廣東省深圳市寶安區(qū)上屋小學(xué) 鄧庭燕

度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是人們創(chuàng)造出來認(rèn)識數(shù)學(xué)、進(jìn)而認(rèn)識現(xiàn)實世界的工具。線段的長度是一切度量的出發(fā)點，長度的測量是小學(xué)階段對于一維空間的第一次定量刻畫；面積是對二維空間的定量刻畫，在小學(xué)階段主要是指平面圖形的大?。惑w積則是標(biāo)志三維圖像大小的數(shù)。無論是一維、二維還是三維空間的刻畫，最終都落在數(shù)值上，如包含標(biāo)準(zhǔn)單位的個數(shù)多，則度量對象就會“長一些、大一些”。定量刻畫的過程就是從形象到抽象、從直覺到推理的過程，可以幫助學(xué)生逐步感悟度量的本質(zhì)，提升空間觀念，建立量感。

一、單元教材分析

“面積”單元安排在北師大版數(shù)學(xué)三年級下冊第五單元，是“圖形與幾何”領(lǐng)域中圖形測量方面的內(nèi)容，主要包括：面積和面積單位、長方形和正方形的面積、面積單位間的進(jìn)率、用所學(xué)的知識解決簡單的實際問題四部分內(nèi)容。在此之前，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了長度的測量過程，學(xué)習(xí)了周長，總結(jié)出了長方形、正方形的周長計算公式，有一定的測量經(jīng)驗。面積的認(rèn)識以及長方形、正方形面積測量的探索方法，都成為今后其他圖形測量的基礎(chǔ)知識和基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)體積的概念與測量提供了可遷移的知識經(jīng)驗。

“面積”這一單元是學(xué)生第一次定量刻畫二維圖形的大小，本單元強(qiáng)調(diào)學(xué)生對面積意義的理解，重視量的實際含義，以培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念為目標(biāo)。

教材將本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容按如下順序安排：認(rèn)識面積—認(rèn)識面積單位—用面積單位度量長方形的面積—用公式度量長方形的面積—估計面積大小—面積單位的換算。這樣的學(xué)習(xí)順序符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，順應(yīng)學(xué)生學(xué)習(xí)心理，是比較合理、合適的學(xué)習(xí)過程，因此本單元的學(xué)習(xí)我們將遵循這一學(xué)習(xí)順序，不做大的改變。在實際教學(xué)中，這樣的內(nèi)容安排和課時劃分也存在著一定的不足：

（一）對“度量”學(xué)習(xí)內(nèi)容沒有建立聯(lián)結(jié)

學(xué)生對于“長度”“面積”“體積”三個概念的學(xué)習(xí)，實際上就是從一維到二維再到三維的空間幾何的認(rèn)識過程，均屬于具體“度量（圖形與幾何部分）”的學(xué)習(xí)，都包含度量的概念，度量的單位，度量的工具，本質(zhì)上有相通之處，蘊含著相似的數(shù)學(xué)思想方法。從教材的對比分析看，三個概念的認(rèn)識經(jīng)歷了相同的學(xué)習(xí)過程，是按照定義—單位—計算—單位換算—應(yīng)用的順序來進(jìn)行的，遵循度量對象從一般到特殊，再到特定的學(xué)習(xí)模式。但是教材的編排過于孤立，缺乏知識間的聯(lián)系和對比，學(xué)生難以將面積的學(xué)習(xí)與長度的學(xué)習(xí)建立聯(lián)系，難以將現(xiàn)有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗遷移到后續(xù)的學(xué)習(xí)中，形成“類化”的結(jié)構(gòu)性知識，更難以發(fā)現(xiàn)度量知識的整體內(nèi)在關(guān)聯(lián)，形成完整的三維空間觀念。

（二）對“度量”課時編排缺乏結(jié)構(gòu)思考

“面積”單元是促使學(xué)生的思維從一維空間向二維空間轉(zhuǎn)化的核心內(nèi)容，是三維空間學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，起著承上啟下的作用。面積單位的構(gòu)建相對于長度單位的構(gòu)建更利于學(xué)生對度量思想的感悟，也可以為學(xué)生后繼學(xué)習(xí)體積的度量、角的度量打好基礎(chǔ)。但是教材中“面積”單元的課時編排孤立，對測量知識的思考局限于點狀認(rèn)識，并未建立針對測量知識的結(jié)構(gòu)性思考，僅僅著眼于面積的概念、面積單位，度量面積的工具中的其一或其二，不利于學(xué)生以整體的眼光學(xué)習(xí)“面積”單元，學(xué)生難以進(jìn)一步對度量學(xué)習(xí)的模式有整體的感知。

（三）對“度量”知識缺乏本質(zhì)性理解

在比較兩個圖形面積的環(huán)節(jié)中，教材中有讓學(xué)生用小正方形擺一擺的方法提示，但在比較兩個面的大小時，擺正方形并非學(xué)生的首選和最優(yōu)方法，此方法在教學(xué)中并沒有得到足夠的重視。后續(xù)在認(rèn)識長方形面積的教學(xué)中也有提到擺方格的方法，但在教學(xué)中又快速過渡到面積公式環(huán)節(jié)，整個面積單元缺乏對測量知識體驗式感悟的編寫設(shè)計，學(xué)生缺乏足夠的測量知識的基本活動經(jīng)驗，導(dǎo)致缺乏對面積的本質(zhì)性理解。

二、學(xué)生情況分析

從前測、后測的數(shù)據(jù)與分析可以得出：學(xué)生在學(xué)習(xí)面積單元之前已經(jīng)對面積有生活經(jīng)驗和直覺的感知，大部分學(xué)生已經(jīng)知道面積指物體的哪部分，能與周長概念區(qū)分開。有的學(xué)生在解決問題的過程中會將周長公式與面積公式混淆錯用，我們認(rèn)為學(xué)生對兩者定義的錯誤理解不是主要原因，其根本原因在于學(xué)生雖然在二年級時學(xué)習(xí)了長度的測量，在三年級上冊認(rèn)識了周長，但不清楚測量學(xué)習(xí)的要點，缺乏度量的意識，缺乏對概念的本質(zhì)理解。通過對學(xué)生的學(xué)習(xí)認(rèn)知水平的整體評估，有助于將單元的內(nèi)容進(jìn)行科學(xué)的單元整體設(shè)計，助力學(xué)生對面積本質(zhì)的深度理解，實現(xiàn)學(xué)習(xí)能力的提升，根據(jù)學(xué)情，我們需要思考以下兩個問題：

（一）如何才能幫助學(xué)生深入理解面積的本質(zhì)

在平時的教學(xué)中，我們可以看出，學(xué)生將面積的定義背得滾瓜爛熟，但對概念的理解僅停留在記憶階段，對面積定義的本質(zhì)理解不夠準(zhǔn)確和全面；對圖形公式的計算記憶最深刻，對規(guī)則圖形的面積度量依賴于公式，但不知公式背后的道理。在教學(xué)中，有的教師往往抓住教材給的面積定義死摳字眼，但面積的定義并非最重要的，對于面積定義的理解是可以基于直覺的感知，不必追求嚴(yán)格的定義；還有的教師在教學(xué)中不夠重視用面積單位度量圖形的過程，過早地引入了公式計算，導(dǎo)致學(xué)生對面積度量過程印象不深，說不清楚為什么長方形的面積是長乘寬，這種過于強(qiáng)化公式而弱化對概念理解的現(xiàn)象，忽略了對面積本質(zhì)的追尋，這也是學(xué)生常會將長度與面積計算混淆的原因之一。那么，我們要如何調(diào)整教材例題和教學(xué)素材讓學(xué)生真正理解面積的本質(zhì)，為后續(xù)的遷移學(xué)習(xí)做好鋪墊呢？

（二）如何從度量角度建立“長度”“面積”“體積”的聯(lián)系，感悟度量的本質(zhì)

北師大版數(shù)學(xué)教材從二年級開始就設(shè)置了“測量”單元，但內(nèi)容只是介紹毫米、厘米、分米等，學(xué)生也只是經(jīng)歷了長度測量的過程，教材沒有介紹什么是“測量”，如何測量，很多教師在教學(xué)中也并沒有總結(jié)就設(shè)置了測量的學(xué)習(xí)要素，學(xué)生認(rèn)為長度、面積的學(xué)習(xí)是獨立不相干的。如何才能自然喚醒學(xué)生的類比經(jīng)驗？如何在“面積”的學(xué)習(xí)中與“長度”的學(xué)習(xí)建立聯(lián)系，讓“長度”的測量經(jīng)驗為面積、體積、角度的學(xué)習(xí)提供更大的正遷移，感悟度量的本質(zhì)呢？

三、單元目標(biāo)定位及課時劃分

數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾說過：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，聯(lián)系得越緊密，記得越牢，學(xué)得越快，因此關(guān)聯(lián)是衡量認(rèn)知水平的標(biāo)準(zhǔn)。單元為設(shè)計過程提供了恰當(dāng)而實際的切入點，教師要將原本的單元內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)整或者透視衍化，讓這個單元的每一節(jié)課都能被包含在更大的單元和課型設(shè)計中，使之更有目的性和連接性。我們結(jié)合教材和學(xué)生的學(xué)情分析發(fā)現(xiàn)，按照原有的教材編排已經(jīng)無法滿足學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)需求，所以，我們從大概念出發(fā)，確定基本問題和單元總目標(biāo)，從而將面積的知識進(jìn)行單元統(tǒng)整，重新設(shè)計單元的整體框架。大概念：測量是對實物大小的刻畫，測量的基本方法是用統(tǒng)一單位不斷累加或細(xì)分。基本問題：萬物可測嗎？測量的基本方法和基本工具是什么？基于核心概念與基本問題，從知識與技能，過程、方法與能力這兩個維度確定教學(xué)目標(biāo)：（1）“知”：知道面積的含義，認(rèn)識面積單位，能進(jìn)行面積單位的換算；能估計圖形的面積；掌握長方形、正方形的面積公式，并能解決簡單的實際問題。（2）“能”：能積極參與探索面積大小的活動，積累度量的學(xué)習(xí)經(jīng)驗；理解面積的本質(zhì)是圖形包含面積單位的個數(shù)，理解用邊長求面積的意義，勾連長度與面積的學(xué)習(xí)。

（一）單元核心概念

度量可分為抽象度量和具象度量，本單元的學(xué)習(xí)屬于具象度量的內(nèi)容，著力于量感的培養(yǎng)。那么，什么是度量的本質(zhì)？面積單元教學(xué)中應(yīng)延續(xù)的大概念又是什么呢？先看度量的定義：度是公度，指統(tǒng)一的單位；量是測量；度量就是用統(tǒng)一的單位去測量。史寧中教授指出：度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是人創(chuàng)造出來的數(shù)學(xué)語言，是人認(rèn)識、理解和表達(dá)現(xiàn)實世界的工具。張奠宙先生認(rèn)為：測量，不僅僅是拿刻度尺去量一條線段的長短，數(shù)學(xué)測量的本質(zhì)是給每一條線段以合適的數(shù)。如在教學(xué)參考資料以及相關(guān)教師培訓(xùn)材料中將面積定義為：數(shù)m是一個平面圖形A的面積，就是指能用m個單位正方形不重疊地恰好填滿A?？梢姡核^度量，就是計算所要度量的圖形包含多少個度量單位，其核心要素是度量單位及單位的個數(shù)。在學(xué)習(xí)面積的相關(guān)知識時，是否有一個明確的定義給學(xué)生其實并不重要，重要的是讓學(xué)生體會到長度是幾個長度單位累加的結(jié)果；面積是幾個面積單位拼接的結(jié)果；體積是幾個體積單位堆積的結(jié)果。度量的本質(zhì)才是學(xué)生理解概念的核心。因此，確定“面積”這一單元的核心概念是：從“度量”的角度理解面積，將度量單位及單位的個數(shù)作為此單元的教學(xué)主線，理解面積的大小就是計算所要度量的圖形包含了多少個面積單位這一本質(zhì)，度量的方法是用統(tǒng)一的單位不斷累加或細(xì)分。

（二）基本問題

好的問題能使教師更好地專注于大概念，避免基于活動的設(shè)計和基于灌輸?shù)脑O(shè)計誤區(qū)。我們確定“面積”單元的基本問題是：萬物可測嗎？測量的基本方法和基本工具是什么？我們試圖通過基本問題引發(fā)學(xué)生更多的思考和探究，激勵學(xué)生揭示更多的問題，圍繞基本問題來架構(gòu)學(xué)習(xí)。

（三）整合后單元整體課時安排的前后對比

基于“單元整合”的教學(xué)，不是課時內(nèi)容的簡單疊加，而需要調(diào)整后具有相互承接、融合的內(nèi)在聯(lián)系，課堂結(jié)構(gòu)設(shè)計需要給學(xué)生有更強(qiáng)勁的、自主探索的學(xué)習(xí)動力，滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，幫助全班學(xué)生實現(xiàn)相對高水平的數(shù)學(xué)理解和能力發(fā)展。我們沒有對本單元的課時順序做調(diào)整，而是對課時內(nèi)容做了整合，調(diào)整了其中部分內(nèi)容的側(cè)重點，對某些知識點的學(xué)習(xí)進(jìn)行了重新設(shè)計（見下表）。

我們整合的思路是：淡化面積的定義，在用公式間接度量長方形面積的教學(xué)中，應(yīng)使學(xué)生理解算理，培養(yǎng)他們的度量意識。在教學(xué)中，教師要重視單位度量，重視計數(shù)，溝通聯(lián)系。“畫格子”“數(shù)格子”的方法是面積問題的本源，讓學(xué)生充分經(jīng)歷用面積單位度量圖形的過程，經(jīng)歷本單元的學(xué)習(xí)后，學(xué)生看到一個“面”的時候，想到的應(yīng)是用“單位面”覆蓋它，而不是用尺子量長度，理解刻畫面積大小的本質(zhì)是度量，公式計算只是便于操作的形式?！爱嫺褡印薄皵?shù)格子”的方法也是后續(xù)體積問題的本源，本單元的學(xué)習(xí)經(jīng)驗將正遷移到體積的學(xué)習(xí)中。在面積單元的教學(xué)中，適當(dāng)融入長度的測量的素材，兩者進(jìn)行對比聯(lián)系，揭示測量學(xué)習(xí)的要素：確定度量對象（線段，面），確定度量單位（一維的長度單位，二維的面積單位），確定度量的結(jié)果（一個數(shù)）。感悟度量學(xué)習(xí)都是用度量單位覆蓋度量對象，列式、公式只是度量單位計數(shù)方法的簡便形式，為后續(xù)體積的學(xué)習(xí)提供經(jīng)驗基礎(chǔ)，也有利于其他的度量學(xué)習(xí)，如角度、重量、時間等的感悟，實現(xiàn)知識間更多的聯(lián)結(jié)。

四、單元教學(xué)建議

調(diào)整后的單元教學(xué)結(jié)構(gòu)更加注重從度量的角度認(rèn)識面積，用面積單位貫穿整個單元的學(xué)習(xí)，希望通過這樣的設(shè)計能夠幫助學(xué)生更好地理解面積的意義，感悟度量的本質(zhì)。

（一）由具體到抽象，從一般到特定，深度理解面積的意義

從生活中的物體抽象出幾何概念，從一般的物體感知到特定的圖形（長方形、正方形）計算，再到不規(guī)則物體面積的測量，然后才進(jìn)行單位之間的換算，在整個單元的學(xué)習(xí)中特別注重學(xué)生測量經(jīng)驗的積累，使其理解面積的真正意義，感悟度量的本質(zhì)。

（二）在對比中聯(lián)系，構(gòu)建整體視野

通過對比長度測量與面積測量的學(xué)習(xí)，我們設(shè)置疑問激發(fā)學(xué)生思考后續(xù)體積、角度的學(xué)習(xí)模式，引導(dǎo)學(xué)生從度量的角度理解測量教學(xué)的過程也就是記錄度量單位個數(shù)的過程，使學(xué)生清晰地認(rèn)識到這幾個不同的概念，實際上有著相同的本質(zhì)，有著相同的學(xué)習(xí)方法，在以后有關(guān)體積、角度的學(xué)習(xí)中，學(xué)生也可以按照類似的知識線索進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，感受知識的關(guān)聯(lián)性，真正體會知識的內(nèi)涵。

（三）提供學(xué)材支架，創(chuàng)設(shè)自主空間

在學(xué)生理解面積的本質(zhì)后，我們在課堂上給足學(xué)生空間和時間用不同方式學(xué)習(xí)不同類型的習(xí)題，學(xué)生能夠通過自主編題、變題、比題、用題、理題學(xué)習(xí)各種面積的應(yīng)用類型，并與長度測量進(jìn)行聯(lián)系與區(qū)分，在學(xué)與練中逐漸建立測量學(xué)習(xí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，發(fā)展空間觀念，提升“量感”。

“面積”單元相關(guān)知識點的重新設(shè)計