曹自由 劉文英 趙 潔

(1.北京市朝陽區(qū)教育研究中心 100021；2.北京市日壇中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 100025；3.北京景山學(xué)校朝陽學(xué)校 100012)

隨著人們生活中小汽車數(shù)量的快速增加，車位逐漸供不應(yīng)求，出現(xiàn)了“停車難”的問題. 如果在給定的有限面積內(nèi)，合理地優(yōu)化停車位的設(shè)計(jì)，可以幫人們更好地緩解或者解決“停車難”的問題．在保證車輛正常出入的前提下，對(duì)于給定的停車場(chǎng)，如何規(guī)劃停車位，使得停車位數(shù)量最大是亟待解決的一個(gè)問題．

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的一個(gè)重要組成部分. 它是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng). 數(shù)學(xué)建模過程主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題[1]. 本文通過對(duì)停車場(chǎng)規(guī)劃問題進(jìn)行前提假設(shè)、建立模型，以停車數(shù)量為目標(biāo)函數(shù)，以車位傾斜角、車庫(kù)長(zhǎng)度、車庫(kù)寬度為研究參數(shù)，確定模型，并利用計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證具體數(shù)據(jù)，最終確立最優(yōu)的停車位設(shè)計(jì)方案.

1 前提假設(shè)

(1)以下關(guān)于汽車的數(shù)據(jù)均選用《中華人民共和國(guó)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)》中小型車的數(shù)據(jù)[2]．

①小型車的外廓尺寸：總長(zhǎng)a=4.80米，總寬b=1.80米.

②小型車最小轉(zhuǎn)彎半徑r1=6.00米.其中，汽車最小轉(zhuǎn)彎半徑是指汽車回轉(zhuǎn)時(shí)汽車的前輪外側(cè)循圓曲線行走軌跡的半徑，前輪外側(cè)循圓曲線的圓心稱為轉(zhuǎn)向中心．

③停車間距數(shù)據(jù)如下表所示：

表1 停車間距相關(guān)數(shù)據(jù)

根據(jù)以上數(shù)據(jù)可知一個(gè)垂直式停車位所需要的最小長(zhǎng)寬數(shù)據(jù)如圖1所示：

圖1 停車位的長(zhǎng)與寬

x: 汽車寬度與汽車間橫向凈距之和，計(jì)算可得為2.4米.

y: 汽車長(zhǎng)度與垂直式停車汽車間縱向凈距之和，計(jì)算可得為5.3米.

(2)一般小汽車的軸距2.7≤l≤2.9(單位：米)，本文取中值軸距l(xiāng)=2.8米．

(3)研究假設(shè)

① 假設(shè)所有的停車場(chǎng)都是矩形．設(shè)停車場(chǎng)的長(zhǎng)度記為L(zhǎng)，寬度記為W．

② 假設(shè)在設(shè)計(jì)停車場(chǎng)時(shí)，所有的停車位傾斜角保持一致，記為θ．

③ 假設(shè)小汽車前車輪的車軸到車頭之間的距離，與后車輪的車軸到車尾之間的距離是相等的，記為d．

2 停車位的排列方式

停車位主要有平行式、斜列式和垂直式三種排列方式．

圖2 停車位的排列方式

3 停車位問題分析

3.1 模型建立

在設(shè)計(jì)停車位時(shí)，不僅要考慮停車位本身所占的寬度，也要保證車輛能夠正常出入．根據(jù)人們的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)車輛在右轉(zhuǎn)駛出停車位時(shí)，既要防止車的左前側(cè)與馬路前方障礙物相遇，又要防止車的右后輪越過右側(cè)停車線．

如圖3，圖4所示，車位傾斜角為θ，汽車環(huán)形外半徑R表示汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)轉(zhuǎn)向中心到汽車前側(cè)最外端的最小距離，汽車環(huán)形內(nèi)半徑r表示汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)轉(zhuǎn)向中心到汽車后側(cè)最外端的最小距離．X表示汽車環(huán)形時(shí)最外點(diǎn)至環(huán)道外側(cè)邊沿的距離，取0.25米；Y表示汽車環(huán)形時(shí)最內(nèi)點(diǎn)至環(huán)道內(nèi)側(cè)邊沿的距離，取0.25米．H表示停車位所占的寬度．則

圖3 停車位傾斜角為θ時(shí)車位長(zhǎng)寬示意圖

圖4 汽車出庫(kù)時(shí)的環(huán)道平面

汽車環(huán)形內(nèi)半徑

汽車環(huán)形外半徑

最小通道寬度

T=R-rcosθ=6.78-3.26cosθ(0°<θ≤90°)．

停車位所占寬度

H=ysinθ+xcosθ=5.3sinθ+2.4cosθ(0°<θ≤90°)．

依據(jù)上述公式，可計(jì)算得出斜列式與垂直式停車所需的最小通道寬度，如表2：

表2 不同停放方式所需的最小通道寬度

3.2 模型分析

我們可以將垂直式停車方式看作是斜列式θ=90°的情形，因此斜列式與垂直式停車方式的數(shù)量可以統(tǒng)一考慮，只需要θ滿足0°<θ≤90°，再將平行式停車方式的數(shù)量單獨(dú)計(jì)算，二者作比較，求出停放車輛數(shù)量最多的方式即可.

首先我們考慮斜列式與垂直式的停車數(shù)量(0°<θ≤90°)：

停車場(chǎng)的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，設(shè)單排停車位的數(shù)量為n，則n要滿足：

則

計(jì)算出n的值，向下取整即為停車位的數(shù)量.

①考慮設(shè)計(jì)單排停車位和雙排停車位需要的寬度和對(duì)應(yīng)的停車位數(shù)量：

i.設(shè)計(jì)單排停車位

設(shè)計(jì)單排停車位需要的寬度：

H+T=5.3sinθ+2.4cosθ+6.78-3.26cosθ

=6.78-0.86cosθ+5.3sinθ;

設(shè)計(jì)單排停車位的數(shù)量：n(θ).

ii.設(shè)計(jì)雙排停車位

設(shè)計(jì)雙排停車位需要的寬度：

2H+T

=2·(5.3sinθ+2.4cosθ)+6.78-3.26cosθ

=6.78+1.54cosθ+10.6sinθ;

設(shè)計(jì)雙排停車位的數(shù)量：2·n(θ).

②當(dāng)給定停車場(chǎng)的寬度W時(shí)，

i.先考慮可以設(shè)計(jì)幾組雙排停車位：

含石墨大理巖的電阻率平均值為125Ω·m，其他巖石電阻率平均值為168.1～573.9Ω·m左右，可見含石墨礦巖石電阻率遠(yuǎn)低于圍巖電阻率，呈明顯的低租高極化特征。

每一組雙排停車位需要寬度為2H+T，

ii.考慮剩余的寬度能否設(shè)計(jì)一組單排停車位：

綜合( i ) ( ii )，可以得出總的停車位數(shù)量為

其中H,T是關(guān)于θ的函數(shù)，n是關(guān)于L,θ的函數(shù).

因此，N1是關(guān)于L,W,θ的函數(shù)，當(dāng)給定L,W的值時(shí)，N1是隨著θ的變化而變化.

下面我們考慮平行式的停車數(shù)量：

停車場(chǎng)的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，設(shè)單排停車位的數(shù)量為n，則n要滿足：5.3n≤L，

計(jì)算出n的值后，向下取整即為停車位的數(shù)量.

①考慮設(shè)計(jì)單排停車位和雙排停車位需要的寬度和對(duì)應(yīng)的停車位數(shù)量：

i.設(shè)計(jì)單排停車位(參照?qǐng)D5)

圖5 單排停車位示意圖

設(shè)計(jì)單排停車位需要的寬度：

2.4+3.8=6.2米，

設(shè)計(jì)單排停車位的數(shù)量：n；

ii.設(shè)計(jì)雙排停車位(參照?qǐng)D6)

圖6 雙排停車位示意圖

設(shè)計(jì)雙排停車位需要的寬度：

2×2.4+3.8=8.6米，

設(shè)計(jì)雙排停車位的數(shù)量：2n.

②當(dāng)給定停車場(chǎng)的寬度W時(shí)，

綜合(i) (ii)，可以得出總的停車位數(shù)量為

其中n是關(guān)于L的函數(shù).

因此，N2是關(guān)于L,W的函數(shù)，當(dāng)給定L,W的值時(shí)，N2是可以確定的.

現(xiàn)在，我們只需要比較給定W值時(shí)，斜列式停車位數(shù)量N1和平行式停車位數(shù)量N2的大小，就可以確定最優(yōu)的停車位設(shè)計(jì)方案.

3.3 應(yīng)用舉例

例1當(dāng)停車場(chǎng)寬度W=8米，L=100米時(shí)，利用公式

進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真模擬，可得：

若安放斜列式停車位，當(dāng)車位傾斜角θ=22.34°，N1取最大值15，此時(shí)可以停放一個(gè)單排，每排15個(gè)停車位，總共可安放15個(gè)停車位.

若安放平行式停車位，N2=18，此時(shí)可以停放一個(gè)單排，每排18個(gè)停車位，總共可安放18個(gè)停車位.

圖7 計(jì)算機(jī)仿真例1的結(jié)果

比較可知，此時(shí)設(shè)計(jì)成平行式安放停車位數(shù)量最多.

例2當(dāng)停車場(chǎng)寬度W=20米，L=100米時(shí)，利用公式

進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真模擬，可得:

若安放斜列式停車位，當(dāng)車位傾斜角θ=90°，N1取最大值82，此時(shí)可以停放一個(gè)雙排，每排41個(gè)停車位，總共可安放82個(gè)停車位.

若安放平行式停車位，N2=72，此時(shí)可以停放兩個(gè)雙排，每排18個(gè)停車位，總共可安放72個(gè)停車位.

比較可知，此時(shí)設(shè)計(jì)成垂直式安放停車位數(shù)量最多.

圖8 計(jì)算機(jī)仿真例2的結(jié)果

例3當(dāng)停車場(chǎng)寬度W=29米，L=60米時(shí)，利用公式

進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真模擬，可得:

若安放斜列式停車位，當(dāng)車位傾斜角θ=73.51°，N1取最大值69，此時(shí)可以停放一個(gè)雙排和一個(gè)單排，每排23個(gè)停車位，總共可安放69個(gè)停車位.

若安放平行式停車位，N2=66，此時(shí)可以停放三個(gè)雙排，每排11個(gè)停車位，總共可安放66個(gè)停車位.

比較可知，當(dāng)車位傾斜角θ=73.51°時(shí)，可安放的停車位數(shù)量最多.

圖9 計(jì)算機(jī)仿真例3的結(jié)果

3.4 模型評(píng)價(jià)

本文通過對(duì)平行式、斜列式和垂直式三種停車位的分析，將斜列式與垂直式兩種停車方式(0°<θ≤90°)統(tǒng)一考慮，平行式停車方式單獨(dú)考慮，將不同的停車方式下的停車總數(shù)量分別表示為關(guān)于W,L,θ的函數(shù).在給定任意寬度和長(zhǎng)度時(shí)，根據(jù)此模型均可以計(jì)算得到可存放的停車位的最大數(shù)量及對(duì)應(yīng)的停車位設(shè)計(jì)方案，模型具有實(shí)用性和可推廣性.