胡瓊瓊，傘紅軍，陳久朋，謝飛亞，陳中平，李鵬宇

(1.昆明理工大學(xué) 機電工程學(xué)院,云南 昆明 650500;2.中國人民解放軍 第78098部隊,四川 成都 610200)

并聯(lián)機器人是機器人學(xué)的一個重要分支。并聯(lián)機器人承載能力強，輸入誤差不積累，動力性能好，且運動控制簡單。自1965年Stewart機構(gòu)誕生以來，并聯(lián)機構(gòu)迅速成為國際機器人學(xué)領(lǐng)域的研究熱點之一[1-3]。在實際生產(chǎn)中，并聯(lián)機器人與串聯(lián)機器人因具有各自的優(yōu)缺點，擴大了機器人應(yīng)用領(lǐng)域。目前，結(jié)合串聯(lián)和并聯(lián)機器人優(yōu)勢的混聯(lián)機器人的誕生雖然在一定程度上解決了機器人工作空間問題，但是其運動控制還是基于并聯(lián)機器人原型。

相對于6自由度并聯(lián)機構(gòu)，少自由度并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單、生產(chǎn)成本低、易于操作，擁有更廣闊的發(fā)展前景與發(fā)展?jié)摿4]。國內(nèi)對并聯(lián)機器人的研究起步較晚，特別是針對機構(gòu)綜合與分析等方面的研究較少。在少自由度并聯(lián)機構(gòu)的綜合和運動性能研究方面，文獻[5～7]提出了基于方位特征的并聯(lián)機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)設(shè)計理論與方法；文獻[8～9]提出了基于約束螺旋理論的機構(gòu)自由度分析的原理和方法。這兩種分析方法均在并聯(lián)機構(gòu)的綜合上做出了一定的貢獻。文獻[10]基于方位特征理論提出了一類3T1R型四自由度高速并聯(lián)機械手。文獻[11]基于螺旋理論提出了一種4-URU型并聯(lián)機器人構(gòu)型。文獻[12]對2-TPR/2-TPS并聯(lián)機構(gòu)進行了仿真分析，驗證了該機器人運動自由度的正確性。

本文基于方位特征理論與方法，對3-TRT/SPS并聯(lián)機構(gòu)進行結(jié)構(gòu)拓撲分析，求解了其獨立自由度。隨后，在機構(gòu)分析的基礎(chǔ)上采用解析法獲得了機器人正反解，并使用極坐標搜索法求出了機器人工作空間，為少自由度并聯(lián)機器人的發(fā)展做出了一定貢獻。

1 機器人的結(jié)構(gòu)特點

3-TRT/SPS的三維模型如圖1所示。該并聯(lián)機器人具有4個支鏈、3個對稱分布的TRT支鏈以及連接動、定平臺的SPS支鏈。每個TRT支鏈由連接動、定平臺的兩個虎克鉸T(由兩個相互正交的轉(zhuǎn)動副組成)和一個轉(zhuǎn)動副R組成。每個TRT支鏈可以看作是由5個轉(zhuǎn)動副組成，其中和上下平臺相連的兩個轉(zhuǎn)動副軸線互相平行，其余3個轉(zhuǎn)動副軸線互相平行，且與另兩個轉(zhuǎn)動副軸線垂直。SPS支鏈由兩個球鉸和一個移動副組成，兩個球鉸分別與動靜平臺的幾何中心相連。為了方便描述機器人的運動，可建立如圖2所示的拓撲結(jié)構(gòu)簡圖。該簡圖清楚地描繪了整機的連桿和運動副配置。

圖1 3-TRT/SPS并聯(lián)機器人三維模型Figure 1. 3D model of 3-TRT/SPS parallel robot

圖2 3-TRT/SPS并聯(lián)機器人拓撲結(jié)構(gòu)Figure 2. Topology of 3-TRT/SPS parallel robot

2 基于方位特征理論的機構(gòu)特性分析

2.1 機構(gòu)的方位特征理論

基于方位特征理論的機構(gòu)特性理論為：對并聯(lián)機構(gòu)單支鏈進行拓撲結(jié)構(gòu)分析，再將所有支鏈求并集獲得整機的運動特性，從而揭示機構(gòu)運動的內(nèi)在定律，獲得整機運動的獨立自由度，最后利用結(jié)構(gòu)降耦和機構(gòu)解耦理論分析機構(gòu)耦合度[13]。

根據(jù)方位特征理論，可獲得機構(gòu)的POC集[14]為

(1)

(2)

式中，Mbi為第i條支鏈末端的POC集；Msi為第j個子SOC的VC集；Mpa為機構(gòu)動平臺的POC集。

由自由度和獨立位移方程數(shù)的計算式可得

(3)

(4)

v=m-n+1

2.2 并聯(lián)機構(gòu)自由度計算

(1)支鏈拓撲結(jié)構(gòu)。根據(jù)方位特征理論，可以獲得3條TRT支鏈的拓撲表達式為

SOC{-Ri1⊥Ri2(‖Ri3)‖Ri4⊥Ri5-}，i=1,2,3

(5)

另一條SPS支鏈的拓撲表達式為

(6)

(2)選定平臺上任意一點為基點O′；

(3)由式(1)可知，支鏈TRT末端構(gòu)件的POC集為

(7)

支鏈SPS末端構(gòu)件的POC集為

(8)

(4)確定第一個獨立回路的獨立位移方程數(shù)ξL1和自由度F(1-2)。將Mb1和Mb2代入式(4)可求得第一個獨立回路的ξL1為

ξL1=dim{Mb1∪Mb2}=

(9)

將ξL1的值代入式(3)可得第一和第二條支鏈組成的子并聯(lián)機構(gòu)DOF為

(10)

第一和第二條支鏈組成的并聯(lián)機構(gòu)動平臺的POC集為

Mpa(1-2)=Mb1∩Mb2=

(11)

(5)確定第二個獨立回路的獨立位移方程數(shù)ξL2和自由度F(1-3)。將上述所求得的Mpa(1-2)和Mb3代入式(4)可求得第二個獨立回路的ξL2為

ξL2=dim{Mpa(1-2)∪Mb3}=

(12)

將所求得的ξL1和ξL2的值代入式(3)可得，第一到第三支鏈組成的子并聯(lián)機構(gòu)DOF為

(13)

則第一到第三支鏈組成的并聯(lián)機構(gòu)平臺的POC集為

Mpa(1-3)=Mpa(1-2)∩Mb3=

(14)

(6)確定第三個獨立回路的獨立位移方程數(shù)ξL3。同理將Mpa(1-3)和Mb4代入式(4)得第三個獨立回路的ξL3為

ξL3=dim{Mpa(1-3)∪Mb4}=

(15)

(7)確定機構(gòu)的自由度。將ξL1、ξL2和ξL3的值代入式(3)可得并聯(lián)機構(gòu)的DOF為

(16)

(8)確定并聯(lián)機構(gòu)平臺的POC集。將Mpa(1-3)和Mb4的值代入式(2)可得式(17)。

(17)

由此可知，該并聯(lián)機器人的自由度為F=4，當(dāng)取與靜平臺相連的轉(zhuǎn)動副R1、R2、R3為驅(qū)動副時，該并聯(lián)機器人動平臺可實現(xiàn)3個平移和1個繞Z軸的獨立轉(zhuǎn)動的運動輸出。

2.3 機構(gòu)耦合度計算

由基于單開鏈(Single Open Chain,SOC)的機構(gòu)組成原理可知，連接在運動鏈上的第j個SOCj的約束度[15]為

(18)

(19)

式中，mj為第j個SOCj的運動副數(shù)；Ij為第j個SOCj的驅(qū)動副數(shù)。

獨立回路數(shù)為v的任意運動鏈，可視為由v個SOC一次連接而成。獨立回路數(shù)為v的任意運動鏈又可劃分為若干個最小的子運動鏈(Sub-kinematic Chain,SKC)，每個SKC僅含一個自由度為零的基本運動鏈(Basic Kinematic Chain,BCK)[16]，則對任何一個SKC有

(20)

因此，SKC耦合度k定義為式(21)。

(21)

將章節(jié)2.2求出的ξL1、ξL2和ξL3代入式(18)可得約束度分別為

(22)

將Δ1、Δ2和Δ3的值代入式(21)可得式(23)。

(23)

機構(gòu)的耦合度k反映的是SKC內(nèi)各回路變量之間的關(guān)聯(lián)和依賴程度。k值越大，機構(gòu)運動學(xué)和動力學(xué)問題求解的復(fù)雜度越高。機構(gòu)的位置正解求解可轉(zhuǎn)換為其各個SKC的位置求解。此外，對于k=0的SKC，其每個回路的運動量解析解都能獨立求出。若k>0，則表明SKC的運動量需要多個回路方程聯(lián)立求解，可用數(shù)值法或解析法求得其位置正解[12]。

3 機構(gòu)的位置分析

圖3 3-TRT/SPS并聯(lián)機器人機構(gòu)簡圖Figure 3.Mechanism diagram of 3-TRT/SPS parallel robot

U=U(X,Y,Z,θz)

(24)

3.1 位置正反解求解

機器人位置反解的求解過程是：已知該并聯(lián)機器人的末端位姿X、Y、Z和θz，求各分支的輸入角度θ1、θ2、θ3和移動副的移動長度L。

由上述所建立的動、定坐標系可知，動坐標系到定坐標系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣[T]為

(25)

可以得到與定平臺平面相連的虎克鉸Ci(i=1,2,3)在定坐標系中的坐標

C′i=[T]Ci+q，i=1,2,3

(26)

式中，q=[X,Y,Z]T為動坐標系原點對定坐標系的位置向量。

由此可求得該并聯(lián)機器人各分支的輸入角度為

θi=arctan[(C′iY-AiY)/(C′iX-AiX)]，i=1,2,3

(27)

其中

(28)

SPS分支的輸入桿長為

(29)

正解的求解過程為：已知該并聯(lián)機器人的各分支的輸入角度θ1、θ2、θ3和移動副的移動長度L，求末端位姿X、Y、Z和θz。

聯(lián)立式(26)中所求的C′1、C′2和C′33個值消去X和Y可得式(30)。

(30)

(1)當(dāng)θ2≠θ3時，式(30)中的A、B和C分別為

(2)當(dāng)θ2=θ3時，式(30)中的A、B和C分別為

A=r,B=-rtanθ2,C=-Rtanθ2

將式(30)中的所求得的θz代入式(28)，消去Y值可得

當(dāng)θ2≠θ3時

(31)

當(dāng)θ2=θ3時

(32)

此外，根據(jù)式(27)和式(28)，當(dāng)i=1時可得

Y=(X+rsinθz)tanθi+rcosθz-R

(33)

將上述所求得的X和Y值同時代入式(29)中可得式(34)。

(34)

由以上的正反解計算結(jié)果可以看出該并聯(lián)機器人的反解結(jié)果是唯一的，而正解相對于反解來說，結(jié)果并不唯一，且計算過程復(fù)雜多變。正解的復(fù)雜多變性，也增加了該并聯(lián)機器人的軌跡規(guī)劃與運動控制的難度。

3.2 機構(gòu)工作空間分析

工作空間是衡量并聯(lián)機器人性能的一個重要指標。并聯(lián)機構(gòu)的可達工作空間是指末端執(zhí)行器(通常指動平臺的坐標原點)可以到達的所有點的集合，這種工作空間不考慮動平臺的姿態(tài)[17-19]。由章節(jié)2分析結(jié)果可知，該并聯(lián)機器人的工作空間大小主要受各分支長度和運動副轉(zhuǎn)角的限制。

由圖3所示，分析并聯(lián)機器人的3個TRT分支和1個SPS分支可知，分支的長度應(yīng)滿足

(35)

式中，Lmin和Lmax分別為機構(gòu)實際所允許的最小和最大桿長，其中Lmax可由下式確定

(36)

運動副轉(zhuǎn)角應(yīng)考慮兩個球鉸的圓錐擺角，設(shè)驅(qū)動桿與球鉸中心方向的夾角為α，球鉸的最大圓錐擺角為αmax,則可有關(guān)系式為式(37)。

α≤αmax

(37)

本文采用極限邊界搜索法對該并聯(lián)運動機構(gòu)的工作空間進行分析，首先根據(jù)桿長設(shè)定工作空間的搜索范圍，基于機構(gòu)位置反解式(26)，搜索所有滿足約束條件式(35)和式(37)的點，這些滿足條件的點所組成的三維圖即為該并聯(lián)機器人的工作空間。下面對該并聯(lián)機器人的基本機構(gòu)賦兩組不同的參數(shù)值，利用MATLAB軟件編程求取不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下并聯(lián)機器人的工作空間。

圖4 給定機構(gòu)參數(shù)1時，3-TRT/SPS并聯(lián)機器人在θz=0°時的工作空間Figure 4.Under mechanism parameter 1, the working space ofthe 3-TRT/SPS parallel robot at θz=0°

圖5 給定機構(gòu)參數(shù)1時，3-TRT/SPS并聯(lián)機器人在θz=60°時的工作空間Figure 5. Under the mechanism parameter 1, the working space of the 3-TRT/SPS parallel robot at θz=60°

圖4為在給定機構(gòu)參數(shù)1下，3-TRT/SPS并聯(lián)機器人在θz=0°時的工作空間。圖5為在給定機構(gòu)參數(shù)1下，3-TRT/SPS并聯(lián)機器人在θz=60°時的工作空間。在θz=0°時，機構(gòu)工作空間的XOZ截面圖和YOZ截面圖分別如圖6(a)和圖6(b)所示。

(a)

(b)圖6 給定機構(gòu)參數(shù)1時，3-TRT/SPS并聯(lián)機器人在θz=0°時的工作空間在XOZ和YOZ平面的投影圖(a)給定機構(gòu)參數(shù)1時XOZ平面投影 (b)給定機構(gòu)參數(shù)1時YOZ平面投影Figure 6. Under the mechanism parameter 1, the projection diagram of the working space of the 3-TRT/SPS parallel robot on the XOZ and YOZ planes when θz=0°(a)XOZ planar projection under the mechanism parameter 1 (b)YOZ planar projection under the mechanism parameter 1

圖7 給定機構(gòu)參數(shù)2時，3-TRT/SPS并聯(lián)機器人在θz=0°時的工作空間Figure 7.Under the mechanism parameter 2, the working space of the 3-TRT/SPS parallel robot at θz=0°

圖8 給定機構(gòu)參數(shù)2時，3-TRT/SPS并聯(lián)機器人在θz=60°時的工作空間Figure 8.Under the mechanism parameter 2, the working space of the 3-TRT/SPS parallel robot at θz=60°

(a)

(b)圖9 給定機構(gòu)參數(shù)2時，3-TRT/SPS并聯(lián)機器人在θz=0°時的工作空間在XOZ和YOZ平面的投影圖(a)給定機構(gòu)參數(shù)2時XOZ平面投影 (b)給定機構(gòu)參數(shù)2時YOZ平面投影Figure 9.Under the mechanism parameter 2, the projection diagram of the working space of the 3-TRT/SPS parallel robot on the XOZ and YOZ planes when θz=0°(a)XOZ planar projection under the mechanism parameter 2 (b)YOZ planar projection under the mechanism parameter 2

由圖4和圖5可以看出，在動、靜平臺尺寸相對較小的情況下，該并聯(lián)機器人的工作空間為上部接近半球體，中間鼓的形狀。其大小與θz值有關(guān)，θz值越大機器人工作空間的體積越小，體積大小隨θz值變換幅度相對較小。在θz=0時，該并聯(lián)機器人的工作空間關(guān)于XZ平面對稱，但是不關(guān)于YZ平面對稱。

由圖7和圖8可以看出，在動、靜平臺尺寸相對較大的情況下，該并聯(lián)機器人的工作空間為上部尖，中間鼓的形狀。其大小與θz值有關(guān)，θz值越大機器人工作空間的體積越小，體積大小隨θz變換幅度相對較大。在θz=0時，該并聯(lián)機器人的工作空間同樣是關(guān)于XZ平面對稱，但是不關(guān)于YZ平面對稱。

為了更好地表明3-TRT/SPS并聯(lián)機器人使用范圍的廣闊性，現(xiàn)將3-TRT/SPS并聯(lián)機器人的工作空間和3PTT并聯(lián)機器人的工作空間進行對比驗證。3PTT并聯(lián)機器人的三維模型如圖10所示。3-PTT并聯(lián)機器人有3條對稱分布的PTT支鏈，PTT支鏈的兩端是虎克鉸，中間是由短桿和長桿組成的平行四邊形機構(gòu)。PTT支鏈一端通過絲杠滑塊機構(gòu)與豎直的固定型材相連；另一端通過平行四邊形機構(gòu)與運動平臺相連。3-PTT并聯(lián)機器人是三自由度機器人，輸出參數(shù)是動平臺的3個位姿，輸入?yún)?shù)是3個絲桿滑塊機構(gòu)的滑塊移動距離。3PTT并聯(lián)機器人的動、定平臺外接圓半徑分別為r和R，由短桿和長桿組成的平行四邊形機構(gòu)的長為L。

圖10 3-PTT并聯(lián)機器人三維模型Figure 10.3D model of 3-PTT parallel robot

給定3-PTT并聯(lián)機器人的基本機構(gòu)參數(shù)為：r=200 mm，R=400 mm，L=350 mm。利用MATLAB軟件編程，得到3-PTT并聯(lián)機器人的三維工作空間如圖11所示。

圖11 3-PTT并聯(lián)機器人的工作空間Figure 11. Working space 3-PTT parallel robots

由圖11可以看出3-PTT并聯(lián)機器人的工作空間是一個上半部分為橢球形，下半部分為圓柱形的形狀。該工作空間關(guān)于XZ平面對稱，也關(guān)于YZ平面對稱。

由圖7、圖8和圖11可以看出，在機器人機構(gòu)參數(shù)大致相同的情況下，3-PTT并聯(lián)機器人的工作空間是一個固定的形狀，而3-TRT/SPS并聯(lián)機器人的工作空間大小隨θz的值變化而發(fā)生變化。該結(jié)果說明3-TRT/SPS并聯(lián)機器人相對于3-PTT并聯(lián)機器人有更廣闊的應(yīng)用環(huán)境。

4 結(jié)束語

本文以3-TRT/SPS并聯(lián)機器人為研究對象，首先運用方位特征理論分析該并聯(lián)機器人的結(jié)構(gòu)特征，并求解其自由度，運用解析法推導(dǎo)了該并聯(lián)機器人運動末端的正反解。然后，采用極坐標搜索法對并聯(lián)機器人的工作空間分析，并使用MATLAB軟件繪制出并聯(lián)機器人的工作空間。通過對不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的3-TRT/SPS并聯(lián)機器人的工作空間對比分析，得出在其他參數(shù)相同情況下，并聯(lián)機器人的工作空間變化幅度隨動、靜平臺的尺寸而變化。此外，本文通過相同結(jié)構(gòu)參數(shù)的3-TRT/SPS并聯(lián)機器人和3-PTT并聯(lián)機器的工作空間對比分析，得出在參數(shù)相同情況下，3-PTT并聯(lián)機器的工作空間是一個固定的形狀，而3-TRT/SPS并聯(lián)機器人的工作空間隨θz的值變化而發(fā)生變化。這些結(jié)果也為后續(xù)的工業(yè)生產(chǎn)加工提供了一定的參考。