張?jiān)姾?張向東 李綠周?

1) (中山大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院,量子計(jì)算與計(jì)算機(jī)理論研究所,廣州 510006)

2) (北京理工大學(xué)物理學(xué)院,先進(jìn)光電量子結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與測(cè)量教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100081)

相比于量子門(mén)電路模型,基于測(cè)量的量子計(jì)算模型為實(shí)現(xiàn)普適量子計(jì)算提供了另一途徑,且經(jīng)過(guò)近二十年的發(fā)展其內(nèi)涵已得到了極大豐富.本文對(duì)基于測(cè)量的量子計(jì)算模型的研究歷史和現(xiàn)狀進(jìn)行綜述.首先簡(jiǎn)要介紹該模型的基本理論,包括量子圖態(tài)等資源態(tài)的概念和工作原理、模型的計(jì)算普適性和經(jīng)典模擬方法、在相關(guān)量子信息處理領(lǐng)域的應(yīng)用等.接著從量子物理特性的角度概括基于測(cè)量的量子計(jì)算模型和量子多體系統(tǒng)之間的緊密聯(lián)系,包括量子糾纏、互文性、量子關(guān)聯(lián)、對(duì)稱保護(hù)拓?fù)湫蚝土孔游镔|(zhì)相等作為計(jì)算資源所發(fā)揮的獨(dú)特作用.然后,總結(jié)實(shí)現(xiàn)基于測(cè)量的量子計(jì)算模型的不同技術(shù)路線和實(shí)驗(yàn)成果.這些理論和實(shí)驗(yàn)方面的進(jìn)展是不斷推動(dòng)可擴(kuò)展容錯(cuò)量子計(jì)算機(jī)研制的力量源泉.最后,對(duì)該領(lǐng)域未來(lái)的研究方向進(jìn)行討論和展望,希望能啟發(fā)讀者進(jìn)一步學(xué)習(xí)和探索相關(guān)課題.

1 引言

量子計(jì)算與量子信息是當(dāng)代科學(xué)的前沿,具有廣闊的發(fā)展前景[1].在現(xiàn)代量子信息科學(xué)中,有兩類(lèi)物理內(nèi)涵豐富且實(shí)驗(yàn)可行的量子計(jì)算模型值得關(guān)注:1)基于幺正演化的量子門(mén)電路模型[2];2)基于測(cè)量的量子計(jì)算(measurement-based quantum computation,MBQC)模型[3,4].MBQC 模型在理論上和量子門(mén)電路模型等價(jià),都可以實(shí)現(xiàn)普適的量子計(jì)算.就技術(shù)層面而言,MBQC 的實(shí)現(xiàn)僅取決于糾纏態(tài)的制備和對(duì)量子比特的測(cè)量操作,方便在光學(xué)和離子阱等體系中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)演示[5,6].隨著量子技術(shù)的進(jìn)步,MBQC 已用于構(gòu)建量子Toffoli 門(mén)[7],演示量子算法[8-10],展示量子糾錯(cuò)碼[11],執(zhí)行基于測(cè)量的量子網(wǎng)絡(luò)編碼[12]等信息處理任務(wù).

直觀地看,如果將量子門(mén)電路的構(gòu)建比作逐塊搭建積木至目標(biāo)結(jié)構(gòu),那么MBQC 的執(zhí)行更像從一整塊木材中挖除多余部分以得到所要結(jié)果.因此,相比之下MBQC 在實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算時(shí)往往需要用到更多的量子比特(quantum bit,qubit)資源,如執(zhí)行3-qubit 量子傅里葉變換(quantum Fourier transform,QFT)需制備1 個(gè)33-qubit 糾纏圖態(tài)作為初始資源態(tài)[13].此外,量子電路的合成與優(yōu)化有經(jīng)典電路作為參照,而MBQC 沒(méi)有直接的經(jīng)典模型對(duì)應(yīng),因而在量子算法的設(shè)計(jì)層面需要更多巧思.盡管在實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算上存在這些挑戰(zhàn),但人們發(fā)現(xiàn)MBQC 能與其他領(lǐng)域的研究相結(jié)合,如將圖論、量子糾纏理論、計(jì)算復(fù)雜性、物質(zhì)拓?fù)湎?、統(tǒng)計(jì)物理等主題聯(lián)系起來(lái),因而逐漸成為交叉領(lǐng)域的研究焦點(diǎn)[14].

本文從量子物理學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的角度概括MBQC 模型的相關(guān)理論,包括MBQC 的基本原理、計(jì)算普適性及應(yīng)用、相關(guān)衍生模型的計(jì)算特點(diǎn)及背后的物理屬性,并且梳理了不同技術(shù)路線下的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展,探討了未來(lái)的潛在研究方向.希望能對(duì)當(dāng)前帶噪聲中等規(guī)模量子(noisy intermediate-scale quantum,NISQ) 時(shí)代[15]下的研究有所啟示.

2 MBQC 的基本原理

2.1 量子計(jì)算的基礎(chǔ)概念

為了便于讀者更好地領(lǐng)會(huì)本文主旨,在正式介紹MBQC 的理論模型之前,這里先對(duì)量子計(jì)算中的一些關(guān)鍵概念進(jìn)行說(shuō)明.

量子信息處理的基本單元稱為量子比特(qubit),它可以表示為兩個(gè)狀態(tài)|0〉和|1〉的疊加態(tài):

其中復(fù)數(shù)c0和c1稱為振幅且滿足歸一化條件,右矢(ket)|〉是表示量子態(tài)的狄拉克符號(hào).1 個(gè)qubit 態(tài)可視為1 個(gè)二維復(fù)向量空間中的向量,而|0〉和|1〉構(gòu)成此向量空間的正交基,稱為計(jì)算基態(tài)(computational basis state).對(duì)于n個(gè)qubit 構(gòu)成的量子系統(tǒng),其計(jì)算基態(tài)|x1x2···xn〉共有 2n個(gè),故此系統(tǒng)中的任意1 個(gè)量子態(tài)都可以由2n個(gè)振幅值確定.因此,用經(jīng)典計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)1 個(gè)nqubit 量子態(tài)的所有振幅信息需要指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)的空間.實(shí)際上,量子態(tài)中往往蘊(yùn)含著豐富的關(guān)聯(lián)和糾纏信息[16],其中2-qubit 糾纏態(tài)的典型例子為4 個(gè)正交Bell 態(tài):

量子計(jì)算即為對(duì)多量子比特所構(gòu)成的量子態(tài)進(jìn)行一系列特定操作以達(dá)成目標(biāo)結(jié)果的新型計(jì)算模式,其過(guò)程遵循量子力學(xué)規(guī)律.主要有兩類(lèi)量子操作:量子門(mén)變換操作和測(cè)量操作.量子門(mén)可以表示為作用到量子態(tài)上的幺正矩陣,常用的單量子比特門(mén)如泡利算符(X,Y,Z)和Hadamard 門(mén)(H)為

單量子比特旋轉(zhuǎn)門(mén)操作為

常用的兩量子比特門(mén)有受控非(controlled-NOT,CNOT)門(mén)和受控Z(controlled-Z,CZ)門(mén):

其上標(biāo) (a,b) 表示2-qubit 門(mén)的受控位和靶位分別為a和b.理論上[2](6)—(8)式中的單比特旋轉(zhuǎn)門(mén)和(9)式的兩比特門(mén)可以合成任意的幺正變換矩陣.

量子測(cè)量由一組作用到量子態(tài)空間的測(cè)量算符{Mm}描述,其中下標(biāo)m表示測(cè)量1 個(gè)量子態(tài)|ψ〉后可能得到的結(jié)果,其發(fā)生概率為

相應(yīng)地系統(tǒng)狀態(tài)在測(cè)量后變化為

注意測(cè)量算符{Mm}需滿足完備性關(guān)系:

以確保對(duì)于任意量子態(tài)|ψ〉,(10)式所示測(cè)量態(tài)|ψ〉后得到所有可能結(jié)果的概率之和為1.

最常見(jiàn)的量子測(cè)量是投影測(cè)量(projective measurement)操作,由1 個(gè)可觀測(cè)量O描述.O是作用到量子態(tài)空間上的厄米算符,具有譜分解:

其中Pm為O本征空間的投影算符,m為相應(yīng)本征值.測(cè)量量子態(tài)|ψ〉得到結(jié)果m的概率為

且測(cè)量后量子系統(tǒng)的態(tài)變化為

可以看出,當(dāng)一般量子測(cè)量中符合(12)式的算符{Mm}為厄米算符,且滿足MmMm′=δm,m′Mm時(shí),(10)式和(11)式可分別約化到(14)式和(15)式,即為執(zhí)行投影測(cè)量操作.通常(13)式中的投影算符Pm可以寫(xiě)為|φm〉〈φm|的形式,|φm〉稱為投影測(cè)量基.例如,以(1)式為測(cè)量基可對(duì)量子態(tài)做單比特局域測(cè)量,以(2)式和(3)式為測(cè)量基可執(zhí)行量子傳態(tài)中所用Bell 測(cè)量[17,18].

在量子門(mén)電路模型中,通過(guò)排布好的量子門(mén)對(duì)輸入態(tài)執(zhí)行特定幺正變換以得到目標(biāo)輸出態(tài),并可由測(cè)量操作讀取結(jié)果.下面著重介紹本文關(guān)注的對(duì)象:基于測(cè)量的量子計(jì)算模型(MBQC).

2.2 MBQC 理論模型

首先需要指出的是,所謂基于測(cè)量的量子計(jì)算并非只能執(zhí)行測(cè)量操作,而是指計(jì)算的過(guò)程主要由測(cè)量操作序列來(lái)確定.大部分情況下,人們提到MBQC 默認(rèn)指的就是自2001 年Raussendorf 和Briegel[3,4]提出的單向量子計(jì)算 (one-way quantum computation,1WQC)模型.但是嚴(yán)格來(lái)講,MBQC 也包含其他一些理論模型,如基于隱形傳態(tài)的量子計(jì)算(teleportation-based model of quantum computation,TQC)模型[19],基于量子態(tài)轉(zhuǎn)移的方法[20,21],關(guān)聯(lián)空間中的MBQC 模型[22,23]等.下面主要對(duì)1WQC 進(jìn)行解釋,并簡(jiǎn)要介紹TQC.

與量子電路模型通過(guò)門(mén)變換得到目標(biāo)態(tài)不同,1WQC 模型的執(zhí)行過(guò)程分為3 步:1)制備“普適資源態(tài)”,即系統(tǒng)初始制備1 個(gè)可用于普適量子計(jì)算的特定糾纏態(tài),并劃分為S1和S2兩部分;2)依次對(duì)S1部分執(zhí)行適應(yīng)性單qubit 測(cè)量,即該過(guò)程中的測(cè)量操作都是作用在單qubit 上的,且后一步測(cè)量操作的設(shè)置依賴于前一步的測(cè)量結(jié)果;3)對(duì)S2中qubit 進(jìn)行泡利修正,根據(jù)第2)步中測(cè)量S1的結(jié)果,對(duì)作為輸出態(tài)的S2部分執(zhí)行(4)式和(5)式中的局域泡利操作X和Z,從而確定性地得到目標(biāo)態(tài)[24-26].如果還需進(jìn)一步讀取該輸出態(tài)的測(cè)量結(jié)果,那么泡利修正可直接吸收到對(duì)輸出態(tài)的測(cè)量操作中[3,4],此時(shí)整個(gè)計(jì)算過(guò)程就只包含對(duì)資源態(tài)的適應(yīng)性測(cè)量.1WQC 最常用的普適資源態(tài)為量子簇態(tài)(cluster states)和圖態(tài)(graph states)[13,27,28],這里對(duì)二者進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹.2001 年Briegel 和Raussendorf[27]考慮在具有伊辛類(lèi)型相互作用的自旋鏈或自旋晶格中的量子比特,按特定哈密頓量進(jìn)行演化得到態(tài)為

其中C為一部分量子比特形成的“簇(cluster)”,對(duì)于一維鏈、二維晶格和三維晶格分別有T={1},T={(1,0),{0,1}}和T={(1,0,0),{0,1,0},{0,0,1}},當(dāng)c+t∈/C時(shí),這樣的(16)式稱為簇態(tài).簇態(tài)同時(shí)具有所謂的最大連通性(maximum connectedness)和糾纏持久性(persistency of entanglement),并經(jīng)論證可用作1WQC 模型的資源態(tài)[3].類(lèi)似地,量子簇態(tài)的定義被進(jìn)一步推廣到與圖相聯(lián)系的量子圖態(tài)[4].首先考慮1 個(gè)由N個(gè)頂點(diǎn)的集合V={a1,a2,···,aN}和連接它們的邊的集合E構(gòu)成的圖G=(V,E) .圖G的鄰接矩陣AG為1 個(gè)N×N矩陣,其元素為

并且對(duì)于1 個(gè)給定的頂點(diǎn)a ∈V,其近鄰頂點(diǎn)的集合Na ?V中的元素b滿足{a,b}∈E.

對(duì)于任意1 個(gè)圖G=(V,E),都可以定義1 個(gè)對(duì)應(yīng)圖態(tài).令每1 個(gè)頂點(diǎn)a ∈V對(duì)應(yīng)一個(gè)qubit,考慮與之相關(guān)的1 個(gè)厄米算符:

圖態(tài)|G〉也可以根據(jù)圖的結(jié)構(gòu)直接制備.首先將所有頂點(diǎn)處的qubit制備為疊加態(tài)|+〉=(|0〉+,然后對(duì)所有鄰接頂點(diǎn){a,b}∈E上的一對(duì)qubit 執(zhí)行(9)式中的幺正操作 CZ(a,b),就可得到圖態(tài)|G〉:

在大信號(hào)掩蓋下，機(jī)密信號(hào)的解調(diào)必然受到影響.下面分析機(jī)密信號(hào)解調(diào)BER(Bit Error Rate).機(jī)密信號(hào)在(i-1)Tw≤t

不同結(jié)構(gòu)的圖會(huì)導(dǎo)致具有不同性質(zhì)的圖態(tài),見(jiàn)圖1,其中線性簇態(tài)和馬蹄形簇態(tài)均為圖態(tài)特例[29],星形圖態(tài)在局域幺正變換下等價(jià)于GHZ 態(tài)[30],可擴(kuò)展的2D 方格圖態(tài)用于執(zhí)行普適MBQC[3,28].在大多數(shù)MBQC 的相關(guān)研究中,都將簇態(tài)視為定義在特定晶格結(jié)構(gòu)上的圖態(tài)例子[4,13,28,31],可按(20)式直接制備.下面介紹如何基于簇態(tài)確定性地執(zhí)行任意單qubit 旋轉(zhuǎn)操作和2-qubit CNOT 門(mén).

圖1 不同類(lèi)型的圖態(tài) (a)線性簇態(tài);(b)星形圖態(tài);(c)馬蹄形簇態(tài);(d)可擴(kuò)展的二維方格圖態(tài)Fig.1.Different types of graph states:(a) A linear cluster state;(b) a star-graph state;(c) a horseshoe cluster state;(d) the scalable 2D square graph state.

|ψo(hù)ut2〉與|ψo(hù)ut1〉僅相差一個(gè)整體相位因子,即圖2(b)等價(jià)實(shí)現(xiàn)了圖2(a).

進(jìn)一步地,以上構(gòu)造方法可推廣到實(shí)現(xiàn)任意單qubit 旋轉(zhuǎn)U=HRz(-γ)Rx(-β)Rz(-α) .將未經(jīng)泡利X修正的圖2(b)中線路作為基本單元串聯(lián)3 次,其中各qubit 的測(cè)量基分別為|±α〉,|±β〉,|±γ〉并得到結(jié)果k,l,m ∈{0,1},則qubit 4 上的態(tài)為

由CZ 門(mén)與測(cè)量操作之間的對(duì)易關(guān)系[4,32]可知,以上線路等價(jià)于先用3 個(gè)CZ 門(mén)作用到輸入態(tài)|+〉1|+〉2|+〉3|+〉4,再分別在基|±α〉,|±β〉,|±γ〉中測(cè)量qubit 1,2 和3 并得到qubit 4 的態(tài)為(22)式.因此,為了實(shí)現(xiàn)任意旋轉(zhuǎn)門(mén)的效果U|+〉,如圖2(c)所示用CZ 門(mén)制備1 個(gè)如圖1(a)所示的4-qubit線性簇態(tài),且測(cè)量結(jié)果k,l,m依次決定后續(xù)測(cè)量基的設(shè)置以及對(duì)輸出態(tài)qubit 4 的泡利修正操作,即可確定性地得到|ψo(hù)ut3〉=e-i(α+β+γ)/2U|+〉.實(shí)際上制備所用資源簇態(tài)的方式并不唯一,如光量子體系常用的“融合操作(fusion operation)”[30,33,34].此外,容易驗(yàn)證當(dāng)圖2(c)中qubit 1 的輸入態(tài)為任意單量子比特態(tài)|ψin〉時(shí),運(yùn)行此線路得到qubit 4 上的輸出態(tài)與U|ψin〉等價(jià).

接下來(lái),介紹如何實(shí)現(xiàn)普適量子計(jì)算所需的2-qubit CNOT 門(mén).注意圖1(b)所示圖態(tài)可視為六角晶格結(jié)構(gòu)上的星形簇態(tài)[34],當(dāng)在泡利X基中測(cè)量其qubit 1 和2 并分別得到結(jié)果m,n ∈{0,1},則剩余兩個(gè)qubit 3 和4 所處的輸出態(tài)為

因此,如圖2(d)所示先制備這樣的星形簇態(tài),再對(duì)qubit 1 和2 做泡利X測(cè)量并對(duì)作為輸出態(tài)的qubit 3 和4 做相應(yīng)泡利修正,可確定性實(shí)現(xiàn)|ψo(hù)ut4〉=CNOT|+〉|+〉.更一般地,可驗(yàn)證當(dāng)圖2(d)中的輸入qubit 3 和2 換成任意2-qubit態(tài)|ψin〉時(shí),則經(jīng)過(guò)后續(xù)操作最終qubit 3 和4 所處輸出態(tài)為|ψo(hù)ut4〉=CNOT|ψin〉.類(lèi)似地,測(cè)量圖1(c)中馬蹄形簇態(tài)的qubit 1 和4 并對(duì)qubit 2 和3 做泡利修正,可以實(shí)現(xiàn)2-qubit CZ 門(mén)[29].以上理論顯示一般的輸入態(tài)本身也可以由測(cè)量簇態(tài)來(lái)得到,因此當(dāng)如圖1(d)所示2D 方格圖態(tài)足夠大時(shí),通過(guò)精心設(shè)計(jì)測(cè)量模式并輔以適當(dāng)?shù)呐堇拚湍軌虼_定性地實(shí)現(xiàn)普適量子計(jì)算[3].若量子方案需要對(duì)輸出態(tài)做讀取測(cè)量,那么泡利修正操作也可以合并到測(cè)量操作中[4].相比于1WQC 使用單比特測(cè)量來(lái)完成計(jì)算,下面簡(jiǎn)要介紹另一種使用兩比特測(cè)量的MBQC 模型—基于傳態(tài)的量子計(jì)算(TQC).

1999 年Gottesman 和Chuang[19]提出使用量子傳態(tài)技巧[17,18]和單qubit 操作來(lái)實(shí)現(xiàn)普適量子計(jì)算.圖3(a)為量子傳態(tài)的1 個(gè)例子:Alice 對(duì)制備好的單qubit 態(tài)U|α〉和(2)式中Bell 態(tài)|β00〉的1 個(gè)qubit 執(zhí)行聯(lián)合Bell 測(cè)量,并將測(cè)量結(jié)果a和b發(fā)送給Bob.后者對(duì)|β00〉態(tài)的另1 個(gè)qubit 執(zhí)行ZbXa,即可得到態(tài)U|α〉.實(shí)際上Alice 的操作等價(jià)于在一組新基為(2)式和(3)式中的Bell 態(tài))中對(duì)態(tài)|α〉和|β00〉的1 個(gè)qubit做2-qubit 測(cè)量[35],則此時(shí)對(duì)U的實(shí)現(xiàn)只用到聯(lián)合測(cè)量操作和泡利修正.

圖3 基于傳態(tài)的方案實(shí)現(xiàn)單量子比特門(mén) (a)一方遠(yuǎn)程制備態(tài) U|α〉 并通過(guò)Bell 測(cè)量和泡利修正傳給另一方,注意U 和Bell 測(cè)量可以直接合并成新的聯(lián)合測(cè)量;(b)利用制備好的資源態(tài) (I ?U)|β00〉來(lái)間接執(zhí)行U|α〉Fig.3.Teleportation-based scheme for implementing any sing-qubit gate:(a) State U|α〉 is remotely prepared at one site and teleported to another site via Bell measurement and Pauli corrections,note here U and Bell measurement can be directly combined into a new joint measurement;(b) the scheme to indirectly implement U|α〉 via a prepared resource state (I ?U)|β00〉 .

另一種間接執(zhí)行U的方式如圖3(b)所示,將態(tài)|α〉和資源態(tài) (I ?U)|β00〉中的1 個(gè)qubit 做Bell測(cè)量,并根據(jù)測(cè)量結(jié)果對(duì)另1 個(gè)qubit 做修正操作=UXU?和=UZU?,即可確定性地得到目標(biāo)輸出態(tài)U|α〉.這樣的傳態(tài)技巧可以從單量子比特門(mén)U推廣到多量子比特門(mén)的作用,如用CNOT 門(mén)作用2-qubit 態(tài)等價(jià)于制備資源態(tài)(I(1)?CNOT(3,2)?I(4))|β00〉|β00〉并執(zhí)行兩組Bell 測(cè)量和相應(yīng)泡利修正[19].因此,這種利用傳態(tài)思想的計(jì)算方法的好處在于:即便目標(biāo)操作U難以直接實(shí)現(xiàn),也可以通過(guò)制備已知的初始資源態(tài)來(lái)間接地執(zhí)行U.在Gottesman-Chuang 方案的啟發(fā)下,后又發(fā)展出各種不同的TQC 模型,如Leung[35]提出對(duì)任意雙量子比特執(zhí)行適應(yīng)性2-qubit 測(cè)量來(lái)完成計(jì)算.

2.3 MBQC 的計(jì)算普適性及其經(jīng)典模擬

在1WQC 模型中,對(duì)2D 方格簇態(tài)執(zhí)行特定模式的單qubit 測(cè)量就可以實(shí)現(xiàn)普適量子計(jì)算.反過(guò)來(lái)1 個(gè)自然的問(wèn)題是:用于MBQC 的普適資源態(tài)具有何種必要屬性? 更確切地,既然涉及有限糾纏的系統(tǒng)可以被經(jīng)典計(jì)算機(jī)有效模擬[41],那么執(zhí)行普適MBQC 的資源態(tài)中需要多少糾纏? 最強(qiáng)的“普適性”可以自然地定義為對(duì)資源態(tài)執(zhí)行單qubit操作來(lái)產(chǎn)生任意量子態(tài)的能力,則此意義下的普適資源態(tài)(如2D 簇態(tài))的多種糾纏度量必然隨系統(tǒng)尺寸呈現(xiàn)無(wú)界增長(zhǎng).例如,2006 年Nest 等[32]引入熵糾纏寬度(entropic entanglement width)作為評(píng)判圖態(tài)普適性的標(biāo)準(zhǔn),并舉出對(duì)應(yīng)六角晶格、三角晶格、Kagome 晶格的普適資源圖態(tài)例子.相對(duì)地,他們也揭示出n粒子1D 簇態(tài),GHZ 態(tài),W 態(tài)以及某些1D 自旋系統(tǒng)的基態(tài)至少不滿足一種糾纏度量下的最大糾纏性,因此非普適資源[25].當(dāng)普適性的概念為只要求MBQC 能夠有效再現(xiàn)量子門(mén)電路的經(jīng)典輸出結(jié)果時(shí),矩陣乘積態(tài)(matrixproduct state,MPS)和投影糾纏對(duì)態(tài)(projected entangled pair state,PEPS)可以作為相應(yīng)關(guān)聯(lián)空間量子計(jì)算的普適資源[22,23],而無(wú)需具備2D 簇態(tài)呈現(xiàn)的一些糾纏特征(如最大局域糾纏).

檢驗(yàn)一種特定MBQC 模型計(jì)算能力的常用手段是考察其經(jīng)典模擬方法:若目標(biāo)MBQC 模型存在以多項(xiàng)式時(shí)間實(shí)現(xiàn)的有效經(jīng)典模擬,則意味著該模型不具備加速計(jì)算的能力.在某些圖態(tài)(如1D簇態(tài)和GHZ 態(tài))上執(zhí)行的1WQC 可以用經(jīng)典計(jì)算機(jī)有效模擬[32,42,43].細(xì)致考慮圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和糾纏性質(zhì),研究者揭示出一系列特定資源態(tài)參與的MBQC 可以用張量網(wǎng)絡(luò)方法有效模擬,如任意兩體劃分的糾纏(Schmidt 數(shù))較小[44]或具有對(duì)數(shù)有界的Schmidt-rank 寬度情形[45],有限寬度的簇態(tài)計(jì)算[46],以及圖的樹(shù)寬度較小且最大度(degree)為常數(shù)的圖態(tài)計(jì)算[42]等.除了圖態(tài)外,參考平面圖Ising 模型的嚴(yán)格可解性,基于環(huán)面碼(toric code)態(tài)這種量子資源的MBQC 也可以有效經(jīng)典模擬[47].這些圍繞經(jīng)典模擬的研究不僅有助于深入理解MBQC 計(jì)算能力的普適性,還能啟發(fā)新的經(jīng)典算法[48,49].

2.4 MBQC 在量子信息領(lǐng)域的應(yīng)用

MBQC 在量子信息處理領(lǐng)域具有多方面應(yīng)用.首先,作為一種普適量子計(jì)算模型,MBQC 模型已用于構(gòu)建量子Toffoli 門(mén)[7],演示Deutsch-Jozsa,Bernstein-Vazirani 算法[8,9]以及Grover 量子搜索算法[5,29,50],執(zhí)行QFT[13,28]和量子加法器[4],求解Simon 問(wèn)題[10],計(jì)算非線性布爾函數(shù)[51,52]等量子算法相關(guān)場(chǎng)景.值得一提的是,1WQC 和量子電路模型在執(zhí)行這些算法上是多項(xiàng)式時(shí)間等價(jià)的,但前者可能在并行化方面優(yōu)于后者[53,54].例如,2010 年Browne 等[55]提出QFT 在1WQC 模型中能以常數(shù)深度近似執(zhí)行,從而更有利于實(shí)驗(yàn)演示.因此,利用量子電路模型與MBQC 模型之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系來(lái)研究電路的深度復(fù)雜性具有理論和實(shí)用意義.

其次,相比于使用量子糾錯(cuò)碼的量子電路模型,MBQC 也為實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)通用量子計(jì)算提供了新的途徑.早在2003 年,Raussendorf[56]就討論了容錯(cuò)1WQC 方案:可使用2D 簇態(tài)模擬1D 容錯(cuò)量子電路.隨后,Nielsen 和Dawson[57]也證明了當(dāng)錯(cuò)誤率低于某個(gè)閾值時(shí),能夠?qū)崿F(xiàn)基于簇態(tài)的可擴(kuò)展容錯(cuò)1WQC,并以光學(xué)量子計(jì)算中的光子損失噪聲和去極化噪聲為例數(shù)值研究了容錯(cuò)閾值[58].Raussendorf 等[59,60]還進(jìn)一步利用3D 簇態(tài)中的2D 切片來(lái)模擬一種常用的糾錯(cuò)碼—表面碼(surface code),其中特定的測(cè)量模式可模仿拓?fù)淞孔佑?jì)算中的任意子編織操作.這樣以拓?fù)浔Ｗo(hù)的量子門(mén)實(shí)現(xiàn)的容錯(cuò)MBQC 具有較高的容錯(cuò)閾值[61,62],且適合qubit 和連續(xù)變量系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)演示[63-65].

最后,MBQC 的理念還能運(yùn)用到網(wǎng)絡(luò)編碼[12]、盲量子計(jì)算[66,67]、多人協(xié)作量子計(jì)算[68]、量子博弈[69]、量子通信[70]等量子信息處理場(chǎng)景中.例如,量子網(wǎng)絡(luò)編碼技術(shù)有望提升分布式量子計(jì)算中的資源利用率,而使用量子簇態(tài)實(shí)施糾纏交換(entanglement swapping)或基于測(cè)量的糾纏分布(entanglement distribution)時(shí)可以給電路深度[71]、最終的Bell 態(tài)保真度[12]等方面帶來(lái)改善.又如盲量子計(jì)算是一種與MBQC 模型有緊密聯(lián)系的安全計(jì)算協(xié)議.未來(lái)量子計(jì)算機(jī)可能趨向于以云計(jì)算形式提供給客戶使用,因此如何保證客戶的數(shù)據(jù)和計(jì)算過(guò)程的私密性顯得尤為重要.2009 年Broadbent等[66]首次提出的通用盲量子計(jì)算協(xié)議中,客戶端將制備好的隨機(jī)量子比特發(fā)送給服務(wù)器,服務(wù)器將這些qubit 制備為brickwork 糾纏態(tài)并按客戶的要求進(jìn)行測(cè)量,再將測(cè)量結(jié)果返回給客戶端,后者又根據(jù)這些測(cè)量結(jié)果確定后面量子比特的測(cè)量參數(shù)并發(fā)送給服務(wù)器.這樣雙方不斷交互進(jìn)行直至所有量子比特都被測(cè)量,協(xié)議完成.此協(xié)議秉承MBQC的基本思想,能夠保證客戶端的信息安全.在物理學(xué)領(lǐng)域,MBQC 模型可以用作研究經(jīng)典自旋模型[72,73]、量子模擬架構(gòu)[74]及對(duì)稱保護(hù)的拓?fù)湎郲75]等物理理論的工具.

3 MBQC 的物理內(nèi)涵

特定MBQC 模型的計(jì)算能力與其內(nèi)在的物理屬性有緊密聯(lián)系,如一類(lèi)利用量子關(guān)聯(lián)及非適應(yīng)性測(cè)量的計(jì)算模型可展現(xiàn)出相對(duì)經(jīng)典局域隱變量模型的量子優(yōu)勢(shì)[76].下面從量子糾纏、量子關(guān)聯(lián)、對(duì)稱保護(hù)的拓?fù)湎嗟冉嵌雀攀鱿嚓P(guān)物理內(nèi)涵.

3.1 MBQC 中的量子糾纏

MBQC 模型的計(jì)算能力可以追溯到其所用糾纏資源態(tài)的性質(zhì).在2.3 節(jié)中,已概述了糾纏和MBQC 的普適資源態(tài)及經(jīng)典可模擬性之間的關(guān)系.后續(xù)圍繞量子糾纏在MBQC 中作用的研究包括:一些多體糾纏量子系統(tǒng)的基態(tài)(如自旋 5/2 系統(tǒng)[77]和自旋 3/2 系統(tǒng)[78])可用作普適MBQC 的資源態(tài),而某些具有兩體相互作用的自旋 1/2 無(wú)阻挫哈密爾頓(frustration-free Hamiltonian)系統(tǒng)則無(wú)此能力[79];關(guān)聯(lián)空間中執(zhí)行“普適態(tài)制備”意義下的MBQC 時(shí),所用資源必然會(huì)展現(xiàn)類(lèi)似簇態(tài)的極值糾纏特征[80];近年類(lèi)比量子圖態(tài)提出的超圖態(tài)[81,82],其獨(dú)特的糾纏和非局域性質(zhì)導(dǎo)致相應(yīng)MBQC 在一些方面優(yōu)于圖態(tài)方案,例如2016 年Gachechiladze等[83]揭示出超圖態(tài)相比于GHZ 態(tài)對(duì)于粒子損失噪聲具有更強(qiáng)的魯棒性.

有趣的是,2009 年Gross 等[84]發(fā)現(xiàn)隨機(jī)態(tài)等具有過(guò)多糾纏的量子態(tài)反而無(wú)益于MBQC 展現(xiàn)量子計(jì)算加速.同年,Bremner 等[85]也在抽象MBQC框架下得到了類(lèi)似的結(jié)果.實(shí)際上,2017 年Morimae[86]論證了尋找適用于MBQC 的資源態(tài)通常是1 個(gè)困難任務(wù).

3.2 MBQC 模型與量子關(guān)聯(lián)

量子關(guān)聯(lián)是量子計(jì)算、量子通信等領(lǐng)域的重要資源,其具體表現(xiàn)如量子非局域性(quantum nonlocality)[87]和量子互文性(quantum contextuality)[88]可用于分析和詮釋MBQC 中通過(guò)測(cè)量糾纏資源態(tài)展現(xiàn)的計(jì)算能力.

2009 年,Anders 和Browne 通 過(guò) 定義1 個(gè)一般性的框架分析“關(guān)聯(lián)的計(jì)算能力”[89],并以典型的GHZ 和CHSH 問(wèn)題作為例子,揭示出局域?qū)嵲谀Ｐ偷倪`背和糾纏資源態(tài)的計(jì)算能力之間的有趣關(guān)系,例如3-qubit GHZ 態(tài)加上線性副處理(經(jīng)典異或門(mén)和非門(mén))足以實(shí)現(xiàn)經(jīng)典計(jì)算所用的普適與非門(mén).如圖4 所示,此計(jì)算模型包含兩部分:1 個(gè)關(guān)聯(lián)多方資源態(tài)和1 個(gè)經(jīng)典控制計(jì)算機(jī),彼此之間可以交換經(jīng)典信息.其中關(guān)聯(lián)多方資源由一些個(gè)體組成,控制計(jì)算機(jī)可為其提供k個(gè)不同的測(cè)量設(shè)置,每個(gè)個(gè)體經(jīng)測(cè)量后得到l個(gè)可能結(jié)果中的1 個(gè)并返回控制計(jì)算機(jī).當(dāng)設(shè)置k=l=2 時(shí),此框架與原始的量子one-way 模型相符.此外,他們還從計(jì)算復(fù)雜度的角度探討了在使用不同的資源態(tài)(如簇態(tài),二維圖態(tài),計(jì)算張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)等)和僅包含經(jīng)典CNOT 操作和NOT 操作的計(jì)算機(jī)時(shí),三種復(fù)雜度類(lèi)別⊕L,P和BQP之間可能的轉(zhuǎn)化關(guān)系.除了直接考察量子資源態(tài)中的關(guān)聯(lián),2014 年Hoban 等[90]提出利用量子方式生成的概率分布中的關(guān)聯(lián),來(lái)構(gòu)造一種MBQC 的經(jīng)典對(duì)應(yīng)(稱為“基于測(cè)量的經(jīng)典計(jì)算”,MBCC),可以展現(xiàn)特定量子模型的非經(jīng)典計(jì)算特性,如計(jì)算一種可能無(wú)法用傳統(tǒng)經(jīng)典計(jì)算設(shè)備有效模擬的IQP*量子線路.

圖4 利用關(guān)聯(lián)的計(jì)算模型.經(jīng)典控制計(jì)算機(jī)提供k 個(gè)測(cè)量設(shè)置中的1 個(gè)作為對(duì)關(guān)聯(lián)多方資源態(tài)中個(gè)體的經(jīng)典輸入(藍(lán)色箭頭),并且接收l(shuí) 個(gè)測(cè)量結(jié)果中的1 個(gè)(紅色箭頭)作為輸出Fig.4.A computational model exploiting correlations.The classical control computer provides one of k measurement settings as the classical input (blue arrows) to each of the parties in the correlated resource state and receives one of l possible measurement results (red arrows) as the output.

與具有適應(yīng)性測(cè)量的MBQC 模型相比,2011年,Hoban 等[91]提出在一般的具有線性副處理(做模2 加法運(yùn)算)且非自適應(yīng)的MBQC (non-adaptive MBQC with linear side-processing,NMQC⊕)模型,通過(guò)測(cè)量特定糾纏態(tài)得到的非局域關(guān)聯(lián)結(jié)果可以實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性布爾函數(shù)的確定性計(jì)算、與多方Bell 不等式違背有關(guān)的概率計(jì)算等.2013 年,Raussendorf[51]展示了在一些自然的假設(shè)下,以高成功率計(jì)算1 個(gè)非線性布爾函數(shù)的MBQC 具有互文性.互文MBQC 中的1 個(gè)有趣例子是求解離散對(duì)數(shù)問(wèn)題的量子算法,其相對(duì)經(jīng)典算法能展現(xiàn)超多項(xiàng)式加速.2017 年,Oestereich 和Galv?o[52]進(jìn)一步基于互文性MBQC 發(fā)展出的非線性函數(shù)計(jì)算模型中,實(shí)現(xiàn)了可靠計(jì)算所需的3-MAJ 門(mén)和3 輸入的XNAND 門(mén).與僅能計(jì)算線性布爾函數(shù)的局域隱變量模型或非互文隱變量模型相比,NMQC⊕模型僅用少量量子資源就能展現(xiàn)量子優(yōu)勢(shì),且2017年Abramsky 等[92]提出一種互文性度量方式來(lái)量化這樣的量子優(yōu)勢(shì).這是不同于某些量子霸權(quán)方案中通過(guò)不斷擴(kuò)展量子規(guī)模來(lái)達(dá)到量子優(yōu)勢(shì)的思路[93],為人們理解量子計(jì)算與經(jīng)典計(jì)算之間的差異提供新穎的視角.此外,由于不需要用到傳統(tǒng)適應(yīng)性測(cè)量操作,NMQC⊕模型對(duì)實(shí)驗(yàn)維持相干性的要求更低,因而更容易在近期的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行演示.2021 年,Demirel 等[76]于實(shí)驗(yàn)上演示了利用4 光子GHZ 態(tài)來(lái)計(jì)算簡(jiǎn)單的低度非線性函數(shù).

3.3 MBQC 與對(duì)稱保護(hù)的拓?fù)湎?/h3>

具有特定群對(duì)稱性的量子態(tài)所呈現(xiàn)的多體糾纏可導(dǎo)致所謂的對(duì)稱保護(hù)拓?fù)湫?symmetry-protected topological order,SPTO)現(xiàn)象[94-97],而SPT態(tài)可以為MBQC 普適資源態(tài)的刻畫(huà)提供一種新的視角.2012 年,Else 等[98]論證了所有屬于1D 自旋鏈SPT 相的基態(tài)都具有“量子計(jì)算導(dǎo)線(quantum computational wires)”的統(tǒng)一屬性,如Z2×Z2旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性保護(hù)的1D 簇態(tài)和1D Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki (AKLT)態(tài),并能確保MBQC 中恒等門(mén)的完美操作.2015 年,Miller 和Miyake[99]展示了S4對(duì)稱下的1D SPT 相能以任意高保真度執(zhí)行單qubit 門(mén)操作且能作為T(mén)QC 的潛在資源,隨后2017 年Raussendorf 等[100]將該結(jié)果推廣到了執(zhí)行更一般的MBQC 模型.

在1D 物質(zhì)相研究的基礎(chǔ)上,2015 年Nautrup和Wei[101]刻畫(huà)了任意晶格上的元格態(tài)(plaquette state)呈現(xiàn)的非平凡SPTO,及用作MBQC 的普適資源態(tài).與之不同的是,2016 年Miller 和Miyake[75]提出將3-qubit CCZ 門(mén)作用到位于Union Jack 晶格中三角元胞上的qubit,可以得到具有2D SPTO的資源態(tài)(系統(tǒng)具有Z2×Z2×Z2對(duì)稱).該工作指出具有1D SPTO 的糾纏態(tài)(如傳統(tǒng)簇態(tài))配合任意單qubit 測(cè)量可以實(shí)現(xiàn)普適量子計(jì)算,而對(duì)于具有更加復(fù)雜糾纏形式的2D SPTO 只需執(zhí)行泡利測(cè)量就可以得到相同的結(jié)果.基于Union Jack 態(tài)實(shí)現(xiàn)普適MBQC的工作將凝聚態(tài)物理中SPTO 的層級(jí)概念和量子計(jì)算中的所謂Clifford 層級(jí)聯(lián)系起來(lái).這樣的量子計(jì)算普適性也于2018 年推廣到了d維量子比特(qudit)系統(tǒng)的非平凡Zd×Zd×ZdSPT 態(tài)[102].除了以上運(yùn)用群上同調(diào)(group cohomology)工具構(gòu)建MBQC 的普適資源態(tài)及SPTO分類(lèi),最近一兩年的工作系統(tǒng)性地研究所謂“量子物質(zhì)的計(jì)算相(computational phases of quantum matter)”概念,指出具有普適計(jì)算能力的對(duì)稱保護(hù)量子相由所謂的子系統(tǒng)對(duì)稱性保護(hù)[103-105].在取得這些理論成果的同時(shí),2018 年以來(lái)對(duì)SPT 態(tài)的表征和基于測(cè)量的算法也出現(xiàn)實(shí)驗(yàn)演示[106,107].

4 MBQC 的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展

除了理論進(jìn)展外,在硬件方面當(dāng)前量子技術(shù)已進(jìn)入NISQ 時(shí)代,光量子、離子阱、超導(dǎo)體系、半導(dǎo)體量子點(diǎn)等多條技術(shù)路線并行發(fā)展,面向特定領(lǐng)域、特定問(wèn)題的專(zhuān)用量子計(jì)算設(shè)備已取得了較大進(jìn)步.下面概述量子實(shí)驗(yàn)中對(duì)于MBQC 算法的演示或相關(guān)量子原理的驗(yàn)證.

4.1 光量子系統(tǒng)

光子具有能同時(shí)應(yīng)用于量子信息處理的多自由度(極化、軌道角動(dòng)量、空間模式、頻率等)和退相干率低等特點(diǎn),近年來(lái)研究者圍繞MBQC 計(jì)算模型開(kāi)展了一系列基于光學(xué)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)演示,主要包括以下幾方面:

2005 年Walther 等[29]利用后選擇技術(shù)制備4 光子簇態(tài)并實(shí)現(xiàn)1WQC 中的基本要素:單量子比特旋轉(zhuǎn)門(mén)和兩量子比特受控門(mén),并演示四元素搜索的Grover 算法.隨后的光學(xué)實(shí)驗(yàn)擴(kuò)展到利用多光子多自由度制備糾纏圖態(tài),且運(yùn)用前饋技術(shù)來(lái)克服執(zhí)行測(cè)量操作時(shí)的隨機(jī)誤差,從而執(zhí)行確定性1WQC 中的門(mén)操作[5,34,50,108,109],并演示Deutsch算法[8,110]和Simon 算法[10],量子博弈[69],盲量子計(jì)算[67],量子糾錯(cuò)碼[111],關(guān)聯(lián)空間中的MBQC 模型[112]等.2019 年,Reimer 等[113]利用光子的時(shí)間和頻率自由度實(shí)驗(yàn)演示了基于多能級(jí)簇態(tài)的高維1WQC,顯示出相對(duì)傳統(tǒng)二能級(jí)簇態(tài)更高的抗噪特性.從技術(shù)上看,1WQC 模型與集成光量子芯片技術(shù)的結(jié)合有助于未來(lái)可擴(kuò)展的光學(xué)量子信息處理[114,115].

在基于傳態(tài)的計(jì)算模型方面,以Gottesman-Chuang 傳態(tài)計(jì)算理論[19]為基礎(chǔ),2001 年Knill-Laflamme-Milburn (KLM) 方案[116]僅用分束器、相移器、單光子源和光探測(cè)器等構(gòu)成的線性光學(xué)系統(tǒng)就能有效實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算.具體而言,光探測(cè)過(guò)程中潛在的非線性可以通過(guò)測(cè)量轉(zhuǎn)移到量子比特上,從而實(shí)現(xiàn)普適計(jì)算.2005 年,中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)郭光燦課題組[117]利用線性光學(xué)操控、參數(shù)下轉(zhuǎn)換產(chǎn)生的光子極化-路徑糾纏以及符合測(cè)量中的后選擇技術(shù),實(shí)現(xiàn)了TQC 模型中關(guān)鍵的量子CNOT門(mén)傳輸.隨后,該組又實(shí)現(xiàn)了傳輸單量子比特旋轉(zhuǎn)作用于遠(yuǎn)程光子[118].2010 年,潘建偉課題組[119]也發(fā)展出了基于其他光子自由度和糾纏態(tài)來(lái)實(shí)現(xiàn)傳輸量子門(mén)的實(shí)驗(yàn)方案及演示工作.

除了離散變量系統(tǒng),近年來(lái)MBQC 也在多模連續(xù)變量光學(xué)系統(tǒng)中得以實(shí)現(xiàn).山西大學(xué)彭堃墀課題組[120-123]和東京大學(xué)Furusawa 課題組[65,124-126]在制備連續(xù)變量光學(xué)簇態(tài)和實(shí)驗(yàn)演示MBQC 方面積累了顯著的系統(tǒng)性工作,當(dāng)前基于連續(xù)變量系統(tǒng)執(zhí)行容錯(cuò)MBQC 的挑戰(zhàn)在于低錯(cuò)誤率立方相位門(mén)的實(shí)現(xiàn)及可擴(kuò)展的光學(xué)集成等方面.

4.2 離子阱體系

早在1995 年Cirac 和Zoller[127]就提出了將離子阱系統(tǒng)用于量子計(jì)算的方案.離子阱將一串離子囚禁在線性阱中,且用其冷卻到基態(tài)的兩個(gè)內(nèi)能級(jí)編碼1 個(gè)量子比特.單比特操作可以通過(guò)激光脈沖尋址作用在相應(yīng)離子上實(shí)現(xiàn),兩比特的受控操作可通過(guò)用離子串的公共質(zhì)心及聲子協(xié)助完成,測(cè)量離子發(fā)出的熒光光譜就實(shí)現(xiàn)了量子態(tài)讀取.離子阱系統(tǒng)在制備二維簇態(tài)上表現(xiàn)出良好的擴(kuò)展性[128],且可在2D 離子阱陣列上演示適用于容錯(cuò)MBQC 方案的3D 簇態(tài)[129].2013 年Lanyon 等[6]制備多種不同類(lèi)別的圖態(tài)用于演示MBQC 中的普適門(mén)操作和糾錯(cuò)碼,并獲得較高的態(tài)保真度.進(jìn)一步地,該課題組[130]也演示了離子阱系統(tǒng)圖態(tài)對(duì)于多方Bell不等式的違背.

4.3 超導(dǎo)量子體系

在超導(dǎo)量子系統(tǒng)中,基于約瑟夫森效應(yīng)構(gòu)造超導(dǎo)約瑟夫森結(jié)作為量子比特,通過(guò)施加電流、電場(chǎng)或微波控制實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的量子門(mén)操作.早期MBQC相關(guān)的實(shí)驗(yàn)方案包括:超導(dǎo)量子電路中使用“一步法”制備大規(guī)模簇態(tài)[131],與腔QED 相結(jié)合的超導(dǎo)量子比特系統(tǒng)[132-134]等.2019 年,潘建偉組在超導(dǎo)電路系統(tǒng)制備具有真多方糾纏且保真度達(dá)到70%的12 量子比特簇態(tài)[135],Mooney 等[136]也基于IBM的量子云平臺(tái)制備20 量子比特規(guī)模的圖態(tài)并用特定的糾纏見(jiàn)證(entanglement witness)進(jìn)行刻畫(huà),且Albarrán-Arriagada 等[137]提出使用幾十個(gè)量子比特執(zhí)行1WQC 且相比簇態(tài)更加節(jié)省資源的超導(dǎo)實(shí)驗(yàn)方案.這些成果為未來(lái)可擴(kuò)展的MBQC 奠定了理論和實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ).目前已有一些基于超導(dǎo)電路的量子計(jì)算云平臺(tái)問(wèn)世(如IBM Q),方便研究者們實(shí)驗(yàn)演示各種MBQC 相關(guān)的信息處理方案,如執(zhí)行基于測(cè)量的量子網(wǎng)絡(luò)編碼[12].

4.4 其他方案

當(dāng)前,基于其他物理體系來(lái)制備量子簇態(tài)和圖態(tài)或演示MBQC 模型的方案包括光學(xué)晶格囚禁冷原子體系[138,139]、量子點(diǎn)[140,141]、核磁共振(NMR)系統(tǒng)[142]、腔量子電動(dòng)力學(xué)(QED)[143]等.整體而言,當(dāng)前基于離散變量系統(tǒng)演示MBQC 的實(shí)驗(yàn)規(guī)模還局限在幾十個(gè)量子比特,而連續(xù)變量系統(tǒng)技術(shù)上可以產(chǎn)生具有上百萬(wàn)個(gè)不可分模式的簇態(tài)[126].這些實(shí)驗(yàn)技術(shù)與方法的新進(jìn)展為未來(lái)實(shí)現(xiàn)大規(guī)模MBQC 提供了更多選擇.

5 MBQC 的未來(lái)研究展望

如前文所述,MBQC 將量子信息處理和凝聚態(tài)物理領(lǐng)域中的問(wèn)題相聯(lián)系,相關(guān)研究?jī)?nèi)容至今還在不斷拓展和深化.這里對(duì)未來(lái)具有潛力的研究方向進(jìn)行討論和展望.

1)構(gòu)建基于新型資源態(tài)的MBQC 模型.例如在實(shí)現(xiàn)普適計(jì)算方面,對(duì)一類(lèi)具有對(duì)稱保護(hù)拓?fù)湫虻腢nion Jack 態(tài)執(zhí)行單qubit 泡利X,Y和Z測(cè)量[75],或?qū)?019 年Takeuchi 等[144]構(gòu)造的特定超圖態(tài)僅用泡利X和Z測(cè)量都足以實(shí)現(xiàn)普適量子計(jì)算.就計(jì)算魯棒性而言,超圖態(tài)本身的一些非局域性和糾纏性質(zhì)使得其對(duì)于局域?qū)嵲?local realism)呈現(xiàn)指數(shù)增加的違背,因而可以很好地抵抗粒子損失[83].如何基于其他類(lèi)別的資源態(tài)設(shè)計(jì)抗噪且操作簡(jiǎn)便的普適MBQC 也符合實(shí)際的實(shí)驗(yàn)需求.此外,2019 年Gachechiladze 等[145]提出了一種3-一致超圖態(tài)用作新型確定性MBQC 的資源態(tài),且相關(guān)計(jì)算模型具有一些新的特征:僅用泡利測(cè)量就可以實(shí)現(xiàn)普適計(jì)算;允許并行執(zhí)行所有的邏輯CCZ和SWAP 門(mén);計(jì)算的邏輯深度等于邏輯Hadamard門(mén)的整體層數(shù)等.因此,有望進(jìn)一步從深度復(fù)雜性和并行化計(jì)算的角度研究MBQC 的優(yōu)化方案.

2)量子關(guān)聯(lián)與特定計(jì)算模型之間的關(guān)系及其應(yīng)用.在3.2 節(jié)中已介紹了MBQC 模型和量子關(guān)聯(lián)非經(jīng)典性之間的緊密聯(lián)系,這些研究近年來(lái)啟發(fā)了不少新奇的后續(xù)進(jìn)展,如2018 年Mansfield 和Kashefi[146]提出“序列文本變換中的互文性”可能導(dǎo)致的計(jì)算優(yōu)勢(shì),Frembs 等[147]展示在d維qudit系統(tǒng)中,強(qiáng)非局域性配合經(jīng)典線性處理足以估計(jì)高度多項(xiàng)式函數(shù).因此,值得進(jìn)一步探索的問(wèn)題是:其他類(lèi)型的MBQC 是否也具有特定的量子關(guān)聯(lián)特性? 這樣的特性能否帶來(lái)相對(duì)經(jīng)典算法的計(jì)算優(yōu)勢(shì)? 傅里葉分析理論表明任意的布爾函數(shù)都具有相應(yīng)的多項(xiàng)式表示.因此,進(jìn)一步發(fā)展和挖掘NMQC⊕以及MBQC 模型的潛力,有望構(gòu)建出能計(jì)算任意非線性布爾函數(shù)且相對(duì)特定經(jīng)典模型展現(xiàn)量子優(yōu)勢(shì)的新型計(jì)算模型,并應(yīng)用到依賴于Bent 函數(shù)等高度非線性布爾函數(shù)的密碼學(xué)[148],或需要非線性激活層的量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[149]等領(lǐng)域.不同量子資源態(tài)在計(jì)算特定布爾函數(shù)的同時(shí),所得結(jié)果又能反過(guò)來(lái)用于測(cè)試和核實(shí)該量子態(tài)在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中的非經(jīng)典特性,預(yù)示著新的量子態(tài)驗(yàn)證方法.

3)用于普適量子計(jì)算的物質(zhì)相研究.從凝聚態(tài)物質(zhì)的角度看,量子計(jì)算的物質(zhì)相是1 個(gè)有趣的交叉研究方向[103,104].如3.3 節(jié)所述,考慮SPTO的概念包含了多種不同類(lèi)別的態(tài)結(jié)構(gòu)和物質(zhì)相,進(jìn)一步探索SPTO 和MBQC 及量子元胞自動(dòng)機(jī)(cellular automaton)這幾者之間的關(guān)系,有助于構(gòu)造新型計(jì)算普適的物質(zhì)相(如對(duì)稱保護(hù)簇相[105,150]),及相應(yīng)SPT 態(tài)執(zhí)行普適量子計(jì)算的具體例子.在應(yīng)用層面,考慮將MBQC 和拓?fù)浼m錯(cuò)的思想結(jié)合起來(lái),能促進(jìn)對(duì)噪聲環(huán)境中順利運(yùn)行的可擴(kuò)展量子計(jì)算設(shè)備的研制.

6 總結(jié)

MBQC 計(jì)算模型及相關(guān)理論經(jīng)過(guò)近二十年的發(fā)展其內(nèi)涵已得到了極大豐富,重要結(jié)果和相關(guān)文獻(xiàn)資料繁多,本文在選題上注重基礎(chǔ)概念和典型案例,希望能啟發(fā)讀者進(jìn)一步學(xué)習(xí)和探索本文中未加詳述但同樣具有重要研究意義的相關(guān)課題,如用于普適MBQC 的AKLT 態(tài)[151],MBQC 與經(jīng)典自旋模型的聯(lián)系[72]等.本文涵蓋的主要內(nèi)容如下.

首先,簡(jiǎn)要介紹MBQC 模型的基礎(chǔ)概念和基本原理,包括用作計(jì)算資源態(tài)的量子圖態(tài),典型1WQC 和TQC 模型的執(zhí)行過(guò)程,MBQC 模型用于普適量子計(jì)算的條件及其在量子信息處理領(lǐng)域的應(yīng)用.接著,分析了MBQC 的計(jì)算能力和多體物理系統(tǒng)之間的聯(lián)系.前人的研究從多角度揭示出多體系統(tǒng)的各種量子特性,如量子糾纏、互文性、量子非局域性、對(duì)稱保護(hù)的拓?fù)湫虻仁荕BQC 模型能展現(xiàn)特定計(jì)算能力的物理根源.這些發(fā)現(xiàn)既可以促進(jìn)MBQC 等相關(guān)新型量子計(jì)算模型的設(shè)計(jì)和原理分析,也為復(fù)雜量子系統(tǒng)的性質(zhì)研究提供了來(lái)自計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域的審視.然后梳理了演示MBQC的不同技術(shù)路線,包括光量子、離子阱、超導(dǎo)電路等多種方案的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展.最后展望未來(lái)MBQC 模型的潛在研究方向,除了用于MBQC 的資源態(tài)類(lèi)型和物理性質(zhì)可進(jìn)一步豐富和擴(kuò)展外,還能與計(jì)算機(jī)領(lǐng)域關(guān)心的核心問(wèn)題相聯(lián)系,從而應(yīng)用到更廣闊的信息處理場(chǎng)景.

總之,MBQC 以具有不同糾纏特性的量子多體系統(tǒng)為資源態(tài),將其特有的非局域性、互文性和拓?fù)浔Ｗo(hù)等物理性質(zhì)與進(jìn)行信息處理的卓越能力(如量子優(yōu)勢(shì))相聯(lián)系,為實(shí)現(xiàn)普適量子計(jì)算或特定算法提供了新的理論途徑,且相關(guān)實(shí)驗(yàn)演示促使人們不斷提升對(duì)于量子物理系統(tǒng)的構(gòu)建與操控水平.因此,圍繞MBQC 模型開(kāi)展的研究將會(huì)給量子物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、光學(xué)和材料學(xué)等多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域帶來(lái)新的啟示,并促進(jìn)NISQ 時(shí)代下量子計(jì)算機(jī)的發(fā)展.