張建超，牛興華*，孟意兵，于紫昭，王學(xué)騰

（天津理工大學(xué)a.天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，b.機(jī)電工程國家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，天津300384）

早在20世紀(jì)40年代，MARTELLOTTI[1-2]通過具體的實(shí)驗(yàn)與分析，給出了關(guān)于銑刀切削刃軌跡的明確描述，銑削加工過程中刀具切削刃的軌跡是次擺線，而不是圓弧線，并且推導(dǎo)出了準(zhǔn)確的軌跡方程。目前，刀具切削刃真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡也越來越多地被考慮到銑削過程中。賀小東等[3]通過計(jì)算銑刀切削刃的真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡即次擺線運(yùn)動(dòng)軌跡，推導(dǎo)出未變形切削厚度計(jì)算的超越方程。通過對(duì)該超越方程的數(shù)值求解，得到了準(zhǔn)確的未變形切削厚度。聶強(qiáng)等[4]通過研究刀具真實(shí)切削運(yùn)動(dòng)過程中的次擺線軌跡及其影響，提出一種新的瞬時(shí)切厚解析計(jì)算方法，并針對(duì)兩齒和四齒的情況給出瞬時(shí)切厚的具體計(jì)算公式。竇煒等[5]利用刀具切削刃真實(shí)軌跡即次擺線，處于切削狀態(tài)的刀刃與前一齒尖所經(jīng)過的擺線運(yùn)動(dòng)軌跡相交，以其方位角與前一刀齒過同一交點(diǎn)時(shí)的方位角之差為輔助變量，建立了滿足銑屑形成條件的運(yùn)動(dòng)學(xué)超越方程。MONTGOMER等[6]和ALTINTAS等[7]基于切削刃真實(shí)軌跡建立了動(dòng)態(tài)銑削模型并應(yīng)用于周銑過程中，以此來確定顫振對(duì)工件表面的影響。

對(duì)于真實(shí)軌跡的研究，多數(shù)學(xué)者集中在利用真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡去研究切削厚度和利用有限元仿真去研究銑削力、銑削溫度的變化規(guī)律，而對(duì)于真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡下的銑削工件表面形貌的研究很少涉及。

零件表面形貌對(duì)于零件的表面質(zhì)量以及零件的使用性能有很大的影響，很多學(xué)者對(duì)于機(jī)械加工中的表面形貌進(jìn)行了大量的研究。OMAR等[8]研究了平頭銑刀端銑削系統(tǒng)，通過Z-map法描繪出了工件表面輪廓，并獲得了不同的主軸旋轉(zhuǎn)狀況下，零件表面形貌的變化情況。CHEN[9]在考慮切削參數(shù)的基礎(chǔ)上，利用切削刃掃掠軌跡與工件求交，獲得殘留高度來預(yù)測(cè)表面形貌，同時(shí)又分析了加工過程中的動(dòng)態(tài)特性。MIZUGAKI[10]針對(duì)不同姿態(tài)下的球頭銑刀，對(duì)切削刃上的點(diǎn)進(jìn)行了數(shù)學(xué)描述，并根據(jù)加工中刀具的運(yùn)動(dòng)，給出了工件表面形貌的解析方程，并進(jìn)行了求解。

對(duì)工件表面形貌的研究，多數(shù)集中在研究?jī)尚械盾壷g的行間殘留，而對(duì)銑刀回轉(zhuǎn)表面上間斷分布切削刃所形成的沿進(jìn)給方向的扇形殘留的研究極少。

本文在考慮銑刀切削刃真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡的同時(shí)，對(duì)考慮間斷分布切削刃的扇形殘留展開研究。

1 銑刀切削刃真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡

1.1 擺線及次擺線

1.1.1 關(guān)于擺線及次擺線

擺線一般是指一個(gè)基圓沿直線作無滑動(dòng)的滾動(dòng)時(shí)，基圓上一定點(diǎn)所形成的軌跡。次擺線包括長(zhǎng)幅擺線和短幅擺線。長(zhǎng)幅擺線是指基圓外一定點(diǎn)的軌跡，短幅擺線是指基圓內(nèi)一定點(diǎn)的軌跡。

擺線和次擺線軌跡的形成如圖1所示。其中X軸為與基線平行且過基圓圓心，R為基圓半徑，r為某一定點(diǎn)與基圓圓心之間的距離。當(dāng)r=R時(shí)，軌跡為擺線；當(dāng)r>R時(shí)，軌跡為長(zhǎng)幅擺線；當(dāng)r

圖1 擺線和次擺線軌跡的形成Fig.1 Formation of cycloid and trochoidal trajectory

1.1.2 擺線及次擺線的參數(shù)方程

將曲線表示為如下參數(shù)形式

可進(jìn)一步得到

分別將式（1）和式（2）代入式（6）中，可得出擺線及次擺線的曲率。

擺線曲率K1為：

由擺線曲率的公式可以看出，隨著R的增大，擺線的曲率逐漸減小。

1.2 銑刀切削刃的真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡

1.2.1 切削刃運(yùn)動(dòng)軌跡參數(shù)方程

銑刀在實(shí)際銑削加工時(shí)，刀具的運(yùn)動(dòng)包括繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和進(jìn)給方向的平動(dòng)，切削刃運(yùn)動(dòng)軌跡為次擺線。擺線的基圓半徑為[11]：

2）逆銑時(shí)次擺線運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率。當(dāng)逆銑即運(yùn)動(dòng)軌跡的轉(zhuǎn)角為φ=（2n+1）π（n=0，1，2，…）時(shí)，長(zhǎng)幅擺線的曲率K為：

將式（11）與式（12）進(jìn)行比較可知，順銑時(shí)的曲率大于逆銑時(shí)的曲率。

3）順、逆銑的扇形殘留分析。次擺線運(yùn)動(dòng)軌跡及順、逆銑如圖3所示，由于順銑時(shí)的曲率大于逆銑時(shí)的曲率，因而順銑時(shí)工件表面的扇形殘留高度大于逆銑時(shí)工件表面的扇形殘留高度。

圖3 次擺線運(yùn)動(dòng)軌跡及順、逆銑Fig.3 Cycloid motion trajectory and up and down milling

2 立銑刀側(cè)銑表面數(shù)學(xué)建模

2.1 立銑刀刀具曲面數(shù)學(xué)模型

立銑刀曲面模型如圖4所示，建立與刀具固結(jié)的刀具坐標(biāo)系σ0（O0-X0Y0Z0），其中Z0軸為沿著刀具主軸軸線方向。θ為刀具曲面上任意一點(diǎn)P在X0O0Y0平面內(nèi)與X0軸夾角，RT為刀具半徑。建立立銑刀的刀具曲面參數(shù)方程為：

圖4 立銑刀曲面模型Fig.4 Surface model of end mill

2.2 立銑刀切削刃數(shù)學(xué)模型

立銑刀切削刃模型如圖5所示，P′為切削刃上一點(diǎn)，P′在X0O0Y0平面內(nèi)的投影與X0軸夾角為θ，刀具螺旋角為β，建立刀具坐標(biāo)系下的切削刃曲線參數(shù)方程為[12]：

圖5 立銑刀切削刃模型Fig.5 Cutting edge model of end milling cutter

立銑刀的其他切削刃可看成是由第1個(gè)切削刃旋轉(zhuǎn)一定角度后形成的，多條切削刃的立銑刀參數(shù)方程為：

式中，Z為切削刃數(shù)，j為第j條切削刃，其中j∈[1，Z]。

3 立銑刀側(cè)銑工件表面形貌

3.1 扇形殘留

3.1.1 不考慮切削刃時(shí)立銑刀側(cè)銑表面

當(dāng)對(duì)立銑刀側(cè)銑表面研究不考慮刀具切削刃時(shí)，立銑刀的銑削部分是以圓柱面的形式運(yùn)動(dòng)。銑削運(yùn)動(dòng)過后所形成的加工表面是一個(gè)光滑的平面。圖6為不考慮刀具切削刃的側(cè)銑工件表面仿真結(jié)果。

圖6 不考慮刀具切削刃的側(cè)銑工件表面仿真結(jié)果Fig.6 Surface simulation results of the side milling workpiece without the cutting edge of the end milling cutter

3.1.2 考慮間斷分布切削刃的側(cè)銑表面形貌

實(shí)際銑削加工過程中，刀具存在間斷分布的切削刃，銑刀切削刃真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡為次擺線。

由于立銑刀的切削刃在回轉(zhuǎn)表面存在間斷分布，從而在刀具沿進(jìn)給方向會(huì)有一部分材料未被刀具切削刃切除掉，從而殘留在工件表面上，稱為扇形殘留。圖7為考慮刀具切削刃的側(cè)銑工件表面仿真結(jié)果。

圖7 考慮刀具切削刃的側(cè)銑工件表面仿真結(jié)果Fig.7 Surface simulation results of the side milling workpiece with the cutting edge of the end milling cutter

由立銑刀的真實(shí)加工軌跡為次擺線軌跡，可推導(dǎo)出扇形殘留高度h。圖8為立銑刀切削刃次擺線運(yùn)動(dòng)軌跡，切削刃1和切削刃2中每相鄰的兩個(gè)最低點(diǎn)間的距離即每齒進(jìn)給量fz，圖8中點(diǎn)M的高度即為扇形殘留高度h。當(dāng)?shù)毒咔邢魅袛?shù)為兩個(gè)時(shí)，M點(diǎn)位于1/2每齒進(jìn)給量處，代入公式（10）可得公式為：

圖8 立銑刀切削刃次擺線運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.8 Trajectory of trochoidal motion of the cutting edge of the end milling cutter

式中，RT為刀具半徑，φ為刀具轉(zhuǎn)角。

從而可得扇形殘留高度的公式為：

3.2 仿真算法

仿真計(jì)算算法采用Z-map法[13]，假設(shè)工件不動(dòng)，由刀具完成進(jìn)給運(yùn)動(dòng)形成工件表面。

由于MATLAB編程計(jì)算的要求，統(tǒng)一將立銑刀的切削刃參數(shù)方程寫成齊次坐標(biāo)矩陣形式為：

設(shè)刀具繞Z軸旋轉(zhuǎn)角度為φ，沿X、Y、Z方向進(jìn)給速度分別為vx、vy、vz，分別與進(jìn)給時(shí)間相乘，即為3個(gè)坐標(biāo)方向的位移分量，旋轉(zhuǎn)變換矩陣表示為：

矩陣Q乘切削刃矩陣后得到切削整體坐標(biāo)，再與加工前工件整體坐標(biāo)進(jìn)行布爾運(yùn)算后，就可以得到加工后的工件表面形貌。

仿真計(jì)算中，首先在MATLAB軟件中建立網(wǎng)格模型，將工件的表面劃分為x×z個(gè)網(wǎng)格，根據(jù)仿真工件的大小和精度要求選取x和z。Y1表示為刀具離散點(diǎn)的y值，Y2表示工件高度的y值。然后將工件高度Y2賦予一個(gè)初值，本文初值為加工余量0.2 mm。根據(jù)精度要求將切削刃離散成若干個(gè)微元，由式（18）和式（19）計(jì)算出刀具離散點(diǎn)的值。最后與工件高度值比較，若Y1

圖9 仿真計(jì)算算法流程圖Fig.9 Flow chart of simulation calculation algorithm

3.3 扇形殘留仿真研究

應(yīng)用MATLAB軟件仿真研究時(shí)，通過改變銑刀半徑和銑刀切削刃數(shù)來觀察表面形貌中扇形殘留的變化。

3.3.1 銑刀半徑對(duì)扇形殘留的影響

仿真試驗(yàn)銑刀參數(shù)如表1所示。立銑刀半徑對(duì)扇形殘留的影響如圖10所示，其中圖10的（a）、（b）和（c）分別對(duì)應(yīng)于表1中的第1組、第2組和第3組的各項(xiàng)數(shù)據(jù)。

圖10 立銑刀半徑對(duì)扇形殘留的影響Fig.10 Influence of end milling cutter radius on fan-shaped residue

表1 仿真試驗(yàn)銑刀參數(shù)Tab.1 Milling cutter parameters for simulation test

通過改變銑刀半徑來觀察表面形貌中扇形殘留高度的變化。當(dāng)其他量保持不變，只改變立銑刀半徑時(shí)，可得到立銑刀半徑與扇形殘留高度的關(guān)系，如圖11所示。

由圖11可分析出，隨著立銑刀半徑的增大扇形殘留高度逐漸減小。

圖11 立銑刀半徑與扇形殘留高度的關(guān)系Fig.11 Relationship between the radius of the end milling cutter and the fan-shaped residual height

3.3.2 銑刀切削刃數(shù)對(duì)扇形殘留的影響

仿真試驗(yàn)銑刀參數(shù)如表2所示。立銑刀切削刃數(shù)對(duì)扇形殘留的影響如圖12所示，其中圖12的（a）、（b）和（c）分別對(duì)應(yīng)于表2中的第1組、第2組和第3組的各項(xiàng)數(shù)據(jù)。

圖12 立銑刀切削刃數(shù)對(duì)扇形殘留的影響Fig.12 Influence of cutting edge number of end milling cutter on fan-shaped residue

表2 仿真試驗(yàn)銑刀參數(shù)Tab.2 Milling cutter parameters for simulation test

通過改變銑刀切削刃數(shù)來觀察表面形貌中扇形殘留高度的變化。當(dāng)其他量保持不變，只改變立銑刀切削刃數(shù)時(shí)，可得到立銑刀切削刃數(shù)與扇形殘留高度的關(guān)系，如圖13所示。

由圖13中關(guān)系可分析出，隨著立銑刀切削刃數(shù)的增加扇形殘留高度逐漸減小。

圖13 立銑刀切削刃數(shù)與扇形殘留高度的關(guān)系Fig.13 Relationship between the cutting edge number of end milling cutter and the fan-shaped residual height

4 結(jié)論

本文首先提出了刀具切削刃在銑削中的真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡，建立了立銑刀回轉(zhuǎn)曲面方程和切削刃方程。然后研究了考慮立銑刀切削刃的真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡的工件表面成形算法，比較了真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡下順銑與逆銑的曲率大小。接著給出了一種求解扇形殘留高度的求解方法。最后通過使用MATLAB仿真軟件改變立銑刀半徑和立銑刀切削刃數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。由仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出如下結(jié)論。

1）順銑時(shí)的曲率大于逆銑時(shí)的曲率，因而順銑時(shí)工件表面的扇形殘留高度大于逆銑時(shí)工件表面的扇形殘留高度。

2）當(dāng)立銑刀其他參數(shù)不變，改變立銑刀半徑的大小時(shí)，隨著立銑刀半徑的增大扇形殘留高度逐漸減小。

3）當(dāng)立銑刀其他參數(shù)不變，改變立銑刀的切削刃數(shù)時(shí)，隨著立銑刀切削刃數(shù)的增加扇形殘留高度逐漸減小。

因此，在實(shí)際的銑削加工中采用多刃半徑大的刀具會(huì)極大地改善銑削表面質(zhì)量。諸上研究對(duì)零件表面質(zhì)量的研究具有積極意義。