聶雪媛，鄭冠男，楊國偉

(中國科學(xué)院力學(xué)研究所 流固耦合系統(tǒng)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190）

氣動(dòng)力與柔性結(jié)構(gòu)相互作用會(huì)產(chǎn)生氣動(dòng)彈性，顫振是氣動(dòng)彈性領(lǐng)域中最危險(xiǎn)的一類動(dòng)不穩(wěn)定現(xiàn)象，極易引發(fā)災(zāi)難性事故。顫振主動(dòng)控制技術(shù)是目前研究最多的顫振抑制方法，一般是通過在機(jī)翼上布置多個(gè)控制面，控制其偏轉(zhuǎn)改變作用在機(jī)翼上的氣動(dòng)力，以達(dá)到抑制顫振的目的。

主動(dòng)控制氣動(dòng)彈性系統(tǒng)包含作動(dòng)器、傳感器、控制器和數(shù)字濾波器等元器件，其動(dòng)態(tài)特性會(huì)導(dǎo)致最終作用于結(jié)構(gòu)的控制力產(chǎn)生時(shí)滯［1-2］。時(shí)滯會(huì)破壞控制器的控制性能，甚至導(dǎo)致被控系統(tǒng)失穩(wěn)。在氣動(dòng)彈性領(lǐng)域，已有學(xué)者對此現(xiàn)象展開了研究。國內(nèi)，Zhao［3］對不可壓流場反饋通道存在延時(shí)的翼型氣彈穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，指出在飛行器氣動(dòng)伺服彈性設(shè)計(jì)時(shí)，不可忽略時(shí)滯影響。Huang等［4］分析了輸入延時(shí)對不可壓流場的飛行器穩(wěn)定性的影響，并提出了一種最優(yōu)控制方法抑制顫振。Cai等［5-6］針對前向通道存在時(shí)延，采用控制和滑模變結(jié)構(gòu)控制方法對二元翼型顫振進(jìn)行控制，指出不考慮時(shí)滯所設(shè)計(jì)的控制器無法有效抑制延時(shí)系統(tǒng)的顫振。Xu等［7］研究了超聲速下時(shí)滯對氣動(dòng)彈性系統(tǒng)顫振邊界穩(wěn)定性的影響。國外，Ramesh和Narayanan［8］對超聲速下反饋通道存在時(shí)滯的翼型，設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制方法。Marzocca等［9］研究了考慮時(shí)滯存在時(shí)，對線性和非線性控制器作用下的二維翼型氣動(dòng)彈性系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。Araujo和Santos［10］采用Smith預(yù)估方法研究了對控制通道存在不同時(shí)滯的顫振抑制效果。

就目前已有文獻(xiàn)來看，針對考慮時(shí)滯的顫振主動(dòng)控制研究幾乎都集中在亞、超聲速域，氣動(dòng)力計(jì)算基于線化氣動(dòng)力模型，結(jié)構(gòu)視為線性結(jié)構(gòu)。然而，現(xiàn)代民用／軍用飛機(jī)大都以跨聲速巡航，激波位置對結(jié)構(gòu)響應(yīng)影響敏感，較為精確的模擬氣動(dòng)力非線性的方法是計(jì)算流體力學(xué)(CFD），但該方法計(jì)算量太大，且難以用于控制器設(shè)計(jì)。此外，機(jī)翼控制面的鉸鏈處普遍具有間隙，會(huì)引起剛度非線性現(xiàn)象［2］，間隙非線性對氣動(dòng)彈性有顯著影響，在分析帶控制面的機(jī)翼顫振問題時(shí)，必須加以考慮。

針對以上問題，本文基于氣動(dòng)力降階模型(Reduced Order Model，ROM）技術(shù)，以含間隙非線性的二維翼型為對象，對輸入信號(hào)存在延時(shí)的控制系統(tǒng)展開了跨聲速機(jī)翼顫振時(shí)滯反饋主動(dòng)控制方法的研究。通過狀態(tài)變換，將時(shí)滯被控系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為不顯含時(shí)滯的狀態(tài)方程，進(jìn)行最優(yōu)時(shí)滯反饋控制。在數(shù)值仿真中，采用自適應(yīng)時(shí)間步長以準(zhǔn)確捕捉結(jié)構(gòu)間隙切換點(diǎn)。

1 基于CFD／ROM 的氣動(dòng)彈性模型

在跨聲速域，CFD方法能提供精確的非定常氣動(dòng)力。本文通過CFD／CSD耦合方法，以白噪聲信號(hào)作為結(jié)構(gòu)位移輸入，通過系統(tǒng)辨識(shí)技術(shù)建立非定常氣動(dòng)力的自回歸滑動(dòng)平均(Auto Regressive Moving Average，ARMA）降階模型。

1.1 控制方程

氣動(dòng)力計(jì)算采用基于RANS的三維Navier-Stokes控制方程，守恒型的流動(dòng)方程可表示為

式中：Q為守恒向量；Gc和Gv分別為對流通量和黏性通量；S為控制體V的邊界面積；n為面的法向量；t為物理時(shí)間。

方程(1）對無黏項(xiàng)離散采用Roe格式，黏性項(xiàng)離散采用二階中心差分格式，時(shí)間推進(jìn)采用雙時(shí)間步。

1.2 結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

本文以含間隙非線性的帶控制面二維翼型(見圖1）作為研究對象，俯仰方向結(jié)構(gòu)剛度含有間隙非線性，非線性廣義“位移-力”關(guān)系如圖2所示。

圖1 帶控制面的二元翼型Fig.1 Two-dimensional airfoil with control surface

圖2 間隙非線性Fig.2 Free-play nonlinearity

式中：M代表回復(fù)力矩，ˉM(α）為分段線性函數(shù)，α為俯仰角；kα為俯仰方向的剛度系數(shù)；δ為間隙角閾值。

二元翼型的非線性控制方程可寫為

式中：h為沉浮位移；b為機(jī)翼半弦長；kh為沉浮方向剛度系數(shù)；m為機(jī)翼質(zhì)量；Iα為機(jī)翼慣性矩；xα為彈性軸到機(jī)翼重心的無量綱距離；L和M 分別為氣動(dòng)力和力矩。

其中：μ＝m／(ρπb2）；Ma∞＝U∞／a∞；Cl和Cm分別為升力和俯仰力矩系數(shù)；ρ為來流密度。

定義xs＝［ξ α］T，則式(4）可轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間形式：

1.3 基于ARM A的開環(huán)氣動(dòng)彈性模型

對于模型辨識(shí)而言，最重要的是激勵(lì)信號(hào)的選取。一般來說，要求激勵(lì)信號(hào)能夠激起被辨識(shí)系統(tǒng)所關(guān)心的所有頻段的信號(hào)。本文選取隨機(jī)信號(hào)作為結(jié)構(gòu)位移，與CFD耦合，計(jì)算得到在該激勵(lì)下的氣動(dòng)力輸出。對輸入白噪聲，輸出非定常氣動(dòng)力的信號(hào)采用系統(tǒng)辨識(shí)方法，選用ARMA差分模型對氣動(dòng)力建模。該模型具有時(shí)間域離散形式，如下：

式中：fa代表氣動(dòng)力向量；η為結(jié)構(gòu)位移輸入向量；A、B為要辨識(shí)的系統(tǒng)模型參數(shù)；na和nb分別為輸出和輸入的延遲階數(shù)。

方程(6）通過變量代換，可以化為狀態(tài)方程離散形式(見(7）），具體推導(dǎo)過程可詳見文獻(xiàn)［11］。

由于結(jié)構(gòu)方程為連續(xù)系統(tǒng)，需要對氣動(dòng)力離散結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為連續(xù)系統(tǒng)，通過雙邊變換，可得氣動(dòng)力的連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間為

將方程(5）與方程(8）耦合，可得開環(huán)氣動(dòng)彈性模型為

值得注意的是，從式(9）可以看出，該方程中系數(shù)矩陣Asa包含分段線性函數(shù)(α），因此該方程為非線性方程。由于間隙非線性屬于不光滑非線性，本文所研究的結(jié)構(gòu)具有2個(gè)切換點(diǎn)±δ(見圖2），若采用時(shí)間步長固定的龍格庫塔方法求解，將無法準(zhǔn)確捕捉到間隙非線性切換點(diǎn)的變化。為此，本文采用二分法［12］搜索切換點(diǎn)確定自適應(yīng)時(shí)間步長的龍格庫塔法對式(9）進(jìn)行求解。

2 時(shí)滯反饋主動(dòng)控制設(shè)計(jì)

2.1 時(shí)滯控制系統(tǒng)

對式(9）所描述的氣動(dòng)彈性模型，可通過控制面偏轉(zhuǎn)，其目的是引入附加氣動(dòng)力來抑制顫振。引入控制作用后的閉環(huán)氣動(dòng)彈性結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示(開關(guān)撥到1點(diǎn)，不考慮控制信號(hào)的延時(shí)）。

圖3 氣動(dòng)彈性系統(tǒng)閉環(huán)控制框圖Fig.3 Block diagram of closed-loop control of aeroelastic system

圖3中：β為控制面偏轉(zhuǎn)角，代表控制器輸出量，fca為控制面偏轉(zhuǎn)角偏轉(zhuǎn)引起的氣動(dòng)力。λ為時(shí)滯。該氣動(dòng)力模型采用1.3節(jié)方法建立了控制面偏轉(zhuǎn)氣動(dòng)力降階模型：

式中：xc為控制面偏轉(zhuǎn)狀態(tài)變量；Aca、Bca、Cca、Dca為該模型的系數(shù)矩陣。

將式(9）和式(10）合并，即可得廣義被控對象模型為

當(dāng)控制器存在時(shí)滯λ時(shí)(即在如圖3所示的控制系統(tǒng)中開關(guān)撥到點(diǎn)2），廣義被控對象模型可描述為

2.2 考慮時(shí)滯的控制方法設(shè)計(jì)

定義變量z(t）如下：

將該變量代入式(12a），由文獻(xiàn)［13］可知，式(12a）可變?yōu)椴伙@含時(shí)滯的系統(tǒng)：

可以證明，只要系統(tǒng)(12a）是完全可控的，則系統(tǒng)(14）也是完全可控的。

當(dāng)時(shí)滯λ已知時(shí)，式(14）所描述的系統(tǒng)為分段線性系統(tǒng)(考慮結(jié)構(gòu)間隙非線性，系數(shù)Asac為分段線性矩陣），本文對分段子系統(tǒng)采用最優(yōu)反饋控制，通過極小化式(15）所示的目標(biāo)函數(shù)，獲得控制器最優(yōu)控制量β。

式中：Γ和R分別為狀態(tài)變量和控制變量的加權(quán)矩陣。

控制器的輸出最優(yōu)控制量為

式中：P為Ricatti方程的解。

對式(14）所示的分段線性系統(tǒng)采用式(16）所示的最優(yōu)控制，即可實(shí)現(xiàn)顫振主動(dòng)控制。

由式(13）可知，實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)變量xsac的求解中包含了積分項(xiàng)s，對于任意時(shí)滯λ，總可以寫成λ＝lT－n，T為連續(xù)系統(tǒng)采樣周期，l為大于0的整數(shù)，0≤n＜T。在實(shí)際控制中，控制器輸出的控制量通過保持器將數(shù)字電路中的離散信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號(hào)，以零階保持器為例：

基于上述思路，通過積分變量替換，式(13）中的積分項(xiàng)可以用不同歷史采樣時(shí)刻的控制量來表示［14］。

由式(18）可以看出，系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)與控制量的歷史數(shù)據(jù)相關(guān)，而歷史數(shù)據(jù)的長度則取決于時(shí)滯λ的大小。

3 算例與分析

以圖1所示的含間隙非線性二元機(jī)翼為例［15-16］，考慮控制信號(hào)存在時(shí)滯，對跨聲速機(jī)翼顫振進(jìn)行主動(dòng)控制。該模型無量綱參數(shù)設(shè)置選自文獻(xiàn)［15］，如表1所示。計(jì)算工況為馬赫數(shù)Ma∞＝0.8，迎角為0°。

表1 模型無量綱參數(shù)Table 1 Non-dimensional parameters of model

以濾波白噪聲作為結(jié)構(gòu)位移，辨識(shí)得到非定常氣動(dòng)力離散模型(7），通過雙邊變換，最終得到連續(xù)狀態(tài)方程(8）。

為驗(yàn)證辨識(shí)模型的準(zhǔn)確性，先以常用的3211信號(hào)作為位移η的給定輸入，進(jìn)行CFD非定常氣動(dòng)力計(jì)算，并與模型(8）的計(jì)算輸出結(jié)果進(jìn)行比較，如圖4所示。

圖4 3211信號(hào)激勵(lì)下ROM和CFD計(jì)算的氣動(dòng)力結(jié)果比較Fig.4 Comparison of aerodynamic forces with ROM and CFD excited by 3211 signals

進(jìn)一步，按照文獻(xiàn)［15］設(shè)置初始擾動(dòng)，即選取結(jié)構(gòu)位移初值xs0＝［0 0.002 8 0 0.001］T，在Ma∞＝0.8U*＝1.48工況下，計(jì)算氣動(dòng)力降階模型與結(jié)構(gòu)耦合的開環(huán)氣彈模型(9）的響應(yīng)，并與CFD／CSD直接耦合得到的結(jié)果進(jìn)行比較，如圖5所示。可以看出，基于氣動(dòng)力降階模型得到的開環(huán)模型(9）具有較高計(jì)算精度，能夠替代CFD／CSD的直接耦合計(jì)算。

圖5 ROM和CFD結(jié)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)結(jié)果比較(Ma∞＝0.8U* ＝1.48）Fig.5 Comparison of structure response resultwith ROM and CFD(Ma∞＝0.8U* ＝1.48）

圖6給出了該工況下俯仰角的相軌跡?？梢钥闯?，俯仰角從初始位置(0.002 8，0.01）出發(fā)，在氣動(dòng)力的作用下逐漸向原點(diǎn)位置收斂，結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的。繼續(xù)增大U*，當(dāng)U*＝1.72時(shí)(文獻(xiàn)［15］在該工況初始條件下U*＝1.7），系統(tǒng)出現(xiàn)極限環(huán)振蕩，如圖7所示。

圖6 俯仰角相軌跡(Ma∞＝0.8U* ＝1.48）Fig.6 Phrase portrait of pitch angle at Ma∞＝0.8U* ＝1.48

針對圖7所發(fā)生的極限環(huán)振動(dòng)，采用控制面偏轉(zhuǎn)的方式加以控制。圖8為給定控制面板偏轉(zhuǎn)3211信號(hào)、CFD計(jì)算結(jié)果與白噪聲信號(hào)辨識(shí)得到的氣動(dòng)力模型(10）的結(jié)果比較。

圖7 俯仰方向極限環(huán)振蕩(Ma∞＝0.8U* ＝1.48）Fig.7 Limit-cycle oscillation of pitch at Ma∞＝0.8U* ＝1.48

圖8 3211信號(hào)控制面偏轉(zhuǎn)輸入控制面ROM和CFD計(jì)算的氣動(dòng)力結(jié)果比較Fig.8 Comparison of control surface aerodynamic forces with ROM and CFD excited by 3211 deflection input signals

若控制通道不存在時(shí)滯，即圖3所示開關(guān)接通觸點(diǎn)1，此時(shí)采用常規(guī)的最優(yōu)控制方法即可控制住顫振，如圖9所示?？刂破鬏敵隹刂屏康淖兓鐖D10所示?？紤]到系統(tǒng)(11）狀態(tài)的可觀測性，本算例對式(15）中的狀態(tài)加權(quán)矩陣Q選為對角陣，對角線元素為100，控制加權(quán)矩陣R設(shè)為50。

圖9 無時(shí)滯系統(tǒng)顫振控制效果Fig.9 Flutter control result for system without delay

圖10 閉環(huán)控制系統(tǒng)控制面偏轉(zhuǎn)角Fig.10 Control surface deflection of closed-loop control system

若圖3所示系統(tǒng)控制信號(hào)存在時(shí)滯，即開關(guān)接通觸點(diǎn)2，繼續(xù)采用不考慮時(shí)滯的控制方法，在時(shí)滯λ較小時(shí)，控制方法是有效的。但當(dāng)增大到一定值時(shí)(本算例中為無量綱時(shí)間0.37，T＝0.05），其控制后的系統(tǒng)響應(yīng)相軌跡如圖11所示?？梢钥闯?，即使控制面偏轉(zhuǎn)到最大可允許偏轉(zhuǎn)角，但結(jié)構(gòu)響應(yīng)的相軌跡在整個(gè)相平面發(fā)散，系統(tǒng)出現(xiàn)失穩(wěn)，控制方法失效。

圖11 時(shí)滯系統(tǒng)的無時(shí)滯控制相平面圖及控制面偏轉(zhuǎn)角Fig.11 Phase portrait of no delay control for system with time delay and corresponding control surface deflection

在這種情況下，采用本文提出的考慮延時(shí)設(shè)計(jì)的控制方法(16），對該系統(tǒng)進(jìn)行顫振控制，此時(shí)l＝8，m ＝0.03，控制后的結(jié)構(gòu)位移相軌跡如圖12所示。

從圖12可以看出，在控制作用下，翼型位移從初始狀態(tài)，出發(fā)，在相平面內(nèi)其運(yùn)動(dòng)軌跡形成一條封閉曲線，收斂于各自的平衡態(tài)(0，0）。

圖12 考慮時(shí)滯的控制器對時(shí)滯系統(tǒng)顫振控制的相平面圖及控制面偏轉(zhuǎn)角(λ＝0.37）Fig.12 Phase portrait of flutter control for system with time delay exerted by controller designed with time delay and corresponding control surface deflection atλ＝0.37

繼續(xù)增大時(shí)滯，圖13為無量綱時(shí)滯λ＝1.6時(shí)，顫振控制的翼型位移相軌跡及控制面偏轉(zhuǎn)角。可以看出，考慮時(shí)滯設(shè)計(jì)的控制方法在大時(shí)滯下仍然有效。

圖13 考慮時(shí)滯的控制器對時(shí)滯系統(tǒng)顫振控制的相平面圖及控制面偏轉(zhuǎn)角(λ＝1.6）Fig.13 Phase portrait of flutter control for system with time delay exerted by controller designed with time delay and corresponding control surface deflection atλ＝1.6

4 結(jié)論

1）跨聲速下，以含間隙非線性的翼型為研究對象，對輸入信號(hào)存在時(shí)滯的閉環(huán)氣動(dòng)彈性系統(tǒng)顫振主動(dòng)控制方法進(jìn)行了研究?；诜嵌ǔ鈩?dòng)力降階模型結(jié)合間隙非線性具有分段線性的特點(diǎn)，建立了非線性被控氣動(dòng)彈性模型，通過引入含積分項(xiàng)的狀態(tài)變換，將時(shí)滯被控系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為無時(shí)滯系統(tǒng)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行最優(yōu)反饋控制設(shè)計(jì)，所設(shè)計(jì)的控制量考慮了時(shí)滯的影響。

2）使用針對無時(shí)滯系統(tǒng)所設(shè)計(jì)的控制方法，對存在時(shí)滯的系統(tǒng)進(jìn)行顫振主動(dòng)控制，其控制效果隨時(shí)滯增大而減弱，直到增大到某一臨界值(本算例為無量綱時(shí)間0.37）時(shí)，控制方法失效；本文提出的時(shí)滯反饋控制方法能有效地處理控制通道的時(shí)滯，實(shí)現(xiàn)顫振主動(dòng)抑制，可行性不受時(shí)滯大小的影響。

下一步工作將在此基礎(chǔ)上，考慮不確定時(shí)滯對氣動(dòng)彈性系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，時(shí)滯不再是事先確定的常數(shù)，應(yīng)研究如何設(shè)計(jì)控制方法提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。