胡明明，譚述君,2，周如好，何 驍

(1.大連理工大學(xué) 航空航天學(xué)院，遼寧 大連 116023；2.遼寧省空天飛行器前沿技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116023；3.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109)

隨著科技的不斷發(fā)展，空間技術(shù)是每一個(gè)大國(guó)爭(zhēng)相發(fā)展的技術(shù)。而運(yùn)載火箭是人類進(jìn)入空間的最主要手段[1]?？疾靽?guó)內(nèi)外同類捆綁火箭,如大力神-ⅢC[2]、土星V[3]、航天飛機(jī)[4]、阿里安-4[5],CZ-2E[6]、長(zhǎng)征五號(hào)[7]等，可以看出隨著火箭的大型化、長(zhǎng)助推化發(fā)展，捆綁火箭彎、扭、縱耦合嚴(yán)重，形成十分復(fù)雜的模態(tài)族[8]。同時(shí)，運(yùn)載火箭在飛行過(guò)程中隨著燃料的消耗，彈性模態(tài)也不斷變化，甚至?xí)霈F(xiàn)模態(tài)跳躍和消失的現(xiàn)象[9]，從而給運(yùn)載火箭動(dòng)力學(xué)建模和控制帶來(lái)極大的困難。因此提出大型捆綁火箭有效的模態(tài)篩選和對(duì)齊方法是非常必要的。

常用的模態(tài)篩選方法有模態(tài)有效質(zhì)量法[10]和能量分?jǐn)?shù)法[11]等等。Chung等[11]還提出了模態(tài)有效質(zhì)量和能量分?jǐn)?shù)相結(jié)合的方法，以便將整體和局部模態(tài)都包括在內(nèi)。模態(tài)百分比法[12]則是在所考慮的激勵(lì)頻率范圍內(nèi)量化模態(tài)相對(duì)重要性的方法[13]。Mercer等[14]對(duì)以上方法作了對(duì)比評(píng)估，并分析了其工程價(jià)值。傳統(tǒng)的運(yùn)載火箭模態(tài)篩選方法一般僅利用頭部單點(diǎn)的模態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行模態(tài)篩選。運(yùn)載火箭則提出了平方根位移法}，該方法易于受到特定位置或特定點(diǎn)選取的影響。對(duì)于捆綁火箭的復(fù)雜模態(tài)，單純利用某一點(diǎn)或特定位置的振型數(shù)據(jù)已很難區(qū)分，因此有必要利用全箭振型數(shù)據(jù)進(jìn)行模態(tài)篩選。吳勝寶等[16]公布了一種大型液體捆綁火箭復(fù)雜模態(tài)辨識(shí)方法。王勇[17]提出一種基于火箭芯級(jí)振型數(shù)據(jù)的模態(tài)篩選方法，提高了模態(tài)篩選的正確性，然而對(duì)某些助推器局部模態(tài)未能很好的篩選出來(lái)，并且該方法在歸一化操作中沒(méi)有區(qū)分振型數(shù)據(jù)的橫向位移和角位移量綱的不同。

傳統(tǒng)的模態(tài)對(duì)齊方法一般是按照頻率的大小進(jìn)行對(duì)齊，如鄧舞燕[18]提出的模態(tài)對(duì)齊思路，然而從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)模態(tài)對(duì)齊應(yīng)該是模態(tài)形狀的對(duì)齊，而模態(tài)形狀和模態(tài)頻率之間并沒(méi)有必然的聯(lián)系。Allemang等[19]提出了一種基于模態(tài)置信度準(zhǔn)則(MAC)的模態(tài)快速自動(dòng)排列技術(shù)。該方法使用了模態(tài)振型數(shù)據(jù)，提高了模態(tài)對(duì)齊的準(zhǔn)確性，但是模態(tài)置信度準(zhǔn)則只是按照相似度值來(lái)對(duì)齊，可能導(dǎo)致不同的模態(tài)類型的對(duì)齊，并且還可能導(dǎo)致出現(xiàn)某一階次同時(shí)和好幾個(gè)階次對(duì)齊的問(wèn)題。

本文充分利用芯級(jí)和助推器的振型數(shù)據(jù)，改進(jìn)了模態(tài)振型數(shù)據(jù)的歸一化方式，提出了彎曲模態(tài)、扭轉(zhuǎn)模態(tài)、縱振模態(tài)及局部模態(tài)等的模態(tài)篩選系數(shù)公式。并改進(jìn)了基于振型數(shù)據(jù)的模態(tài)置信度準(zhǔn)則的對(duì)齊方法，從而實(shí)現(xiàn)大型捆綁運(yùn)載火箭的模態(tài)篩選和對(duì)齊。最后，在某型號(hào)運(yùn)載火箭時(shí)變動(dòng)力學(xué)模型上進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

1 傳統(tǒng)的火箭模態(tài)篩選方法

傳統(tǒng)火箭長(zhǎng)細(xì)比較小，模態(tài)類型較為簡(jiǎn)單，并且縱橫扭耦合不嚴(yán)重，因此一般通過(guò)頭部點(diǎn)(一般是火箭的理論尖點(diǎn))振型數(shù)據(jù)來(lái)判斷模態(tài)類型。例如某工業(yè)部門進(jìn)行某構(gòu)型火箭姿控系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)曾使用一種單點(diǎn)法的模態(tài)篩選方法[17]。該方法首先取該時(shí)刻各模態(tài)頭部點(diǎn)(一般是火箭的理論尖點(diǎn))振型數(shù)據(jù)的6個(gè)分量值[UXUYUZRXRYRZ]T，按照最大值歸一化。然后計(jì)算模態(tài)分量UY/UZ，RX，UX的值進(jìn)行模態(tài)篩選，結(jié)果如下：

(1)UY/UZ=1時(shí)，為45°(或-13.5° )方向的彎曲模態(tài)。

(2)UY/UZ=-1時(shí)，為45°(或135° )方向的彎曲模態(tài)。

(3)RX=1時(shí)，為扭轉(zhuǎn)模態(tài)。

(4)UX=1時(shí)，為局部模態(tài)。

該技術(shù)經(jīng)過(guò)仿真驗(yàn)證，對(duì)于傳統(tǒng)火箭具有很好的可行性和工程價(jià)值。但其僅利用頭部點(diǎn)振型數(shù)據(jù)對(duì)模態(tài)進(jìn)行篩選，沒(méi)有充分利用模態(tài)振型數(shù)據(jù)，因此，對(duì)大型捆綁火箭的復(fù)雜模態(tài)形狀的判別不夠準(zhǔn)確，本文將發(fā)展基于全箭振型數(shù)據(jù)的模態(tài)篩選方法。

2 基于全箭振型數(shù)據(jù)的模態(tài)篩選方法

大型捆綁運(yùn)載火箭長(zhǎng)細(xì)比較大，縱橫扭耦合嚴(yán)重，導(dǎo)致其模態(tài)十分復(fù)雜。并且火箭的模態(tài)類型是由火箭整體模態(tài)振型數(shù)據(jù)來(lái)體現(xiàn)的，僅僅使用模態(tài)頭部點(diǎn)是不夠的。本節(jié)在王勇的基礎(chǔ)上，首先充分利用芯級(jí)和助推器振型數(shù)據(jù)提出了模態(tài)類型的精細(xì)化定義，然后對(duì)模態(tài)振型數(shù)據(jù)歸一化方式和彎曲、扭轉(zhuǎn)、縱振的篩選系數(shù)公式做出了改進(jìn)，從而建立了適應(yīng)大型捆綁火箭的新的模態(tài)篩選方法。

2.1 模態(tài)類型的定義

對(duì)于大型捆綁火箭，助推器的長(zhǎng)細(xì)比也越來(lái)越大，導(dǎo)致助推器的模態(tài)振型成為構(gòu)成整個(gè)箭體模態(tài)振型的重要組成部分，不宜忽略。因此，利用芯級(jí)和助推器振型數(shù)據(jù)分別對(duì)芯級(jí)和助推器進(jìn)行模態(tài)篩選，得到的模態(tài)篩選結(jié)果如下表 1所示。這樣的分類可以很好的將捆綁火箭的整體振型特征和耦合模態(tài)描述出來(lái)。其中XJ表示芯級(jí),ZT表示助推器，XJ彎ZT彎表示芯級(jí)是彎曲模態(tài)且助推器是彎曲模態(tài)，以此類比。

表1 模態(tài)類型組合Tab.1 Combination of modal types

2.2 振型數(shù)據(jù)歸一化處理

分別對(duì)芯級(jí)和助推器進(jìn)行振型數(shù)據(jù)歸一化處理，令其全部站點(diǎn)x，y，z的歸一化位移平方和為：

(1)

令全部站點(diǎn)y橫向的歸一化位移平方和為：

(2)

令全部站點(diǎn)x，y，z的歸一化轉(zhuǎn)角平方和為：

(3)

令全部站點(diǎn)x的歸一化轉(zhuǎn)角平方和為：

(4)

同理Siz、Six、Siry和Sirz也是類似定義。

2.3 模態(tài)類型的表征

對(duì)于彎曲模態(tài)來(lái)說(shuō)，其y方向和z方向的模態(tài)位移較大，因此彎曲模態(tài)的表征系數(shù)如下：

(5)

對(duì)于縱振模態(tài)來(lái)說(shuō)，其x方向的模態(tài)位移較大，故縱振模態(tài)的表征系數(shù)如下：

(6)

而對(duì)于扭轉(zhuǎn)模態(tài)來(lái)說(shuō)，其繞x方向的轉(zhuǎn)角位移較大，由此，扭轉(zhuǎn)模態(tài)的篩選公式使用轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)。扭轉(zhuǎn)模態(tài)表征系數(shù)如下：

(7)

同時(shí)，對(duì)于彎曲模態(tài)來(lái)說(shuō)，其繞y和z軸的轉(zhuǎn)角位移較大，因此也可以采用轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，公式如下：

(8)

此時(shí)，若為彎曲模態(tài)，則由轉(zhuǎn)角計(jì)算出的ηr也是接近于1。

對(duì)于彎曲模態(tài)，進(jìn)一步可以將其分為俯仰和偏航。其中俯仰或偏航模態(tài)類型表征系數(shù)計(jì)算公式如下：

(9)

其中當(dāng)ξ>1時(shí)，為俯仰模態(tài)，反之為偏航模態(tài)。

根據(jù)計(jì)算出的模態(tài)類型表征系數(shù)，找出最大值，那么該最大值所屬的模態(tài)類型即為當(dāng)前階次的模態(tài)類型。

最后對(duì)于局部模態(tài)的判斷，引入一個(gè)比重系數(shù)λ，定義如下：

λ1是芯級(jí)比重的系數(shù)，由芯級(jí)所有數(shù)據(jù)平方和平均后，再開(kāi)根號(hào)。n1為芯級(jí)站點(diǎn)個(gè)數(shù)，Si,xj是芯級(jí)所有站點(diǎn)位移平方加和，表達(dá)式為

(10)

(11)

λ2是助推器比重系數(shù)，Si,zt是助推器所有站點(diǎn)位移平方加和，其定義也是類似Si,xj，n2是助推器個(gè)數(shù)，同理：

(12)

(13)

當(dāng)λ≥100%時(shí)，表示芯級(jí)變形為主；反之助推器變形為主。此時(shí)助推器的數(shù)據(jù)，按照一個(gè)助推器或者多個(gè)，對(duì)于芯級(jí)比重判別幾乎沒(méi)有影響。

3 不同秒點(diǎn)的模態(tài)對(duì)齊方法

(14)

MAC值介于之間，MAC值越大，模態(tài)越相似。模態(tài)置信度與模態(tài)本身幅值大小無(wú)關(guān)，只與模態(tài)本身形狀有關(guān)，因此不受模態(tài)歸一化方式的影響。

然而，由于大型捆綁運(yùn)載火箭模態(tài)振型的復(fù)雜性，僅利用模態(tài)置信度準(zhǔn)則可能導(dǎo)致不同的模態(tài)類型進(jìn)行了對(duì)齊，并且還有可能導(dǎo)致某一階次重復(fù)性對(duì)齊，使得模態(tài)數(shù)據(jù)難以對(duì)齊。對(duì)此，本文先進(jìn)行模態(tài)篩選，然后結(jié)合模態(tài)篩選結(jié)果，利用模態(tài)置信度準(zhǔn)則完成不同秒點(diǎn)的對(duì)齊。具體步驟如下：①對(duì)所有秒點(diǎn)進(jìn)行模態(tài)篩選，按模態(tài)類型進(jìn)行分類；②對(duì)于每一類型模態(tài)的集合，分別利用MAC準(zhǔn)則去下一個(gè)秒點(diǎn)的對(duì)應(yīng)類型的模態(tài)集合里進(jìn)行對(duì)齊；③將已對(duì)齊的階次進(jìn)行跳過(guò)，得到該模態(tài)類型的所有對(duì)齊的結(jié)果；④將遺漏的階次去下一個(gè)秒點(diǎn)剩下的所有階次里進(jìn)行對(duì)齊，直到所有的階次都對(duì)齊為止。例如第0 s的俯仰彎曲模態(tài)類型，先從下一個(gè)秒點(diǎn)的俯仰彎曲模態(tài)集里找到與其對(duì)齊的階次，最后將第0 s遺漏的未對(duì)齊的階次按照置信度準(zhǔn)則從下一個(gè)秒點(diǎn)剩下的階次中找對(duì)齊即可。

4 仿真驗(yàn)證

采用本文提出的模態(tài)篩選、對(duì)齊方法，利用某型號(hào)大型捆綁火箭模態(tài)振型數(shù)據(jù)，完成了該火箭動(dòng)力學(xué)模型的模態(tài)篩選和對(duì)齊，并與模態(tài)振型圖進(jìn)行對(duì)比，來(lái)驗(yàn)證本文方法的有效性。進(jìn)一步將模態(tài)篩選和對(duì)齊結(jié)果在某型號(hào)捆綁火箭姿態(tài)控制系統(tǒng)模型上進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

4.1 模態(tài)篩選方法的驗(yàn)證

使用某型號(hào)捆綁火箭的模態(tài)振型數(shù)據(jù)進(jìn)行模態(tài)篩選，以該火箭第5 s的振型數(shù)據(jù)為例，其模態(tài)篩選結(jié)果如表 2所示。表中第6列為綜合后的模態(tài)篩選結(jié)果，分別為芯級(jí)變形為主的整體俯仰彎曲、偏航彎曲、扭轉(zhuǎn)和縱振模態(tài)，以及助推變形為主的局部模態(tài)。同時(shí)給出了芯級(jí)、助推器模態(tài)類型及芯級(jí)占全箭比重等信息。表中篩選的俯仰彎曲模態(tài)和偏航彎曲模態(tài)的頻率相互對(duì)應(yīng)，也從側(cè)面驗(yàn)證了篩選結(jié)果的正確性。

為了驗(yàn)證表 2的篩選結(jié)果，將第5 s的前30階模態(tài)振型圖畫出。圖 1分別給出了第1、2、6、12、22、30階的振型圖，可以看出它們分別是偏航彎曲、俯仰彎曲、局部助推彎曲、扭轉(zhuǎn)、縱振和俯仰彎曲模態(tài)，這與表 2篩選結(jié)果一致，驗(yàn)證了本文篩選方法的正確性。值得說(shuō)明的是，圖 1中第30階的俯仰彎曲模態(tài)體現(xiàn)的是火箭頭部局部變形，這一點(diǎn)本文方法并沒(méi)有刻畫出來(lái)。

圖1 部分階次振型圖Fig.1 Partial order mode shape diagram

表2 第5 s時(shí)刻前30階模態(tài)篩選結(jié)果表Tab.2 The first 30 orders results of modal selection at the 5th second

4.2 模態(tài)對(duì)齊方法的驗(yàn)證

將第0 s的模態(tài)篩選結(jié)果，按照彎曲(俯仰彎曲和偏航彎曲)、扭轉(zhuǎn)、縱振、局部模態(tài)依次排列，然后利用本文方法對(duì)后續(xù)秒點(diǎn)進(jìn)行模態(tài)對(duì)齊。限于篇幅，表 3列出了彎曲(5階)、扭轉(zhuǎn)(2階)、縱振(1階)、局部模態(tài)(2階)的對(duì)齊結(jié)果。從表中給出模態(tài)類型可以看出第0 s、第5 s、第35 s的階次完全對(duì)齊，第125 s的對(duì)齊結(jié)果中只有第20階(模態(tài)類型是局部模態(tài))與前面的秒點(diǎn)階次(模態(tài)類型是俯仰彎曲)沒(méi)有對(duì)齊，產(chǎn)生偏差的原因可能是由于時(shí)間間隔過(guò)大，導(dǎo)致沒(méi)有十分匹配的階次與其相對(duì)應(yīng)，這也提示在模態(tài)對(duì)齊時(shí)秒點(diǎn)間隔不能太大。

為驗(yàn)證表 3的對(duì)齊結(jié)果，將不同秒點(diǎn)對(duì)齊結(jié)果的振型圖畫出。限于篇幅，僅給出第0 s的第1階的對(duì)齊結(jié)果圖，如圖2所示。通過(guò)振型圖可以看出，不同秒點(diǎn)的振型圖非常接近，對(duì)齊結(jié)果正確。

圖2 第0 s的第1階的對(duì)齊結(jié)果圖Fig.2 Alignment result of the 1st order of the 0th second

表3 4個(gè)秒點(diǎn)的模態(tài)對(duì)齊結(jié)果表Tab.3 4 seconds modal alignment result table

4.3 姿控系統(tǒng)模型的仿真驗(yàn)證

運(yùn)載火箭在飛行過(guò)程中的燃料消耗導(dǎo)致其模型是時(shí)變的，不同秒點(diǎn)的模態(tài)振型變化較大，同時(shí)隨著火箭柔性的增加，仿真模型中需要保留更高階的模態(tài)。如果模態(tài)篩選、對(duì)齊出現(xiàn)問(wèn)題，將會(huì)導(dǎo)致仿真結(jié)果不合理、甚至發(fā)散終止。因此本文利用上面對(duì)該火箭的模態(tài)篩選、對(duì)齊結(jié)果，建立運(yùn)載火箭的時(shí)變剛-彈姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型，在專業(yè)仿真平臺(tái)進(jìn)行姿控系統(tǒng)的仿真，驗(yàn)證本文模態(tài)篩選、對(duì)齊方法的正確性。圖3～圖4給出了偏航通道姿態(tài)角和姿態(tài)角速度的響應(yīng)曲線。可以看出，在運(yùn)載火箭的整個(gè)飛行段中，雖然模型是時(shí)變的，干擾也是時(shí)變的，但是姿態(tài)角偏差響應(yīng)曲線都在1°范圍之內(nèi)，說(shuō)明所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。在60 s和80 s處出現(xiàn)的明顯波動(dòng)，則是因?yàn)榇颂幨谴箫L(fēng)區(qū)受較大的切變風(fēng)干擾。圖5～圖6給出了對(duì)姿態(tài)穩(wěn)定性影響較大的前兩階彈性振動(dòng)模態(tài)的響應(yīng)曲線，可以看出全箭彈性模態(tài)的波動(dòng)曲線與姿態(tài)響應(yīng)是一致的。上述仿真曲線與傳統(tǒng)上采用手動(dòng)、經(jīng)驗(yàn)方法進(jìn)行模態(tài)篩選和對(duì)齊得到的仿真模型的仿真曲線是一致的，驗(yàn)證了本文提出的模態(tài)篩選、對(duì)齊方法的正確性。

圖3 偏航姿態(tài)角曲線 Fig.3 The yaw attitude angle curve

圖4 偏航姿態(tài)角速度曲線Fig.4 Yaw attitude angular velocity curve

圖5 全箭一階彈性模態(tài)Fig.5 Full Rocket First Order Elastic Mode

圖6 全箭二階彈性模態(tài)Fig.6 Full Rocket Second Order Elastic Mode

5 結(jié) 論

本文利用全箭振型數(shù)據(jù)提出了一種大型捆綁火箭的模態(tài)篩選和對(duì)齊方法，通過(guò)對(duì)芯級(jí)和助推器單獨(dú)進(jìn)行模態(tài)篩選，給出了更準(zhǔn)確的模態(tài)分類，并且定義了一個(gè)判別局部模態(tài)的系數(shù)，將以助推器為主的局部模態(tài)很好的篩選了出來(lái)。后續(xù)通過(guò)模態(tài)對(duì)齊和仿真驗(yàn)證，得到了合理的仿真結(jié)果，進(jìn)一步驗(yàn)證了模態(tài)篩選和對(duì)齊的準(zhǔn)確性，有效的解決了大型捆綁火箭模態(tài)復(fù)雜帶來(lái)的建模問(wèn)題，為后續(xù)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)仿真和姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。