黨 慧，馮進(jìn)鈐，楊 森

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048)

0 引 言

碰撞、顫碰以及伴隨顫碰所產(chǎn)生的黏滯現(xiàn)象是非光滑系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究的熱點(diǎn)問題之一。碰撞振動(dòng)系統(tǒng)在應(yīng)用數(shù)學(xué)、應(yīng)用物理、工程機(jī)械等專業(yè)領(lǐng)域內(nèi)皆有涉及。作為一種非光滑系統(tǒng)[1]，它具有較強(qiáng)的非線性特征，在動(dòng)力學(xué)研究中產(chǎn)生了較為深遠(yuǎn)的影響。碰撞振動(dòng)系統(tǒng)通常表現(xiàn)為存在間隙的各活動(dòng)部件之間或者活動(dòng)部件與固定部件之間的反復(fù)沖擊與碰撞[2]。借助于現(xiàn)代動(dòng)力系統(tǒng)理論對(duì)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的研究，主要集中于該系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)、分岔和混沌等[3-6]。

由于碰撞所導(dǎo)致向量場的不連續(xù)性，碰撞振動(dòng)系統(tǒng)在發(fā)生高速碰撞后，在一定條件下可能還會(huì)發(fā)生顫碰現(xiàn)象。顫碰是碰撞振動(dòng)系統(tǒng)中的一種新穎的動(dòng)力學(xué)行為[7]。早期，BUDD等研究了線性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)中的顫碰及其相關(guān)動(dòng)力學(xué)行為[8]；ALZATE等通過實(shí)驗(yàn)，分析了齒輪系統(tǒng)中的顫碰[9]。文獻(xiàn)[10]主要討論了二自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的周期黏滯運(yùn)動(dòng)和顫碰現(xiàn)象；文獻(xiàn)[11]分析了一類二自由度含間隙彈性碰撞系統(tǒng)的顫碰運(yùn)動(dòng)特性；文獻(xiàn)[12]研究了顫碰引起的黏滯現(xiàn)象，并利用Simulink進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真。

在非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，Lyapunov指數(shù)譜是判定動(dòng)力系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性和混沌特性的一種重要工具[13-15]。目前，關(guān)于光滑動(dòng)力系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜研究已較成熟：WOLF等利用實(shí)驗(yàn)時(shí)間序列提出了Lyapunov指數(shù)譜的通用算法，并對(duì)該算法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[16]。針對(duì)特殊的非光滑系統(tǒng)，STEFANSKI將映射同步用于估計(jì)確定性碰撞系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)[17]；GALVANETTO根據(jù)映射法則，推導(dǎo)計(jì)算了幾種不連續(xù)映射系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)的數(shù)值結(jié)果[18]。FENG等考慮了在不同的隨機(jī)噪聲激勵(lì)下時(shí)，碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)現(xiàn)象[19]。近幾年，LI等研究了混合動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性切換[20]；張艷龍等給出了隨機(jī)干擾強(qiáng)度下的二自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)的計(jì)算推導(dǎo)[21]；李得洋等結(jié)合系統(tǒng)分岔圖、相圖和Lyapunov指數(shù)譜, 分析了系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性與各種分岔行為[22-23]。

上述Lyapunov指數(shù)的計(jì)算方法都未考慮碰撞振動(dòng)系統(tǒng)中的顫碰以及黏滯現(xiàn)象，本文研究具有顫碰或黏滯現(xiàn)象的最大Lyapunov指數(shù)的計(jì)算，并通過算例說明計(jì)算方法的正確性。

1 碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

考慮一般二維碰撞振動(dòng)系統(tǒng)

(1)

對(duì)應(yīng)的碰撞映射為

x+=R(x-),H(x)=0

(2)

式中:x∈D?R2,t∈R+;f為系統(tǒng)無約束時(shí)的向量場函數(shù)；R為碰撞映射；H(x)表示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌線與約束面Σ之間的距離。式中下標(biāo)-、+分別表示系統(tǒng)碰撞前后的時(shí)刻。

為了描述方便，引入碰撞面

ΣI={x∈D:H(x)=0}

(3)

(4)

(5)

當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生顫碰現(xiàn)象并從顫碰進(jìn)入黏滯運(yùn)動(dòng)時(shí),系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程可能存在4種運(yùn)動(dòng)形式,如圖1所示。

圖1 運(yùn)動(dòng)過程示意圖Fig.1 Diagram of motion process

3) 低速碰撞到顫碰：ta→tb。大量高速碰撞后，系統(tǒng)可能出現(xiàn)顫碰運(yùn)動(dòng)。如圖1所示，系統(tǒng)從ta時(shí)刻進(jìn)入無限次碰撞，隨著振幅的逐漸減弱，最終v→0。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由x∈Σta={x:H(x)=0,|v|<ε?1}切換到x∈Σtb={x:H(x)=0,v=0}。為方便計(jì)算，引入彗尾映射PC,滿足

xb=PCxa

(6)

(7)

式中:W(x)=(0,-(r+1))T,

如圖1所示，當(dāng)t∈[ta,tb]時(shí)系統(tǒng)進(jìn)行顫碰運(yùn)動(dòng)，在tb時(shí)刻開始進(jìn)入黏滯,當(dāng)t∈[tb,tf]時(shí)系統(tǒng)進(jìn)行黏滯運(yùn)動(dòng)。由于在tf時(shí)刻，加速度a=0，故系統(tǒng)在此時(shí)開始逃離黏滯。相應(yīng)地，此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由x∈Σ[tb,tf]{x:H(x)=0,v=0,a>0}切換到x∈Σ[tf,tn]{x:H(x)=0,v=0,a<0}，而當(dāng)t∈[tf,tn]時(shí)系統(tǒng)又開始作“自由”運(yùn)動(dòng)。

2 最大Lyapunov指數(shù)

根據(jù)上述4種情況(見圖1)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可由連續(xù)微分方程和離散映射進(jìn)行描述。易知在1)和4)情況下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)由連續(xù)微分方程描述，而在2)和3)情況下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)則由離散映射進(jìn)行刻畫。

情形Ⅰ：連續(xù)微分方程。假設(shè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程滿足

(8)

考慮對(duì)參考軌道x0(t)的一個(gè)擾動(dòng)δ(x)，x=x0+δ(x)，并滿足

(9)

Fx(x0)=(fij)2×2=fx(x0)

(10)

(ⅱ) 當(dāng)x∈Σ[tb,tf]時(shí)，系統(tǒng)作黏滯運(yùn)動(dòng)，由式(7)可知

(11)

式中:

(12)

(13)

引入Khasminskii變換

(14)

將式(9)帶入式(14)中化簡可得

(15)

情形Ⅱ：離散映射。引入離散映射P，使系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)滿足

P:xn→xn+1

(16)

考慮對(duì)參考軌道x0的一個(gè)擾動(dòng)δ(x)，x=x0+δ(x)，并滿足

δ(xn+1)=DPδ(xn)

(17)

(18)

(ⅱ) 當(dāng)x∈Σta時(shí)，

(19)

式中:

PC(x)=x+M1(x)+M2(x)

(20)

(21)

故

(22)

(23)

式中:f1(x)=v=Hxf(x)，f2(x)=a=(Hxx+Hxfx)f(x)。

引入Khasminskii變換，將式(17)帶入式(14)中，化簡可得

(24)

根據(jù)動(dòng)力學(xué)理論，最大Lyapunov指數(shù)可表示為

(25)

式中‖·‖皆為2范數(shù)。

系統(tǒng)在上述4種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的最大Lyapunov指數(shù)可劃分為連續(xù)微分方程及離散映射2部分進(jìn)行描述。將式(10)、式(11)分別帶入式(15)，式(18)、式(19)分別帶入式(24)，并由式(25)可知

(26)

分析式(26)可知:式中第1項(xiàng)為系統(tǒng)處于階段1),即做無約束運(yùn)動(dòng)時(shí)的Lyapunov指數(shù)；第2～4項(xiàng)分別為系統(tǒng)處于階段2)～4)時(shí),對(duì)系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)的補(bǔ)充項(xiàng)，即分別為系統(tǒng)處于高速碰撞、顫碰運(yùn)動(dòng)以及黏滯運(yùn)動(dòng)。

3 算 例

3.1 系統(tǒng)的分岔與Lyapunov指數(shù)比較

考慮諧和激勵(lì)下單邊碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的形狀記憶合金梁模型遵循如下方程[25]：

(27)

(28)

式中:r為碰撞恢復(fù)系數(shù);h為碰撞約束位置；k為線性剛度系數(shù)；α為非線性剛度系數(shù)；μ為阻尼系數(shù)；γ為負(fù)阻尼系數(shù)；fcos(ωt)為諧和激勵(lì)。

(a) u隨參數(shù)f變化分岔

3.2 顫碰、黏滯運(yùn)動(dòng)的Lyapunov指數(shù)

為了驗(yàn)證系統(tǒng)(27)在顫碰以及黏滯情形下Lyapunov指數(shù)計(jì)算式(26)的有效性，固定系統(tǒng)部分參數(shù)r=0.8，k=1.0，α=1.0，μ=0.2，γ=0，ω=0.2，取初始值為(-1.5,0)T。圖3給出了系統(tǒng)從顫碰到黏滯再到黏滯運(yùn)動(dòng)消失的時(shí)間歷程圖和最大Lyapunov指數(shù)序列圖。當(dāng)f=1.5時(shí)，圖3(a)顯示了系統(tǒng)作周期運(yùn)動(dòng)，存在顫碰和黏滯。從圖3(c)中可以看到：當(dāng)系統(tǒng)由顫碰切換到黏滯運(yùn)動(dòng)時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)發(fā)生了跳躍，呈現(xiàn)出非光滑結(jié)構(gòu)；當(dāng)系統(tǒng)逃離黏滯，重新作“自由”運(yùn)動(dòng)時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)并未發(fā)生明顯跳躍，呈現(xiàn)出近似“光滑”結(jié)構(gòu)。當(dāng)f=0.81時(shí)，由圖3(b)可見，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程為非周期的，圖3(d)中系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)僅發(fā)生一次跳躍，發(fā)生跳躍的時(shí)刻與圖3(b)中黏滯開始時(shí)刻同樣保持一致。

(a) 時(shí)間歷程(f=1.5)

圖4給出了系統(tǒng)的相圖和與其對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)收斂序列圖。

(a) 相圖(f=1.5)

4 結(jié) 語

利用不連續(xù)映射和彗尾映射對(duì)系統(tǒng)碰撞和顫碰的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了有效近似，提出了系統(tǒng)在連續(xù)微分方程以及離散映射下的最大Lyapunov指數(shù)的計(jì)算方法。以形狀記憶合金梁模型為例，討論了系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)。同時(shí)，數(shù)值結(jié)果與構(gòu)造的最大Lyapunov指數(shù)計(jì)算結(jié)果保持一致，驗(yàn)證了該計(jì)算的有效性。研究表明：碰撞振動(dòng)系統(tǒng)在一定條件下會(huì)發(fā)生顫碰現(xiàn)象，并隨之發(fā)生黏滯運(yùn)動(dòng)；最大Lyapunov指數(shù)可以有效捕捉系統(tǒng)的分岔、周期窗口和顫碰的切換。