李佳 易良斌
摘要:基于前課學(xué)生作業(yè)數(shù)據(jù),在充分了解學(xué)情的基礎(chǔ)上,通過知識(shí)大框架設(shè)計(jì),引導(dǎo)學(xué)生分類研究問題,體驗(yàn)有關(guān)平面直角坐標(biāo)系題目的變化規(guī)律,找到解題方法;充分尊重學(xué)生的主體地位,讓學(xué)生根據(jù)有梯度的問題不斷深入探究,在探究過程中形成解決問題的一般方法。
關(guān)鍵詞:“平面直角坐標(biāo)系”;復(fù)習(xí);關(guān)聯(lián);一般方法
“平面直角坐標(biāo)系”是浙教版八年級(jí)上冊第四章“圖形與坐標(biāo)”中的復(fù)習(xí)課,該知識(shí)是七年級(jí)數(shù)軸教學(xué)內(nèi)容的延續(xù),也是研究函數(shù)的基本工具。學(xué)生通過五節(jié)新課的學(xué)習(xí),對“平面直角坐標(biāo)系”的基本內(nèi)容已經(jīng)掌握,但對比較綜合性的問題略顯生疏,沒有形成解題思想,對這一類題目的變化規(guī)律認(rèn)識(shí)不足。筆者通過知識(shí)梳理、搭建系統(tǒng)框架和題組變化,讓學(xué)生理解知識(shí)與題目之間的聯(lián)系以及題目變化的一般規(guī)律,找到解決問題的一般思路,達(dá)到深入理解點(diǎn)的位置與縱橫坐標(biāo)的數(shù)量之間對應(yīng)關(guān)系的目的,學(xué)會(huì)把位置與數(shù)量之間相互轉(zhuǎn)化,為后期學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容打下基礎(chǔ)。
上本節(jié)復(fù)習(xí)課之前,學(xué)生通過新課學(xué)習(xí)和一定量題目的練習(xí),基本掌握了平面直角坐標(biāo)系的知識(shí),但知識(shí)處于碎片化,沒有建立起知識(shí)之間的聯(lián)系,會(huì)解決簡單問題,但對復(fù)雜問題沒有形成解決問題的一般策略。
一、展示數(shù)據(jù)、發(fā)現(xiàn)問題,梳理知識(shí)、形成體系
搜集學(xué)生前期在App上完成的相應(yīng)練習(xí)題,把學(xué)生完成情況相對差的題目進(jìn)行原題展現(xiàn)—數(shù)據(jù)分析—錯(cuò)因解析。
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過幾組錯(cuò)誤分析,明白自己的薄弱之處,讓學(xué)生聚焦學(xué)習(xí)注意力,同時(shí)知曉自己的錯(cuò)誤原因。
師:請同學(xué)們回憶一下,本章學(xué)習(xí)中,我們一共學(xué)會(huì)了幾種不同方法來表示平面上一個(gè)點(diǎn)的位置?
生1:棋盤法。
生2:方向距離法。
生3:經(jīng)緯度法。
師:比較這幾種不同的表示方法,你發(fā)現(xiàn)它們之間有什么共同之處?
生:表示平面上的點(diǎn)至少需要兩個(gè)數(shù)據(jù)。
師:還有什么規(guī)律?
生:兩個(gè)數(shù)據(jù)的寫法要規(guī)定一個(gè)次序。
師:大家再想一下七年級(jí)上冊學(xué)習(xí)的數(shù)軸知識(shí),數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間有什么關(guān)系?
生:一一對應(yīng)關(guān)系。
師:如何解釋一一對應(yīng)關(guān)系?
生:數(shù)軸上每一個(gè)點(diǎn)都可以用一個(gè)實(shí)數(shù)表示,每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用一個(gè)數(shù)軸上的點(diǎn)表示。
師:同理,平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)對有什么關(guān)系?
生:也是一一對應(yīng)關(guān)系。
師:同學(xué)們再深入思考一下,為什么數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)有一一對應(yīng)關(guān)系?
本問題比較難,學(xué)生思考良久,說出了很多不準(zhǔn)確的答案。
師:同學(xué)們思考一下,確定一個(gè)實(shí)數(shù)必須先確定它的哪兩個(gè)要素?
生:符號(hào)和絕對值。
師:確定一個(gè)點(diǎn)必須確定哪兩方面的要素?
生:方向和距離。
師:同學(xué)們再想一下,數(shù)軸有哪些要素?
生:單位長度、原點(diǎn)和正方向。
師:數(shù)軸的三要素、點(diǎn)和實(shí)數(shù)的要素之間有什么聯(lián)系?
生:要確定絕對值和距離,必須確定參考點(diǎn)和參考單位。
生:數(shù)軸的正方向?qū)?yīng)點(diǎn)的方向和數(shù)的符號(hào)。
師:非常好!用一句話來表述,數(shù)軸和平面直角坐標(biāo)系是一個(gè)工具,把數(shù)與形聯(lián)系起來的工具,運(yùn)用它們可以把點(diǎn)的位置與數(shù)之間建立一種聯(lián)系。
師:基于以上理解,我們學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系,可把問題歸納為“兩個(gè)對應(yīng)”與“三個(gè)維度”?!皟蓚€(gè)對應(yīng)”即位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)換,“三個(gè)維度”分別是點(diǎn)的位置問題、點(diǎn)的距離問題、點(diǎn)的變換問題。
【設(shè)計(jì)意圖】通過總結(jié)表示平面上點(diǎn)的位置的不同方法,發(fā)現(xiàn)共同點(diǎn),同時(shí)引入數(shù)軸做對比,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同知識(shí)之間的聯(lián)系,理解數(shù)學(xué)結(jié)論后面的數(shù)理,歸納總結(jié)出本章不同問題的類型和解決問題兩者之間的聯(lián)系,讓學(xué)生有一個(gè)系統(tǒng)思維,站在一個(gè)角度理解本章解決問題的本質(zhì)特征。
二、易錯(cuò)定位、歸納錯(cuò)因,題海導(dǎo)航、探究方法
通過課前學(xué)案數(shù)據(jù)的反饋,筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)題主要集中在第2題、第5題、第6題,第9題和第10題。為此,筆者集中錯(cuò)誤類型:(1)已知“距離”相關(guān)的問題;(2)信息轉(zhuǎn)化出現(xiàn)“錯(cuò)位”。歸納產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因:(1)審題時(shí)不畫圖,不用坐標(biāo)系來解析信息;(2)解決“距離”問題出現(xiàn)慣性思維(單向思維);(3)對坐標(biāo)系中的“距離”問題理解不到位。
【設(shè)計(jì)意圖】分析課前學(xué)案的數(shù)據(jù),幫助學(xué)生對自己所犯的錯(cuò)誤進(jìn)行精準(zhǔn)定位,為后面的復(fù)習(xí)課打下基礎(chǔ)。
環(huán)節(jié)一:完成題組,總結(jié)歸納。
師:給同學(xué)們6分鐘時(shí)間完成題組一和題組二,并思考PPT上的三個(gè)問題。
題組一:
(1)點(diǎn)(-3,4)在第______象限;
(2)點(diǎn)(-3,4)到x軸的距離為_______,到y(tǒng)軸的距離為_______,到原點(diǎn)的距離為_______;
(3)點(diǎn)(-3,4)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)為_______,關(guān)于y軸對稱點(diǎn)為________;
(4)點(diǎn)(-3,4)向下平移4個(gè)單位得到點(diǎn)坐標(biāo)為________;
題組二:
(1)點(diǎn)(-3,b)在第三象限,則b的取值范圍是多少?
(2)點(diǎn)(-3,b)到x軸的距離為2,則b的值是多少?到y(tǒng)軸的距離是多少?若點(diǎn)(-3,b)到原點(diǎn)的距離為5,則b的值是多少?
(3)點(diǎn)(-3,b)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)為(a,2),則a=_____,b=_____;
(4)點(diǎn)(-3,b)向右平移5個(gè)單位,再向下平移4個(gè)單位,得到(a,2),則a=_____,b=_____;
(5)點(diǎn)(-3,b)幾何意義是什么?請畫圖表示;
(6)請用坐標(biāo)形式表示直線m。
師:請同學(xué)們完成課堂學(xué)案,觀察思考以下三個(gè)問題:
(1)從題目的條件角度來看,題目中給的點(diǎn)的個(gè)數(shù)一般有哪幾種情況?
(2)從點(diǎn)的坐標(biāo)形式來看,題目可以有哪幾種變化形式?
(3)從所有題目的特點(diǎn)來看,我們研究問題是哪兩個(gè)方面的相互轉(zhuǎn)化?
環(huán)節(jié)二:摸清題脈,思考探究。
師:首先,我們一起回答第一個(gè)問題。
生:從題目條件角度來看,題目中給的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有時(shí)是一個(gè)點(diǎn),也有兩個(gè)點(diǎn)或三個(gè)點(diǎn)以上。
師:第二個(gè)問題?
生:從點(diǎn)的坐標(biāo)形式來看,點(diǎn)不含字母,有時(shí)含一個(gè)字母,也有含兩個(gè)字母。
師:第三個(gè)問題?
生:一般研究點(diǎn)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化。
師:首先,我們一起來研究最簡單的一類問題:題目中只有一個(gè)點(diǎn)且不含字母。
師:大家觀察一下,這四個(gè)題目主要涉及哪幾方面的問題?
生:主要涉及五類問題,分別研究:點(diǎn)的一般位置、特殊位置、距離、平移和對稱問題。
師:非常棒。
師:接下來,我們研究另一類問題:有一個(gè)點(diǎn),但含有一個(gè)字母的問題。
師:這一類問題,在解決時(shí)要注意什么問題?
生:在由點(diǎn)所處象限來確定字母范圍時(shí),要思考點(diǎn)是否在坐標(biāo)軸上。
生:已知點(diǎn)到兩個(gè)坐標(biāo)軸的距離,確定字母值時(shí),要思考到字母的符號(hào)。
師:請同學(xué)思考以下四個(gè)問題:
(1)坐標(biāo)(-3,b)幾何意義是什么?請畫圖表示;
(2)請用坐標(biāo)形式表示直線m;
(3)請畫圖表示(a,-3)(-1≤a≤4);
(4)請用坐標(biāo)形式表示線段AB。
師:你發(fā)現(xiàn)了什么?
生:可以用坐標(biāo)的形式來表示一個(gè)線段、射線和直線。
師:以上所表示的線有什么特征?
生:平行于一個(gè)坐標(biāo)軸,而垂直于另一個(gè)坐標(biāo)軸。
師:可以表示其他的線嗎?
比如:請用坐標(biāo)的形式表示一、三象限角平分線所在的直線;若把這條直線向上平移2個(gè)單位,你能用坐標(biāo)的形式來表示這條直線嗎?
生:用(x,x)表示一、三象限角平分線所在的直線。
生:用(x,x+2)表示這直線向上平移2個(gè)單位的直線。
師:非常棒。
師:接下來,我們一起研究更難的題目:題目中含一個(gè)點(diǎn),但縱、橫坐標(biāo)都含有字母。
師:這一類題目有什么特征?
生:因?yàn)榭v、橫坐標(biāo)都含有字母,說明數(shù)量關(guān)系未知;反之,位置一定是已知的。
師:非常正確,這一類問題的策略是:把坐標(biāo)的位置信息轉(zhuǎn)化成為橫、縱坐標(biāo)的方程(組)或不等式,通過解不等式得到未知數(shù),從而確定點(diǎn)的坐標(biāo)。
師:在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(m,2m+1)
(1)請用不同的方法說明點(diǎn)A不可能經(jīng)過某個(gè)象限;
(2)請把m取不同值(如m=-2,m=-1,m=0,m=1,m= 2),并得到不同的點(diǎn)描在平面直角坐標(biāo)系上,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
生:發(fā)現(xiàn)所有點(diǎn)都在一條直線上。
【設(shè)計(jì)意圖】通過一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)從不含字母到含有兩個(gè)字母的問題,逐步深入,讓學(xué)生體驗(yàn)題目的變化規(guī)律,找到解決問題的規(guī)律。
環(huán)節(jié)三:運(yùn)用規(guī)律,我問你答。
師:下面我們一起研究問題中含有兩個(gè)點(diǎn)的問題,先來試著看一下兩個(gè)點(diǎn)都不含有字母。請同學(xué)們試著根據(jù)我給的點(diǎn)坐標(biāo),提出一個(gè)問題。
(1)對于兩個(gè)點(diǎn)A(-2,2),B(2,3),你能提哪些問題?
生:兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于哪個(gè)坐標(biāo)軸對稱?
生:兩個(gè)點(diǎn)之間的距離是多少?
生:從A到B,是如何平移所得?
生:兩個(gè)點(diǎn)的連線垂直于哪一坐標(biāo)軸?
生:兩個(gè)點(diǎn)的連線平行于哪一坐標(biāo)軸?
師:(2)對于兩個(gè)點(diǎn)A(-5,3),B(2,3),你還能提哪些問題?
師:(3)對于兩個(gè)點(diǎn)A(-1,3),B(1,7),你又能提哪些問題?
師:同學(xué)們總結(jié)一下,你們所出的題目可以有幾種不同的類型:
生:一般有五個(gè)方面:(1)所處象限位置;(2)特殊位置;(3)距離問題;(4)對稱問題;(5)平移問題。
師:我們下面來研究更加難的問題:含有兩個(gè)點(diǎn),且點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)中有一個(gè)含有字母。這一類題目的規(guī)律是什么?
生:因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)未知,一定是給兩個(gè)點(diǎn)之間的位置關(guān)系、變換關(guān)系和距離,通過位置關(guān)系來確定數(shù)量關(guān)系,從而求出字母的值。
師:非常棒,同學(xué)們找到了題目變化的規(guī)律。
師:下面我們一起來挑戰(zhàn)一下:兩個(gè)點(diǎn)都含有字母,并且含有兩個(gè)以上的字母。
師:請同學(xué)們用三分鐘時(shí)間來思考一下,解決這類問題的一般策略是什么?
生:對兩個(gè)全參數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo),一般把點(diǎn)的位置信息轉(zhuǎn)化成點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的方程(組)。
師:非常好。解決這類多字母問題,一般要把位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成兩個(gè)以上的數(shù)量關(guān)系,建立方程組來求字母的值。
環(huán)節(jié)四:運(yùn)用規(guī)律,適度拔高。
師:下面我們來挑戰(zhàn)一下含有三個(gè)點(diǎn)的問題,解決這類問題的一般步驟是什么?
生:一般要經(jīng)歷四個(gè)步驟:建標(biāo)—描點(diǎn)—連線—觀察。
師:根據(jù)圖形,你能提出什么問題?
生:三角形ABC的形狀是什么?
生:三角形ABC的面積是多少?
師:最后,我們一起來挑戰(zhàn)一個(gè)極限難度:含有三個(gè)點(diǎn)且含有字母。
師:給同學(xué)們?nèi)昼姇r(shí)間來討論一下這個(gè)問題。
師:這一類問題的一般解題思路是:由已知點(diǎn),可以確定三角形的一條邊長,再根據(jù)三角形的面積定底求高,或定高求底。然后,再把線段的長度轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)。
對應(yīng)的解題步驟如下:
(1)畫坐標(biāo)—標(biāo)點(diǎn)—構(gòu)圖;
(2)確定底邊或高;
(3)通過面積求出底邊或高;
(4)利用相對位置求出點(diǎn)的坐標(biāo)(注意分類)。
三、課堂小結(jié)、形成思路,歸納提煉、反思評價(jià)
師:請同學(xué)思考以下四個(gè)問題:
(1)圖形與坐標(biāo)問題主要討論哪兩種關(guān)系的轉(zhuǎn)化?
(2)問題中點(diǎn)的坐標(biāo)有哪幾種變化形式?
(3)本章主要從哪幾個(gè)角度來變化問題?
(4)本章解決所有問題最主要的方法是什么?
師:本節(jié)課總結(jié)如下:
一個(gè)方法:數(shù)形結(jié)合法;
兩種關(guān)系:數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系轉(zhuǎn)化;
三種形式:不含字母、含一個(gè)字母和含兩個(gè)字母;
三個(gè)角度:點(diǎn)的位置、點(diǎn)的距離和點(diǎn)的變換。
四、學(xué)為中心、豐富素養(yǎng),教學(xué)引領(lǐng)、提升品質(zhì)
本節(jié)課有一個(gè)宏觀思維,把整個(gè)章節(jié)的核心問題“點(diǎn)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化”,通過一個(gè)問題串,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn),并用一個(gè)直角坐標(biāo)系來引導(dǎo)學(xué)生深入學(xué)習(xí),難度每增加一步,學(xué)生緊跟著上一個(gè)梯度,最終清楚要研究的問題類型是什么以及怎么去解決問題。
(1)本節(jié)課在設(shè)計(jì)中充分考慮到不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求,從最基礎(chǔ)的知識(shí)開始復(fù)習(xí),以練促講,讓學(xué)生根據(jù)有規(guī)律的題組變化,找到平面直角坐標(biāo)系問題的變化規(guī)律。所有規(guī)律是讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、總結(jié),注重學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。
(2)本節(jié)課主要以學(xué)生探究學(xué)習(xí)為主,在完成學(xué)案的基礎(chǔ)上進(jìn)行講解,每一個(gè)環(huán)節(jié)的推進(jìn)都是在學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律。
(3)本節(jié)復(fù)習(xí)課所涉及的問題是課標(biāo)所涉及的內(nèi)容,課標(biāo)規(guī)定為課堂畫了一個(gè)“紅線”,用一個(gè)表格把所有涉及的問題進(jìn)行分門別類總結(jié),讓學(xué)生了解復(fù)習(xí)課主要解決什么問題。
(4)本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)立意高,為了幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解平面直角坐標(biāo)系所有題目中的核心問題,筆者通過一個(gè)問題串來引發(fā)學(xué)生思考:為什么數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對應(yīng)關(guān)系?讓學(xué)生理解點(diǎn)的兩個(gè)要素與實(shí)數(shù)的兩個(gè)要素之間的對應(yīng)關(guān)系,幫助學(xué)生從數(shù)理上理解問題的本源。
總的來說,本節(jié)課教學(xué)實(shí)施脈絡(luò)清晰,為了幫助學(xué)生從題海里跳出來,發(fā)現(xiàn)章節(jié)中所有題目的變化規(guī)律,用了一個(gè)“題目變化坐標(biāo)系”,引導(dǎo)學(xué)生逐步深入,每深入一步,讓學(xué)生精準(zhǔn)定位自己探究到哪一個(gè)程度,每進(jìn)一步,就總結(jié)解決問題的方法。讓學(xué)生錯(cuò)得明明白白,解析得清清楚楚。課堂中沒有花招,以練帶講,講練結(jié)合,完全讓學(xué)生在體驗(yàn)中學(xué)習(xí)內(nèi)容,進(jìn)行整章節(jié)內(nèi)容的復(fù)習(xí),并且基于學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)又有升華與提高。
參考文獻(xiàn):
[1] 中華人民共和國教育部 . 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011 版)[S]. 北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.
[2] 李靜 . 經(jīng)歷建模過程 感悟模型思想 [J]. 小學(xué)數(shù)學(xué)教育,2016(6).
(責(zé)任編輯:奚春皓)