高峰，彭瓊

（1.衡陽(yáng)師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，湖南 衡陽(yáng) 421002；2.湖南交通工程學(xué)院 基礎(chǔ)課部，湖南 衡陽(yáng) 421001）

量子力學(xué)與相對(duì)論物理是近代物理學(xué)的兩大理論支柱，這是20世紀(jì)初期基礎(chǔ)物理學(xué)取得的兩個(gè)意義重大的成就?，F(xiàn)在，它們已經(jīng)成為人們研究物質(zhì)結(jié)構(gòu)、物質(zhì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律、物質(zhì)的物理和化學(xué)性質(zhì)的主要理論武器。量子力學(xué)是反映微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基礎(chǔ)理論，可以分為初等量子力學(xué)（簡(jiǎn)稱為量子力學(xué)）及高等量子力學(xué)，初等量子力學(xué)主要研究微觀低速領(lǐng)域的物理問(wèn)題，而高等量子力學(xué)主要研究微觀高速領(lǐng)域的物理問(wèn)題。量子力學(xué)中的態(tài)疊加原理是量子力學(xué)的一個(gè)基本原理，也是一條基本假設(shè)，在量子力學(xué)理論體系中占有相當(dāng)重要的地位。多年來(lái)，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)量子態(tài)及量子態(tài)疊加原理進(jìn)行了深入研究，取得了大量研究成果。例如20世紀(jì)中葉，人們通過(guò)對(duì)量子態(tài)基本特性的研究并結(jié)合信息科學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)，發(fā)展了今天的量子信息學(xué)和量子計(jì)算。量子通信的絕對(duì)保密性及量子計(jì)算機(jī)的高速度運(yùn)算能力和并行計(jì)算能力將使人類(lèi)的通信和計(jì)算水平提高到嶄新的水平。但是，在以往的研究中，人們大多都是研究量子態(tài)及量子態(tài)疊加原理本身[1-5]。對(duì)于量子態(tài)及其某些相關(guān)問(wèn)題的研究和討論還在繼續(xù)，例如對(duì)于力學(xué)量算符的本征態(tài)系的完備性問(wèn)題、關(guān)于量子態(tài)的測(cè)量問(wèn)題等等都還有待人們繼續(xù)探索[6]。

經(jīng)典力學(xué)中，任何物體的運(yùn)動(dòng)都可以被精確確定，描寫(xiě)物體運(yùn)動(dòng)學(xué)特性及動(dòng)力學(xué)特性的物理量（如坐標(biāo)、動(dòng)量、加速度、時(shí)間、能量等）在任意時(shí)刻都具有確定的數(shù)值，這些物理量在任意時(shí)刻都可以被精確測(cè)量，所以任何宏觀物體的運(yùn)動(dòng)都具有確定的運(yùn)動(dòng)軌跡（或運(yùn)動(dòng)軌道）。而在量子力學(xué)中，由于微觀粒子具有波粒二象性，這使得許多物理量不能同時(shí)具有確定的數(shù)值，如坐標(biāo)和動(dòng)量、能量和時(shí)間就不能同時(shí)具有確定值。因此，微觀粒子沒(méi)有確定的運(yùn)動(dòng)軌跡，描寫(xiě)它們運(yùn)動(dòng)學(xué)特性和動(dòng)力學(xué)特性的物理量就具有了統(tǒng)計(jì)意義[7]，這使得經(jīng)典物理態(tài)與量子態(tài)的物理特性有了本質(zhì)區(qū)別。對(duì)于量子態(tài)疊加與經(jīng)典波疊加之間的本質(zhì)區(qū)別，只有少數(shù)文獻(xiàn)有所提及，卻并沒(méi)有論述兩者之間的本質(zhì)區(qū)別到底在哪里。經(jīng)典力學(xué)中，波的疊加服從獨(dú)立性原理（或稱為波疊加原理），量子態(tài)的疊加是否也存在類(lèi)似的原理，這兩者之間的根本區(qū)別何在，本文將依據(jù)量子態(tài)及力學(xué)量的測(cè)量理論，深入分析經(jīng)典物理學(xué)中機(jī)械波的疊加與量子態(tài)疊加的本質(zhì)區(qū)別，希望可以使人們更加深刻地理解量子態(tài)的特性及量子態(tài)疊加原理的物理本質(zhì)。

1 機(jī)械波疊加的基本理論

式中：A為振幅；ω為圓頻率；u表示波在介質(zhì)中的傳播速度；?是初位相。

大量的實(shí)驗(yàn)事實(shí)表明，當(dāng)兩個(gè)或兩個(gè)以上的波源激發(fā)的波在同一介質(zhì)中相遇時(shí)，各列波在相遇前和相遇后都維持它原來(lái)的某些特性（例如頻率、波長(zhǎng)、振動(dòng)發(fā)生方向及傳播方向等）不變，這就是機(jī)械波疊加的獨(dú)立性原理[8]。正因?yàn)槿绱?，在嘈雜的公眾場(chǎng)合中，各種各樣的聲音都進(jìn)入人耳，但人們還是可以區(qū)分各種不同的聲音。但是，在各列波相遇的范圍內(nèi)，每一個(gè)質(zhì)元的振動(dòng)都是由每列波單獨(dú)在該處引起的振動(dòng)的合成，所以合成波在每一時(shí)刻都具有確定的能量和動(dòng)量。

機(jī)械波是由機(jī)械振動(dòng)在介質(zhì)中傳播而形成的，因此討論波的合成理論則要討論振動(dòng)的合成。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)有兩列頻率相同、振動(dòng)方向相同的平面簡(jiǎn)諧波，它們的振動(dòng)方程分別為

式中:A1和A2分別為兩列波相應(yīng)的振幅；ω為兩兩波源的圓頻率；?10，?20分別為兩列波相應(yīng)的初位相。如果不考慮介質(zhì)對(duì)波的能量吸收，則當(dāng)這兩列波在同一介質(zhì)中分別經(jīng)過(guò)距離r1和r2單獨(dú)傳播到空間某一點(diǎn)P時(shí)，它們?cè)谠擖c(diǎn)引起的振動(dòng)分別為

式中λ為兩列波的波長(zhǎng)。顯而易見(jiàn)，P點(diǎn)同時(shí)參與了兩個(gè)振動(dòng)方向相同、頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。利用旋轉(zhuǎn)矢量法可以證明其合振動(dòng)也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它的圓頻率與兩個(gè)分振動(dòng)的圓頻率是一樣的。設(shè)P點(diǎn)的合振動(dòng)的振動(dòng)方程為

利用余弦定理可以求出合振幅為

合成波的位相為

這兩列波在P點(diǎn)所引起的兩個(gè)振動(dòng)的位相差為

如果兩列波的初位相為0或相等，則有

由此可見(jiàn)，兩列波在P點(diǎn)的位相差僅由它們的波程差決定。此外，由（10）式可以看出，對(duì)于給定的P點(diǎn)，兩個(gè)分振動(dòng)的位相差是一個(gè)常量。但是，在波場(chǎng)中的不同點(diǎn)，因?yàn)閮闪胁ǖ牟ǔ滩幌嗤?，所以它們的位相差不同?/p>

另一方面，波的強(qiáng)度I正比于其振幅的平方，由（8）式很容易得出合成波的強(qiáng)度為

在初中物理電學(xué)的計(jì)算題中遇到求解過(guò)程很復(fù)雜，而且解題的方法有很多種題時(shí)，這主要考驗(yàn)學(xué)生的綜合能力，學(xué)生在解題的過(guò)程中可能出現(xiàn)由于粗心求解錯(cuò)誤的情況，影響最后結(jié)果的得出。這時(shí)教師可以利用設(shè)未知列方程的方法，避開(kāi)復(fù)雜的求解過(guò)程，幫助學(xué)生很好的解決問(wèn)題。

（12）式表明，合成波的強(qiáng)度并不等于這兩列波單獨(dú)在空間存在時(shí)某點(diǎn)強(qiáng)度的代數(shù)和，這說(shuō)明波的強(qiáng)度（能量）在空間要重新進(jìn)行分布。

現(xiàn)在討論合成波的能量。考慮兩列波在彈性介質(zhì)中傳播，由于介質(zhì)中質(zhì)元的振動(dòng)將會(huì)使介質(zhì)產(chǎn)生形變，因而，它們不僅具有動(dòng)能，同時(shí)也具有勢(shì)能。設(shè)介質(zhì)的體密度為ρ，在介質(zhì)中任取一體積元d V，其質(zhì)量為

體積元內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為

式中v為介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度，不是波的傳播速度。

由（7）式可以求得

將（13），（15）式代入（14）式，得

根據(jù)楊氏彈性模量的定義及胡克定律可以求得彈性介質(zhì)中體積元d V內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能。設(shè)該體積元的截面積為S，則該體積元所受的彈性力為

由（18）、（19）兩式可以看出，在波的傳播過(guò)程中，任意時(shí)刻的動(dòng)能和勢(shì)能不僅大小相等而且位相相同，它們同時(shí)達(dá)到最大或同時(shí)等于0。于是得到介質(zhì)中體積元d V內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的總機(jī)械能為

根據(jù)（9）式可知?是r1和r2的函數(shù)，體積元內(nèi)的總機(jī)械能將隨空間和時(shí)間發(fā)生變化，所以體積元內(nèi)的機(jī)械能是不守恒的。以上得出的結(jié)果告訴我們，合成波的總能量中無(wú)法獨(dú)立地保留兩個(gè)分波的能量。

上面討論了兩列頻率相同、振動(dòng)方向相同的經(jīng)典波的合成，對(duì)于一般性的兩列或多列波的合成，情況要復(fù)雜得多，雖然各列波的頻率、波長(zhǎng)、振動(dòng)方向及傳播方向都會(huì)保持不變，但要求出合成波在空間某一質(zhì)元的合振幅及位相也是十分復(fù)雜的，本文不再論述。

2 量子態(tài)的疊加原理

在量子力學(xué)中，因?yàn)槿魏螌?shí)物體都具有波粒二象性，粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)具有確定值，這將使得它們沒(méi)有確定的運(yùn)動(dòng)軌跡，所以必須用波函數(shù)來(lái)描寫(xiě)體系的狀態(tài)，這與經(jīng)典體系的狀態(tài)由坐標(biāo)和動(dòng)量來(lái)描寫(xiě)是完全不同的，波函數(shù)統(tǒng)一地描述了體系的粒子性和波動(dòng)性。雖然量子態(tài)具有與經(jīng)典物理態(tài)所不具備的一些典型特性，如相干性、糾纏性及不可克隆性等，但是，所有的事實(shí)都表明量子態(tài)也可以疊加。對(duì)于一個(gè)量子體系，如果ψ1，ψ2，…，ψn，…為體系的可能狀態(tài)（簡(jiǎn)稱為可能態(tài)），那么它們的線性疊加

仍為該體系的一個(gè)可能態(tài)，式中Cn為任意常數(shù)。這就是量子力學(xué)中的態(tài)疊加原理[9]。

在坐標(biāo)表象中，波函數(shù)是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)ψ(rˉ,t)，因此，就物理上來(lái)說(shuō)，量子態(tài)疊加原理通常包含兩種不同的含意：第一種含意是指某一固定時(shí)刻的疊加。從波動(dòng)觀點(diǎn)來(lái)看，這是不言而喻的。因?yàn)閷?duì)于某個(gè)固定時(shí)刻，所謂可能態(tài)實(shí)際上是一個(gè)可以任意給定的初始條件，此時(shí)，（21）式只是表明幾個(gè)函數(shù)的相加等于另一個(gè)函數(shù)，并無(wú)物理概念。不過(guò)，就經(jīng)典觀念而言，人們就無(wú)法理解（21）式所表達(dá)的是一幅什么樣的物理圖像，例如，將一段粉筆放在講臺(tái)上和拋在空中這兩種可能狀態(tài)的疊加，我們就無(wú)法知道疊加出一個(gè)什么樣的狀態(tài)。事實(shí)上，薛定諤（Shordinger）在1935年就提出了一個(gè)佯謬——薛定諤貓，其核心問(wèn)題就是一只貓能否處于活態(tài)（貓活著時(shí)的狀態(tài)）與死態(tài)（貓死了時(shí)的狀態(tài)）的疊加態(tài)，這個(gè)問(wèn)題牽涉到微觀與宏觀及態(tài)的測(cè)量問(wèn)題，歷史上有許多學(xué)者對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了討論和實(shí)驗(yàn)研究，時(shí)至今日仍然還有少數(shù)學(xué)者在研究薛定諤貓的問(wèn)題。第二種含意是指隨時(shí)間的變化的疊加。此時(shí)，（21）式實(shí)際上為

這里的ψ1(r→,t)，ψ2(r→,t)，…ψn(r→,t)，…及ψ(r→,t)是指一系列可以實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)，也就是滿足薛定諤方程的可能的運(yùn)動(dòng)，這就要求薛定諤方程必須是線性方程，因?yàn)橹挥芯€性方程，其解才具有疊加特性。

（22）式在形式上雖然十分簡(jiǎn)潔，但它所蘊(yùn)含的物理信息卻非常豐富又深?yuàn)W。下面的分析將使我們看到，量子態(tài)的疊加是相干疊加，而且每一個(gè)量子態(tài)的所有物理特性都將保持相對(duì)獨(dú)立性。

3 經(jīng)典波疊加與量子態(tài)疊加的本質(zhì)區(qū)別

為了更加清楚地看出經(jīng)典機(jī)械波疊加與量子態(tài)疊加的本質(zhì)區(qū)別，我們首先來(lái)比較一下經(jīng)典機(jī)械波與量子物理學(xué)中物質(zhì)波的區(qū)別。前面已經(jīng)提到機(jī)械波是質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)或物理量的振動(dòng)在介質(zhì)中的傳播，這是一種物理存在，介質(zhì)中的任一質(zhì)元在任意時(shí)刻的狀態(tài)都可以由坐標(biāo)和動(dòng)量來(lái)描寫(xiě)。而量子態(tài)是由波函數(shù)ψ來(lái)描寫(xiě)的，波函數(shù)統(tǒng)一地描寫(xiě)了實(shí)物體的粒子性和波動(dòng)性，根據(jù)物理學(xué)家波恩（Born）的解釋，它是一種概率幅，波函數(shù)的模的平方（即|ψ|2）表示粒子在空間某點(diǎn)附近單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率，因此物質(zhì)波是一種概率波。這種概率波既不同于經(jīng)典物理學(xué)中的機(jī)械波，也不同于大家熟悉的電磁波。我們知道粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)是一個(gè)必然事件，所以粒子在空間某點(diǎn)附近出現(xiàn)的概率具有相對(duì)性，因此如果把波函數(shù)乘以任意常數(shù)C，這并不改變?cè)摬ê瘮?shù)所描寫(xiě)的量子態(tài)的物理本質(zhì)，即ψ與Cψ描寫(xiě)的是同一量子態(tài)。對(duì)于機(jī)械波，情況就不一樣了，若在（1）式右邊乘以常數(shù)C，它將表示完全不同的另一機(jī)械波了，因?yàn)闄C(jī)械波是物體振動(dòng)狀態(tài)在媒質(zhì)中的傳播，這會(huì)改變振動(dòng)物體的振幅，而振幅是描寫(xiě)機(jī)械振動(dòng)的重要物理量。

現(xiàn)在具體分析量子態(tài)疊加原理。眾所周知，測(cè)量是進(jìn)行物理學(xué)研究的重要手段之一，如果我們要對(duì)量子體系進(jìn)行態(tài)和力學(xué)量的測(cè)量，由（22）式可知，在任意時(shí)刻是無(wú)法確定體系到底處于哪個(gè)狀態(tài)的，不過(guò)，我們可以確定體系處于各個(gè)狀態(tài)的概率，它們分別為，…,這就是說(shuō)對(duì)于一個(gè)量子體系，它處于各個(gè)狀態(tài)都具有一定的可能性。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，考慮某一量子體系具有兩個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)，分別為

由（23）式及（24）式可知，兩個(gè)量子態(tài)疊加以后，各個(gè)量子態(tài)所對(duì)應(yīng)的能量值依然分別存在于疊加態(tài)中。依據(jù)量子力學(xué)中的力學(xué)量測(cè)量理論，如果要對(duì)處于態(tài)ψ(r,t)的體系進(jìn)行能量測(cè)量，則有可能測(cè)得的能量為 1E，也有可能測(cè)得的能量為 2E，并且測(cè)得能量值為E1的概率為|C1|2，測(cè)得能量值為E2的概率為|C2|2，除此之外的任何能量值都是不可能測(cè)得到的。不僅如此，若要對(duì)處于ψ(r→,t)態(tài)的體系的動(dòng)量、角動(dòng)量等物理量進(jìn)行測(cè)量，也將只有可能測(cè)得態(tài)ψ1(r→,t)及ψ2(r→,t)分別對(duì)應(yīng)的動(dòng)量和角動(dòng)量。例如測(cè)量體系的動(dòng)量，只需要將波函數(shù)ψ(→r,t)按照動(dòng)量算符的本征態(tài)展開(kāi)，即

其中C(p→,t)為展開(kāi)系數(shù)，ψp(→r)為動(dòng)量算符在坐標(biāo)表象中的本征態(tài)，它們分別為

就可以得到測(cè)得動(dòng)量的可能值，測(cè)得各可能值的概率為對(duì)應(yīng)的各展開(kāi)系數(shù)的模的平方。對(duì)于兩個(gè)以上量子態(tài)的疊加，可以同理討論。而對(duì)于機(jī)械波，無(wú)論是相干波還是非相干波的疊加，情況就完全不同了，合成波的能量、動(dòng)量等在任意時(shí)刻都具有確定的數(shù)值，不可能出現(xiàn)多個(gè)可能值的情形[10]。

4 結(jié)束語(yǔ)

經(jīng)典物理學(xué)中，無(wú)論是機(jī)械波還是電磁波，它們都是物質(zhì)世界中物質(zhì)存在的一種形式，兩列或兩列以上的機(jī)械波或電磁波疊加后雖然可以保持其波長(zhǎng)、頻率、振動(dòng)方向、波的傳播方向等不變，但是疊加后的合成波已經(jīng)是一種全新的物理存在，在任意時(shí)刻都具有確定的能量、動(dòng)量等。而在量子世界里，量子態(tài)蘊(yùn)含了概率的信息，實(shí)物體的波動(dòng)性表現(xiàn)為概率波，在本質(zhì)上不同于機(jī)械波和電磁波，正是這種統(tǒng)計(jì)特性帶來(lái)了對(duì)物理量測(cè)量的不確定性[11]。根據(jù)上面的分析討論，多個(gè)量子態(tài)疊加以后，各個(gè)量子態(tài)在疊加前的全部物理信息都將保留在疊加態(tài)中。鑒于此，我們也可以將該結(jié)論稱之為量子態(tài)疊加的獨(dú)立性原理。我們知道，波長(zhǎng)、頻率是描述波動(dòng)性的物理量，能量、動(dòng)量是描述粒子性的物理量。經(jīng)典波的疊加中，描述波動(dòng)性的物理量在兩列或兩列以上的波疊加后將保持不變，而在量子態(tài)疊加中，描述粒子性的物理量在兩個(gè)或兩個(gè)以上的量子態(tài)疊加后將保持不變，根據(jù)德布洛意關(guān)系，這是不言而喻的。

另一方面，由（24）式可知，量子態(tài)的疊加一定是相干疊加，這是由量子態(tài)本身的特性決定的，這種相干疊加在物理上不需要滿足任何特定的條件。而經(jīng)典波的疊加則不一樣，只有滿足某些特定的物理?xiàng)l件（如頻率相同、振動(dòng)方向相同、位相差恒定）的兩列波才能形成相干疊加。