視角，聯(lián)系的觀點(diǎn)，整體的認(rèn)識，對知識理解的再深化．所以高三教學(xué)是讓學(xué)生建構(gòu)更深層的理解，更高階的思維，更綜合的能力，更核心的素養(yǎng)．但高三又是學(xué)生學(xué)習(xí)后的再學(xué)習(xí)，學(xué)生已掌握基礎(chǔ)知識、基本方法，積累了大量的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，所以教學(xué)又不能同于新授課教學(xué)，學(xué)生具備先解決條件．我們復(fù)習(xí)指導(dǎo)原則是“基于學(xué)生思維，解決學(xué)生問題”．讓學(xué)生思維先行，思在講的前頭，行在教的前面．教師有針對性地點(diǎn)撥、講解，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑探究，合作學(xué)習(xí)，從而提升能力，提高素養(yǎng)．

知識讓學(xué)生梳理，學(xué)生自己看教材，根據(jù)一節(jié)或一單元內(nèi)容自己系統(tǒng)梳理知識，包括概念、性質(zhì)、定理等．學(xué)完一個(gè)單元后，再根據(jù)復(fù)習(xí)補(bǔ)充的內(nèi)容進(jìn)一步完善知識系統(tǒng)，形成有聯(lián)系的知識“群”．練習(xí)讓學(xué)生先做，根據(jù)課堂時(shí)間讓學(xué)生課前先做一部分習(xí)題，即使課堂上補(bǔ)充的例習(xí)題，也要讓學(xué)生先做，做后再講，不做不講．想法讓學(xué)生先說，習(xí)題的解法、思路要讓學(xué)生先說，教師針對學(xué)生思路，或啟發(fā)思考，或點(diǎn)撥講解，或引導(dǎo)探究，或總結(jié)完善．錯(cuò)誤讓學(xué)生先犯，學(xué)生有錯(cuò)誤是正常的，有的錯(cuò)誤也是老師防不住的，有問題先讓學(xué)生暴露，在錯(cuò)誤基礎(chǔ)上講解才能理解更深刻．如本節(jié)課學(xué)生解法都有問題，讓學(xué)生暴露錯(cuò)誤后再針對性探究講解，效果更好．反思讓學(xué)生先來，學(xué)習(xí)離不開反思，知識的深度理解，方法的準(zhǔn)確運(yùn)用，思路的靈活轉(zhuǎn)換，思想的自覺引領(lǐng)，能力的提升，素養(yǎng)的達(dá)成，都離不開學(xué)生的自我反思，在反思中提升．總之教師要鼓勵(lì)學(xué)生先行，做“解題方法的創(chuàng)造者，而不是習(xí)題答案的搬運(yùn)工”．

(2)高三教學(xué)要基于各種資源重新設(shè)計(jì)課堂教學(xué)

教師的經(jīng)驗(yàn)，資料的習(xí)題，學(xué)生的解答等等，都是課堂教學(xué)的資源，課前教師收集整理各種資源，課堂要基于各種資源重新設(shè)計(jì)課堂教學(xué)．本題是一道高考題，練習(xí)中全班無一位同學(xué)解答與參考答案相同，說明學(xué)生都想不到這樣解，當(dāng)然與之前未系統(tǒng)講解過此類題也有一定關(guān)系，但參考答案思想方法又必須讓學(xué)生深刻理解，所以借此題詳細(xì)講解，講深講透此類問題的處理方法與技巧很有必要．參考答案的方法是最簡捷的解法，很多簡捷的思維蘊(yùn)含其中，課堂若直接呈現(xiàn)給學(xué)生，告訴學(xué)生，學(xué)生能接受、理解，甚至能模仿，但未必能理解其中的深意，不理解的方法是不可能遷移到新情境中的，自然談不上靈活運(yùn)用．學(xué)生的解答多集中在解法1與解法2，而這兩種解法放在一起比較，集中不同優(yōu)點(diǎn)，正好形成參考答案的解法．所以課堂教學(xué)看似無意，講解學(xué)生的解法，實(shí)則有意設(shè)計(jì)，基于學(xué)生的解法1與解法2，在比較基礎(chǔ)上提出解法3，學(xué)生理解自然水到渠成，甚至解法3學(xué)生都自己能創(chuàng)造出來．這樣方法不是老師強(qiáng)行“介紹”的，是學(xué)生在深刻理解基礎(chǔ)上自然形成的，學(xué)生既會，也懂，能用．既學(xué)會方法，也提升能力．這就需要教師根據(jù)各種資源靈活設(shè)計(jì)．

(3)高三教學(xué)要完善、提升學(xué)生解法，發(fā)展學(xué)生思維