王明月，李方偉，景小榮，張海波，熊軍洲

（1.重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065；2.移動通信教育部工程研究中心，重慶 400065）

1 引言

大規(guī)模多輸入多輸出時間反演多址（MIMOTRDMA,multiple-input multiple-output time-reversal division multiple access）系統(tǒng)是大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)與TRDMA 接入技術(shù)的結(jié)合。大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)通過在基站端配置大量天線（多達(dá)數(shù)百根）同時為少量用戶設(shè)備服務(wù)，能夠有效地提升頻譜效率和能量效率[1-3]。而與TRDMA 技術(shù)相結(jié)合，可有效提升大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)抗多徑干擾的能力[4-5]。大規(guī)模MIMO-TRDMA 系統(tǒng)因其具有高傳輸率和高可靠性等顯著優(yōu)勢，有望發(fā)展為未來無線通信系統(tǒng)的主要研究方向之一。

在實際工程中部署大規(guī)模MIMO-TRDMA 系統(tǒng)還存在一些具有挑戰(zhàn)性的問題，其中之一是如何設(shè)計具有高性能和低復(fù)雜度的上行信號檢測算法。最大似然（ML,maximum likelihood）檢測算法具有最佳的檢測性能，但其計算復(fù)雜度隨著發(fā)送天線數(shù)目的增加呈指數(shù)增長，因而難以應(yīng)用于實際[6]。由于大規(guī)模MIMO-TRDMA 系統(tǒng)中基站天線數(shù)目遠(yuǎn)大于用戶設(shè)備數(shù)目，此時各用戶間信道滿足近似正交的關(guān)系，因此，采用傳統(tǒng)的線性檢測算法，如迫零算法和最小均方誤差（MMSE,minimum meansquare error）算法，也能確保檢測性能近似最佳[7-8]。然而，線性檢測算法需要計算高維矩陣的逆，盡管采用傳統(tǒng)的Cholesky 分解和LDL 分解等方法可避免高維矩陣求逆，但仍無法確保信號檢測的實時性[9-10]。

為了解決這一問題，國內(nèi)外學(xué)者相繼提出了諸多MMSE 算法的近似求解算法，主要包括三大類：第一類是級數(shù)展開類，文獻(xiàn)[11]提出一種低復(fù)雜度信號檢測算法，通過Neumann 近似級數(shù)展開方法將矩陣求逆計算等價為多次矢量相乘計算；文獻(xiàn)[12]基于大規(guī)模非正交多址接入系統(tǒng)提出了一種Neumann 級數(shù)逼近信號檢測算法，該算法能以較低的計算復(fù)雜度獲得較好的系統(tǒng)性能。第二類是更新近似求解類，文獻(xiàn)[13]基于Gauss-Seidel 方法提出了一種能夠獲得近似最佳性能的檢測算法，優(yōu)化了算法的初始解以加快算法的收斂速度；文獻(xiàn)[14]提出了一種基于連續(xù)超松弛（ SOR,successiveover-relaxation）的高效算法，同時，該文獻(xiàn)還對所提算法進(jìn)行了硬件驗證。第三類是基于矩陣梯度搜索類，文獻(xiàn)[15]提出了一種在共軛梯度算法中直接計算信噪比（SNR,signal-to-noise ratio）的新方法，以實現(xiàn)共軛梯度軟輸出檢測；文獻(xiàn)[16]提出了一種聯(lián)合最陡下降（SD,steepest descent）和Jacobi 更新算法的改進(jìn)算法，采用SD 算法為后續(xù)Jacobi 更新確定高效的搜索方向，進(jìn)而提升系統(tǒng)的檢測性能。

上述算法中，傳統(tǒng)SOR 算法具有性能近似最佳、收斂速度較快和計算復(fù)雜度較低等優(yōu)勢，但存在初始收斂性能較差的缺點；而SD 算法具有在初始更新時就可獲得較好收斂方向的優(yōu)勢，但存在極值點附近收斂速度較慢的缺點。因此，本文結(jié)合SOR 算法和 SD 算法的優(yōu)勢，基于大規(guī)模MIMO-TRDMA 系統(tǒng)提出一種改進(jìn)SOR 信號檢測算法。將SD 算法和SOR 算法的第一次混合更新解設(shè)為改進(jìn)SOR 算法的第一次更新解，提高后續(xù)SOR更新的搜索效率，獲得更快的收斂速度和更好的檢測性能。仿真結(jié)果表明，即使更新次數(shù)較少，所提改進(jìn)SOR 算法仍具有與傳統(tǒng)MMSE 算法相當(dāng)?shù)慕谱罴研阅堋?/p>

2 系統(tǒng)模型及MMSE 檢測算法

2.1 大規(guī)模MIMO-TRDMA 系統(tǒng)模型

大規(guī)模MIMO-TRDMA 系統(tǒng)的系統(tǒng)模型如圖1所示，其中，基站端配備Nr根接收天線，同時為M個單天線用戶設(shè)備服務(wù)，通常情況下滿足Nr?M。大規(guī)模MIMO-TRDMA 通信過程分為3 步，具體如下。

圖1 大規(guī)模MIMO-TRDMA 系統(tǒng)模型

2.1.1信道探測階段

信道探測階段是用戶發(fā)送信號前的準(zhǔn)備階段，各個用戶接收基站端發(fā)送的探測信號并分別提取各自的信道沖激響應(yīng)?；径说趈∈{1,2,…,Nr}根接收天線和第m∈{1,2,…,M}個用戶的信道沖激響應(yīng)為

2.1.2時間反演階段

在時間反演階段中，位于用戶附近的各時間反演鏡在時域或頻域上分別對各信道沖激響應(yīng)進(jìn)行采樣和傅里葉變換/逆變換，將時間反演濾波矩陣寫為，每個元素可表示為

2.1.3時間反演后的通信階段

在正式通信過程中，將發(fā)送信號矢量經(jīng)過時間反演鏡處理后的信道沖激響應(yīng)變換為可表示為

其中，(?) ?(?)表示求卷積操作，p∈{0,1,…,2L-2}。當(dāng)p=L-1時，式(3)對應(yīng)最大功率中心峰值。

根據(jù)式(3)，將大規(guī)模MIMO-TRDMA 信道模型寫為矩陣形式

為了維持信道穩(wěn)定性，假定信道探測階段和時間反演階段的信道狀態(tài)信息具有時不變特性。即對于一個時間反演操作過程，至少一個信道探測階段和時間反演階段的信道沖激響應(yīng)保持靜止。

將基站端接收的信號表示為

其中，Y=[Y1,Y2,…,YNr]為Nr× 1維接收信號向量；H為多徑瑞利衰落信道，每個元素服從均值為零且方差為的循環(huán)對稱復(fù)高斯（CSCG,circular symmetric complex Gaussian）分布，0 ≤l≤L，TS表示采樣周期，σT表示信道均方根時延擴(kuò)展；x=[x1,x2,…,xM]T為M× 1維的發(fā)送信號矢量；n表示均值為零且方差為σ2的加性白高斯噪聲（AWGN,additive white Gaussian noise），滿足維度為Nr× 1。在每個信號檢測時刻，假定基站端已獲得當(dāng)前信道的理想狀態(tài)信息。

為了方便分析，將式(5)中每根接收天線上的信號展開為

由式(6)可知，大規(guī)模MIMO-TRDMA 系統(tǒng)中的主要期望信號對應(yīng)最大功率中心峰值因而具有良好的聚焦特性。因此，相比傳統(tǒng)大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)，大規(guī)模MIMO-TRDMA 系統(tǒng)能夠利用多徑產(chǎn)生聚焦效應(yīng)，從而降低用戶間干擾，具有更好的系統(tǒng)性能。

大規(guī)模MIMO-TRDMA 系統(tǒng)和大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的誤比特率（BER,bit error rate）性能對比如圖2 所示，接收端采用傳統(tǒng)MMSE 信號檢測算法。從圖2 可知，相比傳統(tǒng)大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)，大規(guī)模MIMO-TRDMA 系統(tǒng)具有更好的系統(tǒng)性能，具體表現(xiàn)為：當(dāng)L=8且BER 為一個確定值時，大規(guī)模MIMO-TRDMA 系統(tǒng)比大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)的SNR低至少1 dB；當(dāng)L=10且BER 為一個確定值時，大規(guī)模MIMO-TRDMA 系統(tǒng)比大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)的SNR 低約2 dB。這是因為大規(guī)模MIMO-TRDMA系統(tǒng)能夠利用多徑產(chǎn)生聚焦效應(yīng)使主要期望信號對應(yīng)最大功率中心峰值，能夠有效降低用戶間干擾。

圖2 大規(guī)模MIMO-TRDMA 和大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)性能對比

2.2 MMSE 檢測算法

信號檢測的主要任務(wù)是基站端根據(jù)接收的信號矢量Y對發(fā)送信號進(jìn)行譯碼，得到估計的發(fā)送信號矢量。傳統(tǒng)MMSE 信號檢測中，估計的發(fā)送信號矢量為

其中，V=HHH為Gram 矩陣。直接對MMSE 檢測算法的加權(quán)矩陣U求逆時，計算復(fù)雜度為較高的O(M3)[8]。

基于式(8)，大規(guī)模MIMO-TRDMA 系統(tǒng)中MMSE 檢測算法估計的發(fā)送信號矢量變?yōu)?/p>

在大規(guī)模MIMO-TRDMA 系統(tǒng)中，信道為復(fù)雜的卷積矢量，采用傳統(tǒng)MMSE 檢測算法將更加復(fù)雜；同時，隨著基站端接收天線和用戶數(shù)量的增加，直接對矩陣求逆的計算復(fù)雜度為較高的O(M3)。因此，傳統(tǒng) MMSE 檢測算法難以滿足大規(guī)模MIMO-TRDMA 系統(tǒng)中信號檢測的實時性要求。

3 改進(jìn)SOR 信號檢測算法

本節(jié)首先證明了大規(guī)模MIMO-TRDMA 系統(tǒng)的MMSE 加權(quán)矩陣具有對稱正定的特性，這是SOR算法的基礎(chǔ)；然后給出了所提出改進(jìn)SOR 算法的基本原理；最后證明了所提算法的收斂性，以確保其實際可行性。

3.1 對稱正定證明

將式(5)中的復(fù)數(shù)系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的實值模型

在式(11)的實數(shù)系統(tǒng)模型中，信道矩陣的轉(zhuǎn)置和信道矩陣的共軛轉(zhuǎn)置結(jié)果相同。因此，可得

3.2 算法原理

3.2.1傳統(tǒng)SOR 算法原理

SOR 算法可用于求解N維線性方程組As=b，其中，矩陣A的維度是N×N，該矩陣是對稱的正定矩陣；s為N× 1維的解矢量；b為N× 1維的測量矢量。傳統(tǒng)MMSE 算法直接計算A-1b得到s，而SOR 算法通過高效地更新求解線性方程，能夠避免復(fù)雜的矩陣求逆計算。由于矩陣A是對稱的正定矩陣，可將其分解為對角線形分量DA，嚴(yán)格的下三角形分量LA和嚴(yán)格的上三角形分量SOR算法的更新形式為

其中，上標(biāo)k表示更新次數(shù)，α表示松弛參數(shù)，可以根據(jù)松弛參數(shù)確定算法的收斂效率和收斂速度。當(dāng)α=1時，SOR 算法等價于Gauss-Seidel 算法，可以看出，Gauss-Seidel 算法是SOR 算法的特例。

由于上行大規(guī)模 MIMO-TRDMA 系統(tǒng)中的MMSE 加權(quán)矩陣具有對稱正定的特性，因此，可用SOR 算法以較低的計算復(fù)雜度高效求解式(9)。將大規(guī)模MIMO-TRDMA 系統(tǒng)的MMSE 加權(quán)矩陣分解為

3.2.2改進(jìn)SOR 算法原理

傳統(tǒng)SOR 算法具有性能近似最佳、收斂速度較快和計算復(fù)雜度較低等優(yōu)勢，但存在初始收斂性能較差的缺點；而SD 算法具有在初始更新時就可獲得較好收斂方向的優(yōu)勢，但存在極值點附近收斂速度較慢的缺點。因此，結(jié)合SOR 算法和SD 算法的優(yōu)勢，提出低復(fù)雜度和高性能的改進(jìn)SOR 算法。將SD算法和SOR算法的第一次混合更新解設(shè)為改進(jìn)SOR 算法的第一次更新解，提高后續(xù)SOR 更新的搜索效率，獲得更快的收斂速度和更好的檢測性能。

進(jìn)一步地，將傳統(tǒng)SOR 算法和SD 算法第一次混合更新結(jié)果用SD 算法的更新形式表示為

為了減少更新次數(shù)，改進(jìn)SOR 算法的初始值不使用零矢量。而將SD 算法和SOR 算法第一次混合更新解設(shè)為改進(jìn)SOR 算法的第一次更新解，即。進(jìn)而，利用式(17)繼續(xù)進(jìn)行k-1次更新，通過設(shè)置更新次數(shù)k對發(fā)送信號矢量進(jìn)行估計。

3.3 改進(jìn)SOR 算法收斂性證明

改進(jìn)SOR 算法使用更新方式進(jìn)行信號檢測，算法的收斂性決定了算法的精度因而至關(guān)重要。因此，有必要分析和證明改進(jìn)SOR 算法的收斂性。

更新矩陣E的譜半徑定義為非負(fù)數(shù)，其中λn表示E的第n個特征值，式(22)收斂的充分必要條件是譜半徑滿足

根據(jù)特征值的定義，可得

其中，f是任意2M× 1維非零實值矢量，式(24)也可表示為

將式(25)左右兩邊同時乘以fT，可得

對式(26)左右兩邊同時進(jìn)行轉(zhuǎn)置，得到

將式(30)代入式(23)，可得ρ(E) <1，所以改進(jìn)SOR 算法是收斂的。

4 復(fù)雜度分析

本節(jié)以所需的實數(shù)乘法次數(shù)作為指標(biāo)，研究所提改進(jìn)SOR 算法的計算復(fù)雜度。傳統(tǒng)MMSE 算法、改進(jìn) SOR 算法和傳統(tǒng) SOR 算法都需要計算=HHY和U=V+σ2IM，在信號檢測時，這兩部分計算復(fù)雜度相同，因此，僅對檢測算法的其他部分進(jìn)行分析。傳統(tǒng)SOR 算法的復(fù)雜度僅為SOR 更新，而改進(jìn)SOR 算法的復(fù)雜度包括初始賦值和SOR 更新兩部分。初始賦值和SOR 更新的復(fù)雜度分析具體如下。

1) 初始賦值

2) SOR 更新

綜上所述，傳統(tǒng) SOR 算法的復(fù)雜度為4kM2+4kM，而所提改進(jìn)SOR 算法總復(fù)雜度為4(k+1)M2+4kM+6M。當(dāng)更新次數(shù)為k=3、k=4和k=5時，所提改進(jìn)SOR 算法和傳統(tǒng)SOR算法的計算復(fù)雜度的對比如表1 所示。從表1 可知，與傳統(tǒng)SOR 算法相比，所提改進(jìn)SOR 算法的計算復(fù)雜度有所增加，但是，其計算復(fù)雜度仍比傳統(tǒng)MMSE算法少一個數(shù)量級；盡管如此，當(dāng)改進(jìn)SOR 算法收斂（k=5）且BER=10-5時，其檢測性能比傳統(tǒng)SOR 算法的BER 性能提升了至少4 dB，如圖3 所示。

圖3 算法檢測性能隨信噪比對比

表1 計算復(fù)雜度的對比

5 仿真與分析

為了驗證所提改進(jìn)SOR 算法的檢測性能，使用MATLAB 軟件進(jìn)行仿真驗證。采用誤比特率作為檢測性能的評估參數(shù)，對傳統(tǒng)MMSE 算法、傳統(tǒng)SOR 算法和所提改進(jìn)SOR 算法的檢測性能進(jìn)行蒙特卡洛仿真實驗。大規(guī)模MIMO-TRDMA 系統(tǒng)中接收天線數(shù)設(shè)為Nr=128，用戶數(shù)設(shè)為M=32，采用64-正交振幅調(diào)制方案。將所提方案應(yīng)用于IEEE 802.15.4a 的室外非視距場景中，信道增益為CSCG隨機(jī)變量，其均值為零且方差為，信道帶寬B=500 MHz，均方時延擴(kuò)展σT=100/B，采樣周期TS=1/B=2 ns，信道多徑數(shù)分別設(shè)為L=8和L=10。

通過仿真確定最佳松弛參數(shù)，參數(shù)設(shè)置為：更新次數(shù)k=3，SNR=4 dB。所提改進(jìn)SOR 算法的BER性能與松弛參數(shù)α之間的關(guān)系如圖4 所示。最佳松弛參數(shù)是對應(yīng)BER 最小值的松弛參數(shù)。由圖4(a)可知，當(dāng)L=8時，傳統(tǒng)SOR 算法BER 最小值為3.01 ×10-2，對應(yīng)最佳松弛參數(shù)α=1.1；而改進(jìn)SOR算法BER 最小值為2.30 ×10-3，對應(yīng)最佳松弛參數(shù)α=1.2。由圖4(b)可知，當(dāng)L=10時，傳統(tǒng)SOR 算法BER 最小值為1.52 ×10-2，對應(yīng)最佳松弛參數(shù)α=1.1；而改進(jìn)SOR 算法BER 最小值為3.96 ×10-4，對應(yīng)最佳松弛參數(shù)α=1.2。因此，在后面的仿真實驗中，傳統(tǒng)SOR 算法的松弛參數(shù)設(shè)為α=1.1，改進(jìn)SOR 算法的松弛參數(shù)設(shè)為α=1.2。

圖4 所提算法性能與松弛參數(shù)之間的關(guān)系

大規(guī)模MIMO-TRDMA 系統(tǒng)中，傳統(tǒng)MMSE算法、傳統(tǒng)SOR 算法和所提改進(jìn)SOR 算法的BER性能對比結(jié)果如圖3 所示。從圖3(a)可以看出，當(dāng)更新次數(shù)k=3時，改進(jìn)SOR 算法與MMSE 算法之間存在較大差距，但性能優(yōu)于傳統(tǒng)SOR 算法；當(dāng)更新次數(shù)k=4時，改進(jìn)SOR 算法和傳統(tǒng)SOR 算法的BER 性能較更新次數(shù)k=3時都有所提升，但仍與MMSE 算法存在一定差距，同時，改進(jìn)SOR 算法的BER 性能同樣優(yōu)于傳統(tǒng)SOR 算法；當(dāng)更新次數(shù)k=5時，改進(jìn)SOR 算法與傳統(tǒng)SOR 算法的性能持續(xù)提升，此時，改進(jìn)SOR 算法與MMSE 算法的BER性能相當(dāng)，同時優(yōu)于傳統(tǒng)SOR 算法的性能。綜上，當(dāng)更新次數(shù)k相同時，改進(jìn)SOR 算法的性能優(yōu)于傳統(tǒng)SOR 算法。這是因為改進(jìn)SOR 算法將SD 算法和SOR 算法的第一次混合更新解設(shè)為第一次更新解，提高后續(xù)SOR 更新的搜索效率，具有更快的收斂速度和更好的檢測性能。當(dāng)更新次數(shù)k較少時，改進(jìn)SOR 算法與MMSE 算法之間的性能存在一定差距；當(dāng)更新次數(shù)k較多時，改進(jìn)SOR 算法可以取與MMSE 算法相當(dāng)?shù)臋z測性能。這是由于改進(jìn)SOR算法通過更新求解線性方程組代替復(fù)雜的矩陣求逆計算，需要通過多次更新才能獲得近似MMSE算法的BER 性能。同樣，從圖3(b)可以得出相同結(jié)論。

大規(guī)模MIMO-TRDMA 系統(tǒng)中，改進(jìn)SOR 算法和傳統(tǒng)SOR 算法的收斂性能對比結(jié)果如圖5 所示。從圖5(a)可以看出，當(dāng)更新次數(shù)k為確定值時，改進(jìn)SOR 算法和傳統(tǒng)SOR 算法的BER 性能都隨著SNR 的增加而明顯降低；當(dāng)SNR 確定時，改進(jìn)SOR算法和傳統(tǒng)SOR 算法的BER 性能隨著更新次數(shù)的增多都趨近收斂。因為改進(jìn)SOR 算法能夠提高后續(xù)SOR 更新的搜索效率，具有更快的收斂速度和更好的檢測性能。當(dāng)SNR 為一確定值時，改進(jìn)SOR算法比傳統(tǒng)SOR 算法的收斂速度快，具體來說，改進(jìn)SOR 算法的收斂次數(shù)為k=5，SNR 變化對算法的收斂次數(shù)無影響；而傳統(tǒng)SOR 算法的收斂次數(shù)為k=8，SNR 變化對算法的收斂次數(shù)無影響。此外，在SNR 為一個確定值的前提下，當(dāng)更新次數(shù)小于收斂次數(shù)時，改進(jìn)SOR 算法的BER 性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)SOR 算法。同樣，從圖5(b)可以得出相同結(jié)論。

圖5 算法收斂性能對比

6 結(jié)束語

在大規(guī)模MIMO-TRDMA 系統(tǒng)中，傳統(tǒng)MMSE算法可獲得近似最佳的檢測性能，但其所需的矩陣求逆計算復(fù)雜度過高，無法確保信號檢測的實時處理。因此，本文提出一種改進(jìn)SOR 信號檢測算法。該算法通過更新求解線性方程組，避免復(fù)雜的矩陣求逆計算；同時，將SD 算法和SOR 算法的第一次混合更新解設(shè)為改進(jìn)SOR 算法的第一次更新解，以獲得后續(xù)SOR 更新的高效搜索方向。仿真結(jié)果表明，所提算法能以較少的更新次數(shù)獲得與傳統(tǒng)MMSE 算法相當(dāng)?shù)慕谱罴研阅?，且計算?fù)雜度為較低的O(M2)。因此，所提改進(jìn)SOR 算法能夠在檢測性能和計算復(fù)雜度之間取得良好的折衷。