何 雯，趙陳儒，薄涵亮，趙崇巖

(清華大學(xué) 核能與新能源技術(shù)研究院，北京 100084)

由于換熱效率較高，沸騰現(xiàn)象在核反應(yīng)堆中得到了廣泛應(yīng)用，沸騰換熱量的計(jì)算也一直是研究的熱點(diǎn)[1]。在換熱計(jì)算中，廣泛采用RPI模型，該模型將換熱分為蒸發(fā)換熱、瞬態(tài)導(dǎo)熱和對(duì)流換熱3部分。蒸發(fā)換熱是指汽泡從生長(zhǎng)到脫離帶走的熱量，瞬態(tài)導(dǎo)熱是指汽泡脫離壁面后較冷的液體填充汽泡原來的位置重新形成過熱液層帶走的熱量，而對(duì)流換熱則是指由于液體流動(dòng)所造成的換熱[2]。可見，沸騰換熱與汽泡行為息息相關(guān)，研究汽泡動(dòng)力學(xué)參數(shù)對(duì)計(jì)算換熱具有重要的意義。

脫離表示汽泡在核化點(diǎn)生長(zhǎng)到一定大小離開核化點(diǎn)的行為，汽泡脫離直徑即指汽泡離開壁面核化點(diǎn)時(shí)的直徑，該值的大小將直接影響汽泡蒸發(fā)帶走的熱量[3]。目前，研究汽泡脫離直徑的方法主要有3種，即力平衡法、能量平衡法和經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式法，但由于前兩種方法通常較復(fù)雜，且需要的參數(shù)較多，如汽泡周圍速度梯度、汽泡生長(zhǎng)傾斜角，因此通過考慮影響脫離直徑的因素，進(jìn)而通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式的方法被廣泛采納。Basu等[4]和Brooks等[5]通過實(shí)驗(yàn)研究，分析了壁面熱流密度、液體過冷度、質(zhì)量流量和系統(tǒng)壓力對(duì)脫離直徑的影響，最后得到一套綜合考慮這些因素的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式。Du等[6]對(duì)汽泡進(jìn)行受力分析，通過大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)這些力的影響可通過普朗克數(shù)(Pr)、雅克比數(shù)(Jaw)、汽液密度比(ρ*)和汽泡雷諾數(shù)(Reb)反映，因此分別提出了一套適用于水平和豎直管道下的脫離直徑關(guān)系式。Ren等[7]對(duì)窄矩形通道內(nèi)的汽泡脫離直徑進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)與壁面過熱度、液體過冷度、質(zhì)量流量相比，壓力對(duì)脫離直徑的影響可忽略不計(jì)，因此得到的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式僅是雅克比數(shù)和雷諾數(shù)的函數(shù)?？梢?，目前已有較多的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式用于預(yù)測(cè)流動(dòng)沸騰下汽泡脫離直徑的平均值。

然而，沸騰是一非常復(fù)雜的換熱過程，大量實(shí)驗(yàn)表明，在相同工況下，不同核化點(diǎn)的脫離直徑存在區(qū)別，即使同一核化點(diǎn)產(chǎn)生的脫離直徑也會(huì)大小不一，一些大氣泡雖占比較少，但對(duì)于換熱的貢獻(xiàn)不可忽略，因此，僅采用一個(gè)平均值來反映脫離直徑會(huì)對(duì)換熱計(jì)算造成較大的誤差[8-9]。Abdelmessih等[8]研究了液體流速對(duì)汽泡生長(zhǎng)和破滅的影響，然后將同一核化點(diǎn)汽泡尺寸大小不一的原因歸因于液體中的渦流。Klausner等[10]觀察到汽泡脫離直徑呈正態(tài)分布，并認(rèn)為壁面過熱度和汽泡質(zhì)心處液體速度的正態(tài)分布是汽泡直徑呈正態(tài)分布的主要原因。Kaiho等[9]通過實(shí)驗(yàn)得到22組不同工況下的流動(dòng)沸騰汽泡脫離直徑分布，每組分布基于200個(gè)以上的汽泡，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)這些分布的標(biāo)準(zhǔn)差均值是脫離直徑均值的0.51倍，因此認(rèn)為脫離直徑的分布不可忽略，并發(fā)現(xiàn)伽馬分布用于該分布的擬合準(zhǔn)確度更高。Yoo等[11]研究了不同軸向位置的脫離直徑尺寸分布，并分析了壁面過熱度、熱通量、過冷度和質(zhì)量流量對(duì)尺寸分布的影響，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布的擬合準(zhǔn)確度更高。張旺[12]和杜靜宇[13]同樣采用正態(tài)分布，其中杜靜宇通過對(duì)大量數(shù)據(jù)的分析，認(rèn)為脫離直徑分布的標(biāo)準(zhǔn)差為0.131這一定值，并對(duì)其進(jìn)行了驗(yàn)證，但實(shí)際上這種方法忽略了質(zhì)量流速、過熱度等一系列因素的影響，不具有廣泛的適用性。

綜上，流動(dòng)沸騰下的汽泡脫離行為是一個(gè)復(fù)雜的過程，呈現(xiàn)某種概率分布，如果僅采用一個(gè)均值來描述脫離直徑，不僅忽略了壁面過熱度、液體流速的隨機(jī)性對(duì)脫離直徑的影響，還會(huì)對(duì)換熱計(jì)算造成較大的誤差。因此，有必要對(duì)流動(dòng)沸騰下脫離直徑的尺寸分布做進(jìn)一步研究，進(jìn)而充分認(rèn)識(shí)汽泡脫離行為，提高后續(xù)換熱計(jì)算的準(zhǔn)確性。

1 汽泡分布描述

汽泡脫離直徑(Dd)的概率密度函數(shù)(PDF)是指不同直徑范圍內(nèi)的汽泡數(shù)占總汽泡數(shù)的比例呈現(xiàn)的函數(shù)分布，如正態(tài)分布、伽馬分布，而累計(jì)分布函數(shù)(CDF)則是指概率密度函數(shù)的積分。對(duì)于概率函數(shù)的選擇，Kaiho等[9]對(duì)22組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)伽馬函數(shù)(Gamma)的誤差為6.98%，而正態(tài)分布函數(shù)(Gaussian)的誤差為14.8%，因此認(rèn)為伽馬函數(shù)準(zhǔn)確度更高，但杜靜宇[13]則認(rèn)為當(dāng)數(shù)據(jù)足夠多時(shí)，正態(tài)分布函數(shù)能更準(zhǔn)確地描述脫離直徑的分布，Yoo等[11]、張旺[12]同樣發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布函數(shù)準(zhǔn)確度更高，而Ooi等[14]則認(rèn)為函數(shù)的選擇和壓力有關(guān)，低壓下對(duì)數(shù)正態(tài)分布或伽馬分布準(zhǔn)確度更高，高壓下正態(tài)分布更高，但該結(jié)論僅適用于水?？梢?，概率密度函數(shù)的選擇尚無確定的結(jié)論，當(dāng)工質(zhì)不僅為水時(shí)，函數(shù)的選擇還需進(jìn)一步確定。

因此，本文選擇60組不同工況下的汽泡尺寸分布實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，每組實(shí)驗(yàn)得到的分布均是基于大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)，具體工況列于表1[9,11,15-17]，其中μ和σ分別為這組分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。由前文可知，在尺寸分布的描述中采用較頻繁的兩種概率密度函數(shù)分別為伽馬函數(shù)和正態(tài)分布函數(shù)，表1列出了部分工況的具體實(shí)驗(yàn)條件以及兩種概率密度函數(shù)的擬合誤差，圖1則對(duì)兩種函數(shù)應(yīng)用到其中兩組工況(工況3、14)的準(zhǔn)確性進(jìn)行了詳細(xì)比較?？砂l(fā)現(xiàn)，伽馬函數(shù)和正態(tài)分布函數(shù)均能較準(zhǔn)確地描述脫離直徑尺寸分布，但兩者的相對(duì)準(zhǔn)確性還有待進(jìn)一步確定。

圖1 伽馬函數(shù)和正態(tài)分布函數(shù)誤差對(duì)比

為比較兩種函數(shù)應(yīng)用于流動(dòng)沸騰汽泡脫離直徑尺寸分布的準(zhǔn)確性，本文采用累計(jì)分布函數(shù)計(jì)算誤差，具體定義[9]如下：

(1)

其中：ER為平均絕對(duì)誤差；nb為數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)；CDFfit,j為第j個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合值；CDFexp,j為第j個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)值。

表1后兩列為該工況下兩個(gè)函數(shù)的誤差。根據(jù)對(duì)比分析，本文得到伽馬函數(shù)的平均絕對(duì)誤差(ERGamma)為27.5%，正態(tài)分布函數(shù)的平均絕對(duì)誤差(ERGaussian)為23.7%。可發(fā)現(xiàn)，在本文數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，正態(tài)分布函數(shù)和伽馬函數(shù)準(zhǔn)確度差異不大，相較之下，正態(tài)分布函數(shù)準(zhǔn)確度更高。兩種函數(shù)擬合不同工況時(shí)PDF和CDF的誤差示于圖2，因此，本文采用正態(tài)分布函數(shù)描述汽泡尺寸分布。

表1 部分工況下的脫離直徑尺寸分布

圖2 概率密度函數(shù)誤差對(duì)比

2 結(jié)果與討論

2.1 概率密度函數(shù)

本文選擇正態(tài)分布函數(shù)來描述流動(dòng)沸騰下的汽泡脫離直徑分布，函數(shù)表達(dá)式如式(2)所示。其中x為自變量，μ和σ是決定函數(shù)特征的兩個(gè)重要參數(shù)。均值μ通常表示出現(xiàn)頻率最高的值，標(biāo)準(zhǔn)差σ則表示數(shù)據(jù)與平均值的偏離程度，決定分布函數(shù)的展寬。因此，為得到脫離直徑在不同工況下的分布情況，可分別對(duì)均值和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行確定。

(2)

脫離直徑的均值即指某一工況下脫離直徑出現(xiàn)頻率最高的值，通常也是經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式預(yù)測(cè)的值，常見關(guān)系式的具體形式列于表2。通常，汽泡脫離直徑隨壁面過熱度的增大而增大，隨液體流速和過冷度的增大而減小，原因在于壁面溫度升高可增大汽泡生長(zhǎng)速率，進(jìn)而增大汽泡生長(zhǎng)力，有利于汽泡附著于壁面，而液體過冷度的影響恰好和壁面溫度相反。而當(dāng)流體流速增大時(shí)，促進(jìn)汽泡脫離的曳力增大，進(jìn)而脫離直徑變小?？梢?，大多數(shù)現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式都考慮了這幾個(gè)因素的影響，因此，首先對(duì)現(xiàn)有關(guān)系式進(jìn)行驗(yàn)證，對(duì)比其應(yīng)用于本文數(shù)據(jù)庫范圍內(nèi)汽泡脫離直徑均值的準(zhǔn)確度，絕對(duì)誤差ER列于表3，其中由于Yoo和Thorncroft兩個(gè)實(shí)驗(yàn)的接觸角未知，因此未對(duì)Basu關(guān)系式在這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)下的準(zhǔn)確度進(jìn)行驗(yàn)證。

表2 常用汽泡脫離直徑經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式

表3 脫離直徑均值預(yù)測(cè)誤差

可發(fā)現(xiàn)，幾個(gè)關(guān)系式應(yīng)用在各組實(shí)驗(yàn)的誤差都較大，且普遍低估了實(shí)驗(yàn)值，其中Du關(guān)系式雖然整體誤差很大，但應(yīng)用于水的準(zhǔn)確度較高，誤差主要來源于HFE-301和FC-87工質(zhì)。經(jīng)過分析，原因在于Du認(rèn)為脫離直徑與普朗克數(shù)呈3次方增長(zhǎng)關(guān)系。普朗克數(shù)表達(dá)式如下：

(3)

其中：cp為比定壓熱容；λ為導(dǎo)熱系數(shù)。

但得到這一結(jié)論所基于的普朗克數(shù)范圍較小(1.027～1.75)，當(dāng)普朗克數(shù)進(jìn)一步增大后，可發(fā)現(xiàn)脫離直徑與普朗克數(shù)并沒有呈現(xiàn)共同增長(zhǎng)的趨勢(shì)，如圖3所示，這就導(dǎo)致當(dāng)應(yīng)用于HFE-301和FC-87時(shí)該關(guān)系式得到的值遠(yuǎn)大于實(shí)驗(yàn)值。因此，為對(duì)本文數(shù)據(jù)庫進(jìn)行較好的擬合，提高Du關(guān)系式在較大普朗克數(shù)范圍下的準(zhǔn)確度，本文對(duì)其進(jìn)行一定的修正，認(rèn)為普朗克數(shù)對(duì)脫離直徑?jīng)]有明顯影響，修正后的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式絕對(duì)誤差為25.8%，誤差對(duì)比如圖4所示，其中汽泡雷諾數(shù)Reb的計(jì)算方法同Du，對(duì)于豎直管道Dd取0.162 mm，對(duì)于水平管道Dd取0.322 mm。

圖3 汽泡脫離直徑隨普朗克數(shù)的變化

圖4 修正經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式誤差對(duì)比

(4)

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)差，該值決定了脫離直徑分布曲線的寬度，通常情況下，當(dāng)正態(tài)分布的均值增大時(shí)，曲線會(huì)變得更加“矮胖”，標(biāo)準(zhǔn)差也會(huì)隨之增加。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)差和均值的關(guān)系，Kaiho等[9]發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)差和均值之比與過熱雅可比數(shù)Ja呈正相關(guān)，具體形式如下：

(5)

但通過驗(yàn)證，該關(guān)系式在本文數(shù)據(jù)庫下的絕對(duì)誤差為34.6%，還可進(jìn)一步提高。標(biāo)準(zhǔn)差和均值之比(σ/μ)隨過熱雅可比數(shù)、汽泡雷諾數(shù)和普朗克數(shù)的變化示于圖5?？砂l(fā)現(xiàn)，σ/μ不僅與雅可比數(shù)關(guān)系密切，與汽泡雷諾數(shù)和普朗克數(shù)的關(guān)系也不可忽略(式(6))。σ/μ隨汽泡雷諾數(shù)的增大而增大，隨普朗克數(shù)的增大而減小，兩者分別反映質(zhì)量流量和物性參數(shù)對(duì)該比值的影響?；诖耍疚耐ㄟ^多次擬合，得到新的標(biāo)準(zhǔn)差經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式，經(jīng)驗(yàn)證，新關(guān)系式的相對(duì)誤差為-0.2%，絕對(duì)誤差為21.5%，具有較好預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度，具體誤差驗(yàn)證如圖6所示。

圖5 σ/μ隨無量綱數(shù)的變化

圖6 σ/μ誤差驗(yàn)證

(6)

2.2 驗(yàn)證

由于本文選取的汽泡尺寸分布數(shù)據(jù)有限，為驗(yàn)證方程(2)的準(zhǔn)確度，將該關(guān)系式應(yīng)用到Basu[18]、Brooks[5]、Zhou[19]、Colgan[20]和尚靖武[21]等的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，如圖7所示，具體實(shí)驗(yàn)工況列于表4，總的絕對(duì)誤差為33.8%。因此，可認(rèn)為方程(2)能較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)不同工況下流動(dòng)沸騰汽泡脫離直徑的均值。此外，分別選擇不同工況下的水、HFE-301和FC-87驗(yàn)證方程(2)和方程(6)同時(shí)應(yīng)用于汽泡脫離直徑分布的準(zhǔn)確性，誤差(圖8)均在可接受范圍內(nèi)，F(xiàn)C-87誤差相對(duì)較大的原因在于該實(shí)驗(yàn)工況下汽泡脫離直徑的范圍較小(0.1～0.2 mm)，可見分布函數(shù)的準(zhǔn)確度對(duì)均值和標(biāo)準(zhǔn)差的預(yù)測(cè)值非常敏感。

圖7 脫離直徑均值新關(guān)系式的準(zhǔn)確度驗(yàn)證

圖8 新經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式誤差驗(yàn)證

表4 脫離直徑實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)范圍

可見，新的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式能較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)流動(dòng)沸騰汽泡尺寸分布，關(guān)系式的適用范圍列于表5，由于計(jì)算尺寸均值的方程(式(4))較計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的方程(式(6))有更多的驗(yàn)證數(shù)據(jù)，所以兩者的適用范圍單獨(dú)列出。

表5 新經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式適用范圍

3 結(jié)論

伽馬分布和正態(tài)分布是兩個(gè)常用于描述汽泡尺寸分布的概率密度函數(shù)，將兩種分布應(yīng)用到多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，得到兩者的絕對(duì)誤差分別為27.5%和23.7%，因此認(rèn)為正態(tài)分布更適用于汽泡尺寸分布的描述。正態(tài)分布的兩個(gè)重要參數(shù)分別為均值和標(biāo)準(zhǔn)差，本文首先對(duì)4個(gè)現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式用于脫離直徑均值計(jì)算的準(zhǔn)確度進(jìn)行了評(píng)價(jià)，發(fā)現(xiàn)誤差均較大，其中Du關(guān)系式用于水時(shí)準(zhǔn)確度較高，但用于普朗特?cái)?shù)較高的制冷劑時(shí)，準(zhǔn)確度大幅下降。因此，本文對(duì)Du關(guān)系式進(jìn)行了修正，新關(guān)系式不僅能預(yù)測(cè)本文尺寸分布數(shù)據(jù)庫中的均值，應(yīng)用到其他組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中也具有較高的準(zhǔn)確度。此外，分布函數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差通常呈正相關(guān)，因此本文對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差和均值的比值進(jìn)行了擬合，得到的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式是過熱雅可比數(shù)和汽泡雷諾數(shù)的函數(shù)。最后，得到一套描述流動(dòng)沸騰汽泡脫離直徑尺寸分布的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式，該關(guān)系式考慮了壁面過熱度、質(zhì)量流速等的影響。