戴洪德，鄭偉偉，鄭百東，戴邵武，王瑞

(海軍航空大學，煙臺 264001）

近年來，隨著微機電系統(tǒng)(Micro-Electro-Mechanical System，MEMS）的不斷發(fā)展，越來越多的MEMS慣性測量元件(IMU）開始出現(xiàn)在個人消費領域，并逐漸得到消費者及工程技術人員的關注。相比于傳統(tǒng)的慣性導航器件，MEMS加速度計具有體積小、成本低等優(yōu)勢，使得其在行人導航、醫(yī)療救援、影視制作等方面具有廣闊的應用前景［1］。盡管具有上述優(yōu)勢，MEMS加速度計也存在著測量精度較低的不足，這成為制約其發(fā)展的一個重要因素［2］。對于提高MEMS加速度計的測量精度，現(xiàn)階段主要有2個方向：①提高MEMS器件的制造和封裝精度；②對MEMS加速度計的測量參數(shù)進行標定，利用標定參數(shù)對測量誤差進行補償［3］。由于MEMS器件的制造和封裝精度受加工設備的精度所限，短期內(nèi)無法得到較大提高，研究人員主要將重點放在對MEMS加速度計進行標定這個研究方向。

對于MEMS加速度計的標定，較為成熟的方法是依托實驗室三軸高精度轉臺，使MEMS加速度計處于多個給定位置，通過對重力加速度輸入及加速度計輸出進行對比，從而標定出加速度計的各個參數(shù)，典型的多位置標定方法有六位置法［4］、十二位置法［5］及二十四位置法［6］等。盡管基于轉臺的多位置標定方法標定精度較高，但其標定時需要昂貴的高精度轉臺，標定時間長、程序復雜，不適用于消費級MEMS加速度計應用場景。

荷蘭學者L?tters等［7］提出一種無需依賴轉臺的標定方法，稱為模觀測標定法，利用三軸加速度計靜止時輸出的模值與重力加速度相等的原理建立方程組，將標定問題轉化為非線性方程組求解問題。進一步地，將非線性方程組左右兩端相減，構成以非線性方程組的解為自變量的非線性函數(shù)，當非線性函數(shù)通過迭代優(yōu)化取得最小值0時，即代表原非線性方程組有解，非線性函數(shù)此時的自變量即是非線性方程組的解。通過該方法，標定問題即可轉換成函數(shù)的優(yōu)化問題。在模觀測標定法原理的基礎上，瑞典學者Skog［8］、意大利學者Frosio［9］及加拿大學 者Qureshi［10］等采用牛頓迭代法優(yōu)化關于待標定參數(shù)的非線性函數(shù)，得到較高精度的標定效果。捷克學者Sipos［11］運用Levenberg-Marquardt算法和Thin-Shell算法優(yōu)化非線性函數(shù)，得到待標定參數(shù)，并將2種算法與MATLAB中的優(yōu)化函數(shù)fm inunc進行對比，驗證了2種算法的可行性，且兩者具有更高的求解效率。但上述算法由于計算中涉及求解海森矩陣及矩陣求逆運算，計算較為復雜且容易出現(xiàn)矩陣奇異問題。近年來，隨著計算機技術的快速發(fā)展，在求解非線性優(yōu)化問題領域中出現(xiàn)了很多智能優(yōu)化算法。粒子群優(yōu)化(PSO）算法［12-14］、遺傳算法［15-16］及自適應遺傳算法［17］等相繼應用到基于模觀測標定法原理的加速度計標定問題的求解中，為加速度計標定提供了新的思路。但遺傳算法存在計算量大、算法復雜、精度較低的問題，而PSO算法易陷入局部極點［18］。

Pan［19］于2012年提出一種新的群智能優(yōu)化算法，稱為果蠅優(yōu)化算法(Fruit Fly Optimization Algorithm，F(xiàn)OA），將其應用于企業(yè)財務困境模型的訓練并進行測試，具有很好的收斂性及分類預測能力。Dai等［20-21］通過增加象限判別條件改進果蠅優(yōu)化算法的尋參范圍，其中，文獻［21］將改進算法應用于艦船甲板IMU布局優(yōu)化問題，通過實驗驗證了算法的有效性，之后，文獻［22］又提出一種具有聯(lián)合搜索策略的增強果蠅優(yōu)化算法，該算法基于原算法提出協(xié)作組搜索及記憶搜索策略，并結合梯度下降法進行搜索，確保算法不陷入局部最優(yōu)，并用測試函數(shù)驗證了其魯棒性和收斂性。近年來，果蠅優(yōu)化算法及其改進型算法被廣泛應用于PID參數(shù)尋優(yōu)［23］、用電量預測［24］及無人機路徑規(guī)劃［25］等問題中，其實用性得到有效檢驗。由于果蠅優(yōu)化算法及其改進型算法原理簡單、計算量小并且尋優(yōu)精度高，這些優(yōu)點使得其在MEMS加速度計無轉臺標定中具有更好的應用效果及使用價值。

針對MEMS加速度計無轉臺標定問題，本文提出了一種基于改進果蠅優(yōu)化算法(Improved Fruit Fly Optimization Algorithm，IFOA）的MEMS加速度計無轉臺標定方法。首先，建立加速度計輸出模型，利用模觀測標定法建立含有加速度計待標定參數(shù)的非線性函數(shù)。然后，針對經(jīng)典果蠅優(yōu)化算法存在的只能搜索正參數(shù)及搜索步長固定的不足，對味道濃度判定值及搜索步長進行改進，提出改進型算法——IFOA，利用Rosen brock函數(shù)對IFOA及經(jīng)典果蠅優(yōu)化算法進行仿真測試，驗證了IFOA在參數(shù)尋優(yōu)范圍及尋優(yōu)精度方面的性能優(yōu)勢。最后，利用IFOA求解得到加速度計待標定參數(shù)，通過與牛頓迭代法和PSO算法進行對比，驗證了IFOA求解標定問題的精確性、穩(wěn)定性及快速性。

1 基于模觀測的MEMS加速度計標定

1.1 MEMS加速度計的輸出模型

MEMS加速度計在工作過程中的實際輸出值并不等于加速度輸入值，兩者存在一定的誤差。誤差包括確定性誤差和隨機誤差2類，確定性誤差主要由零偏、刻度因子、安裝誤差構成，是加速度計的主要誤差［26］。因此，主要針對這3項誤差的標定展開研究，并且假設安裝誤差角為小角度，因而加速度計的輸出模型可以近似寫為

為簡化表達，式(1）可以進一步寫為

1.2 模觀測標定法原理

模觀測標定法的基本原理是：在靜止條件下，三軸加速度計上輸出的加速度模值等于重力加速度的模值。該方法最早由荷蘭學者L?tters等［7］于1998年提出。三軸加速度計在靜止條件下，只感受地球的重力加速度，測量得到的比力輸出滿足如下關系：

對式(3）兩端同時取模值［17］，可以得到

根據(jù)式(4）可知，靜止條件下的加速度計輸出模值與姿態(tài)無關，恒等于當?shù)刂亓铀俣鹊哪Ｖ担?7］。根據(jù)式(2），可知

代入式(4），可得

對式(6）兩邊同時平方，得到

式(7）即為含有加速度計待標定參數(shù)的一個非線性方程，由于上述非線性方程具有多個待求解參數(shù)，需要建立多個非線性方程才能對所有參數(shù)進行求解。通過對加速度計靜態(tài)時多個位置的觀測，可以得到非線性方程組從而實現(xiàn)對所有參數(shù)的求解。而對非線性方程組的求解，可以進一步將其轉化為非線性函數(shù)優(yōu)化問題，式(7）轉化得到的代價函數(shù)［28］為

通過優(yōu)化方法，求解代價函數(shù)(8）的最優(yōu)值，代價函數(shù)取得最優(yōu)值時所得到的參數(shù)即是加速度計待標定參數(shù)。

在應用模觀測標定法進行加速度計靜態(tài)多位置標定時，加速度計標定的結果并不具有唯一性。根據(jù)式(6），不考慮噪聲的情況下，任意靜態(tài)位置加速度計輸出滿足：

整理可得

從式(11）可以得出，方程(9）的解并不唯一。

因此為保證標定結果的唯一性，通過對加速度計參數(shù)坐標系進行明確定義［29］，使安裝關系矩

下面證明采用上述形式Ka能夠使標定結果唯一。在不考慮噪聲的情況下，式(7）可以化簡為

記Ka的逆陣為

由式(13）解得Ma后，在已知Ka各元素符號的情況下，可以唯一求解各元素，由此可以唯一求解Ka，也即可以求解得到確定的加速度計待標定參數(shù)。

2 果蠅優(yōu)化算法及其改進

2.1 果蠅優(yōu)化算法

果蠅優(yōu)化算法由Pan［19］于2012年首次提出，是一種基于果蠅覓食行為推演出尋求全局優(yōu)化的群智能優(yōu)化新算法。果蠅通過敏銳的嗅覺搜尋周圍環(huán)境中的食物，并與果蠅群體中的其他個體共享味道濃度信息，通過比較得到擁有最佳味道濃度信息的果蠅位置，之后果蠅群體利用視覺向該位置飛去，隨后繼續(xù)展開搜索。果蠅群體搜索食物示意圖如圖1所示。

圖1 果蠅群體搜索食物示意圖Fig.1 Schematic diagram of food search by fruit fly group

圖1中，果蠅群體的規(guī)模為4，共進行N＋1次搜索，(Xij，Yij）代表每只果蠅的位置，i代表第i次搜索，j代表每次搜索中的第j只果蠅。第1次搜索中，4只果蠅從O點出發(fā)，分別通過嗅覺向4個位置飛去，通過計算和比較，得到果蠅4所在的位置(X14，Y14）為第1次搜索最佳味道濃度位置(假設每次搜索果蠅4所在位置均為最佳味道濃度位置），因此所有果蠅利用視覺向果蠅4所在位置(X14，Y14）飛去，隨后果蠅群體從位置(X14，Y14）開始第2次搜索。以此類推，最后圖1中的每個黑色球即代表每次搜索的最佳味道濃度位置，每條黑色有向線段即代表每次搜索的最佳飛行路徑，所有黑色有向線段就構成了果蠅群體搜尋食物的最佳飛行路徑，最終果蠅群體搜尋到食物。

果蠅優(yōu)化算法的計算步驟如下：

步驟1根據(jù)問題求解需要設定果蠅群體的規(guī)模n、迭代次數(shù)Maxgen或者求解精度ε，并隨機初始化果蠅群體的位置信息(X＿axis，Y＿axis）。

步驟2對果蠅群體的每個個體賦予隨機的搜索方向和距離：

步驟3計算群體中每只果蠅的味道濃度判定值，其大小為果蠅個體與原點距離Disti的倒數(shù)：

步驟4將得到的味道濃度判定值分別代入到味道濃度判定函數(shù)中，求出每個果蠅所處位置的味道濃度。

步驟5通過比較找到果蠅群體中的最小味道濃度及其所對應的最佳位置。

步驟6記錄本次尋優(yōu)得到的最小味道濃度，群體中的所有果蠅利用視覺向最佳位置飛去，作為下一次迭代尋優(yōu)的初始位置。

步驟7進行下一次迭代尋優(yōu)，重復上述步驟，每代得到的最小味道濃度與上一代進行對比，若小于上代，則繼續(xù)執(zhí)行步驟6，否則重新執(zhí)行步驟2～步驟5，直到達到設定的迭代次數(shù)或者優(yōu)化精度。

通過設定多組果蠅群體，使其進行同時搜索，就可以實現(xiàn)對具有多參數(shù)的非線性函數(shù)的優(yōu)化求解。

2.2 改進果蠅優(yōu)化算法

由2.1節(jié)算法步驟可以看到，果蠅優(yōu)化算法中味道濃度判定值為距離的倒數(shù)，將其應用于標定參數(shù)求解中時，最終解得的值即為加速度計待標定的參數(shù)。在實際應用中，待標定的參數(shù)既有正數(shù)也有負數(shù)，而味道濃度判定值根據(jù)算法設定只能為正值，因此需要對果蠅優(yōu)化算法進行改進才可適用于加速度計標定參數(shù)求解。

另一方面，在Pan［19］提出的果蠅優(yōu)化算法中，其搜索Random Value步長只在固定取值范圍(－1，1）之間，即搜索半徑固定為1，這就導致對于不同的實際問題，搜索半徑可能出現(xiàn)不匹配的情況。搜索半徑如果相對初值來說過小，則其對味道濃度判定值的影響很小，會導致算法陷入局部最優(yōu)；而當搜索半徑相對初值來說過大時，會出現(xiàn)過早收斂，求解精度降低。針對上述不足，提出改進型算法——IFOA，對步驟2中個體搜索方式改進如下：

式中：Δ為初始化時設定的搜索半徑；α為搜索半徑權重系數(shù)，α∈(0，1）；p為精確度系數(shù)，其計算方式如下：

其中：Smellbest為尋優(yōu)得到的最小味道濃度；σ為精確度閾值；［·］為取整函數(shù)。

對步驟3中味道濃度判定值的計算方法改進如下：

上述IFOA相比于果蠅優(yōu)化算法的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在以下2點：

1）通過設置αp，使原先的固定半徑搜索轉化為可變半徑搜索，當最小味道濃度Smell best大于設定的精確度閾值σ時，仍以固定半徑進行搜索；而當Smell best小于設定的精確度閾值σ時，精確度系數(shù)p將隨著Smellbest的變小而變大，從而使搜索半徑不斷縮小，有效避免了固定半徑搜索容易出現(xiàn)的早熟收斂現(xiàn)象，從而保證了IFOA兼具全局優(yōu)化性能和局部優(yōu)化性能。

2）用Xi替換1／Disti作為味道濃度判定值Si，使得Si取值范圍變?yōu)?－∞，＋∞），從而實現(xiàn)算法對于負參數(shù)的求解。

IFOA流程如圖2所示。

圖2 IFOA流程Fig.2 Flowchart of improved fruit fly optimization algorithm

上述算法是針對單參數(shù)的非線性函數(shù)進行優(yōu)化的IFOA，而對于具有多參數(shù)的非線性函數(shù)優(yōu)化問題，如加速度計標定問題，就需要在算法中設置多個果蠅種群，使每個果蠅種群搜索一個參數(shù)，多個種群同時進行搜索時，就可以對多參數(shù)的非線性函數(shù)進行優(yōu)化，并求解得到多個待定參數(shù)。多種群IFOA示意圖如圖3所示。

在圖3中，果蠅群體的規(guī)模為4，(Xikj）代表每只果蠅的位置，i代表第i次搜索，k代表第k組果蠅種群，j代表每組種群中第j只果蠅，S1～Sk表示k個參數(shù)。

圖3 多種群IFOA示意圖Fig.3 Schematic diagram of multi-population improved fruit fly optimization algorithm

第1次搜索中，所有組果蠅種群中的4個果蠅都同時搜索隨機距離，得到每只果蠅的位置(X1kj）值。首先取各組種群中果蠅1的值作為參數(shù)的值，即(S1，S2，…，Sk）＝(X111，X121，…，X1k1），代入代價函數(shù)Function中得到Smell11，之后依次取各組種群中果蠅2、果蠅3、果蠅4重復上述計算，共得到Smell11、Smell12、Smell13、Smell14四個味道濃度值，找出其中的最小味道濃度值，同時記錄取得最小味道濃度值時對應的值(即1，2，3，4中的其中一個值），并將(X11j，X12j，…，X1kj）作為下次搜索的初始值，隨后重復上述過程開始進行迭代搜索，直到達到設定迭代次數(shù)或者尋優(yōu)精度，由此可對多參數(shù)非線性函數(shù)進行優(yōu)化求解。盡管算法在比較尋優(yōu)的過程中，會存在參數(shù)間互相干擾的問題，但由于算法搜索的隨機性和廣泛性，該問題不會影響最終的優(yōu)化結果。

2.3 仿真分析

IFOA相比于果蠅優(yōu)化算法具有參數(shù)尋優(yōu)范圍擴大及尋優(yōu)精度提升的優(yōu)勢，下面以Rosen brock函數(shù)對IFOA進行測試。Rosen brock函數(shù)的數(shù)學形式為

此函數(shù)為典型的非凸函數(shù)，主要應用于測試優(yōu)化算法的尋優(yōu)性能。當D＝3時，此函數(shù)只有一個最小值，在(x1，x2，x3）＝(1，1，1）處取得，因此這里取D＝3進行算法測試［30］。

為使該函數(shù)適用于所述算法的對比分析，對該函數(shù)的表達式進行適當修改，使其在(x1，x2，x3）＝(－1，－1，－1）時取得最小值0。修改后的函數(shù)表示如下：

為更好對比IFOA的性能，分別對果蠅優(yōu)化算法、全參數(shù)果蠅優(yōu)化算法及全參數(shù)變步長果蠅優(yōu)化算法進行對比分析。其中，全參數(shù)果蠅優(yōu)化算法只是對果蠅優(yōu)化算法改進了參數(shù)的尋優(yōu)范圍，僅具有全局參數(shù)(－∞，＋∞）搜索的性能，而全參數(shù)變步長果蠅優(yōu)化算法即是提出的IFOA，具有全局參數(shù)搜索及可變步長2種性能。在相同的條件下，分別使用上述3種果蠅優(yōu)化算法對修改后的Rosen brock函數(shù)進行尋優(yōu)測試，得到三者的收斂曲線如圖4所示。

圖4 三種果蠅優(yōu)化算法收斂曲線Fig.4 Convergence curves of three fruit fly optimization algorithms

為定量比較，對3種果蠅優(yōu)化算法進行100次蒙特卡羅仿真，3種算法計算得到的最優(yōu)值、對應參數(shù)的平均值及最優(yōu)值、對應參數(shù)的均方根誤差分別如表1和表2所示。

表1 三種果蠅優(yōu)化算法計算得到的平均值Table 1 Calculated mean of three fruit fly optimization algorithms

表2 三種果蠅優(yōu)化算法計算得到的均方根誤差Table 2 Calculated root mean square error of three fruit fly optimization algorithm s

由圖4、表1和表2可以看出，在收斂速度方面，定義的全參數(shù)果蠅優(yōu)化算法及全參數(shù)變步長果蠅優(yōu)化算法具有更快的收斂速度，兩者迭代到第10代之后就可以收斂到理想的精度，而果蠅優(yōu)化算法收斂速度較慢，且優(yōu)化過程中容易受到局部最優(yōu)值的干擾，從而出現(xiàn)階梯狀的優(yōu)化收斂曲線；在優(yōu)化精度方面，由于果蠅優(yōu)化算法參數(shù)無法收斂到－1，無法達到最優(yōu)值，基本失去優(yōu)化效果。而對于后2種算法，由于具有全局參數(shù)搜索性能，參數(shù)能夠收斂到接近－1，其最優(yōu)值也能達到理想精度，具有較好的優(yōu)化效果。特別地，相比于全參數(shù)果蠅優(yōu)化算法，全參數(shù)變步長果蠅優(yōu)化算法由于又具有可變步長的性能，其最優(yōu)值的計算精度提升了3個數(shù)量級，且參數(shù)值更接近－1，均方根誤差更小。在計算量方面，由于果蠅優(yōu)化算法的復雜度主要與種群數(shù)量和迭代次數(shù)有關，而全參數(shù)變步長果蠅優(yōu)化算法在這2個參數(shù)方面均未改變，上述對果蠅優(yōu)化算法的改進不會增加復雜度。而在實際測試中，由于后2種算法用Xi直接替換了作為味道濃度判定值，運行時只需生成Xi的隨機步長，而無需生成Yi的隨機步長并且減少了對Yi計算，后2種算法計算量更小，運行時間更短。果蠅優(yōu)化算法、全參數(shù)果蠅優(yōu)化算法和全參數(shù)變步長果蠅優(yōu)化算法的平均運行時間分別為0.23 s、0.16 s和0.20 s。

3 基于IFOA的MEMS加速度計標定

為驗證IFOA在加速度計標定方面的有效性，模擬了12個靜態(tài)位置下加速度計的輸入、輸出數(shù)據(jù)，分別運用牛頓迭代法、PSO算法及IFOA進行仿真，并對仿真結果進行對比分析。其中，IFOA的參數(shù)設置為Δ＝1×104，α＝0.25，σ＝100，n＝10，k＝9，共有果蠅90個，PSO算法的粒子數(shù)為90，3種算法的優(yōu)化精度均設置為ε＝1×10－10。為避免結果的偶然性，對上述3種算法分別進行多次仿真實驗，并取標定成功結果的平均值進行對比，仿真得到的加速度計各參數(shù)標定結果及標定誤差如表3所示。

表3 三種優(yōu)化算法加速度計各參數(shù)標定結果及標定誤差Table 3 Calibration results and calibration errors of three optimization algorithms for param eters of accelerometer

從表3的標定結果及相應標定誤差可以看出，在給定求解精度下，牛頓迭代法能夠標定出加速度計的各參數(shù)，并且在刻度因子標定方面效果較好，但其在安裝誤差及零偏標定方面效果一般。而PSO算法與IFOA均作為智能群搜索算法，對于加速度計各參數(shù)均具有較好的標定效果，標定誤差較小，達到了較理想的水平。相比于牛頓迭代法，兩者在安裝誤差和零偏參數(shù)標定方面精確度提升了1～3個數(shù)量級。

三種算法進行標定的平均運行時間及其成功率如表4所示。

表4 三種優(yōu)化算法標定平均運行時間及成功率Table 4 Average calibration time and success rate of three optimization algorithm s

從表4可以看出，在給定求解精度下，牛頓迭代法的平均運行時間為8.36 s，但由于在標定過程中牛頓迭代法容易出現(xiàn)矩陣奇異現(xiàn)象，導致優(yōu)化問題無法求解，標定成功率為70%，牛頓迭代法應用于加速度計無轉臺標定具有一定的局限性。而PSO算法平均運行時間為12.56 s，盡管標定過程中不存在矩陣奇異問題，但容易出現(xiàn)早熟收斂的問題，導致標定成功率為66%。IFOA平均運行時間為7.09 s，由于在標定過程中不存在矩陣奇異及早熟收斂的問題，標定成功率為100%。因此，相比于牛頓迭代法和PSO算法，IFOA具有更少的運行時間及穩(wěn)定性。

盡管IFOA在參數(shù)標定精確度方面比牛頓迭代法有所提升，在運行時間方面比PSO算法有所提高，但其參數(shù)標定精確度與PSO算法相比沒有明顯提高，運行時間與牛頓迭代法相比也沒有明顯縮短，主要是因為算法僅設置了單一的搜索半徑。這個算法局限性導致不同數(shù)量級的待標定參數(shù)，在搜索初期需要較長的時間才能收斂到各自的真值附近，同時這也導致不同參數(shù)在各自真值附近的波動范圍較大，難以進一步提高標定精確度。在下一步的研究中，可以考慮在算法中針對不同數(shù)量級的待標定參數(shù)，設置不同數(shù)量級的搜索半徑，從而使標定參數(shù)能夠迅速收斂到真值附近，同時也能夠?qū)?shù)收斂的波動范圍進行一定限制，提高標定精確度。

4 結論

1）提出的IFOA相比于果蠅優(yōu)化算法具有參數(shù)搜索范圍廣、收斂速度快、優(yōu)化精度高、運行時間短的性能優(yōu)勢。

2）對加速度計標定的仿真結果顯示，IFOA相比于牛頓迭代法在求解精度方面提高了1～3個數(shù)量級；由于不存在矩陣奇異及早熟收斂的問題，IFOA在運行穩(wěn)定性方面比牛頓迭代法和PSO算法分別提高了30%和34%，在運行時間方面分別減小了15.2%和43.6%。對于算法存在的局限性，在后續(xù)的研究中可以考慮設計多搜索半徑算法，對不同標定參數(shù)設置不同搜索半徑，從而進一步提高IFOA的標定精確度并縮短運行時間。

3）提出的基于IFOA的MEMS加速度計無轉臺標定方法具有精度高、穩(wěn)定性好、解算時間短的優(yōu)點，且無需依賴高精度轉臺，適用范圍廣、成本低，在消費級MEMS加速度計簡易標定方面具有良好的應用價值。