陳然一鎏 趙犇池 宋旨欣 趙炫強(qiáng) 王琨 王鑫

(百度研究院量子計(jì)算研究所,北京 100193)

量子計(jì)算作為一種新興的計(jì)算范式,有望解決在組合優(yōu)化、量子化學(xué)、信息安全、人工智能領(lǐng)域中經(jīng)典計(jì)算機(jī)難以解決的技術(shù)難題.目前量子計(jì)算硬件與軟件都在持續(xù)高速發(fā)展,不過(guò)未來(lái)幾年預(yù)計(jì)仍無(wú)法達(dá)到通用量子計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn).因此短期內(nèi)如何利用量子硬件解決實(shí)際問(wèn)題成為了當(dāng)前量子計(jì)算領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn),探索近期量子硬件的應(yīng)用對(duì)理解量子硬件的能力與推進(jìn)量子計(jì)算的實(shí)用化進(jìn)程有著重要意義.針對(duì)近期量子硬件,混合量子-經(jīng)典算法(也稱變分量子算法)是一個(gè)較為合理的模型.混合量子-經(jīng)典算法借助經(jīng)典計(jì)算機(jī)盡可能發(fā)揮量子設(shè)備的計(jì)算能力,結(jié)合量子計(jì)算與機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù),有望實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算的首批實(shí)際應(yīng)用,在近期量子計(jì)算設(shè)備的算法研究中具有重要地位.本文綜述了混合量子-經(jīng)典算法的設(shè)計(jì)框架以及在量子信息、組合優(yōu)化、量子機(jī)器學(xué)習(xí)、量子糾錯(cuò)等領(lǐng)域的研究進(jìn)展,并對(duì)混合量子-經(jīng)典算法的挑戰(zhàn)以及未來(lái)研究方向進(jìn)行了展望.

1 引言

量子計(jì)算是基于量子力學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)的一門新興學(xué)科,被認(rèn)為在人工智能、信息安全、生物制藥、量子化學(xué)等領(lǐng)域能帶來(lái)極具潛力的應(yīng)用.特別地,通用量子計(jì)算機(jī)理論上可以高效地解決經(jīng)典計(jì)算機(jī)無(wú)法高效解決的大數(shù)分解[1]、數(shù)據(jù)搜索[2]、量子模擬[3]等問(wèn)題.隨著學(xué)術(shù)界與工業(yè)界對(duì)量子計(jì)算技術(shù)研發(fā)力度的逐步加大,量子計(jì)算硬件的技術(shù)在不斷地進(jìn)步[4-7].盡管如此,目前的技術(shù)離通用量子計(jì)算機(jī)要求的保真度、相干時(shí)間等條件還有一段距離.因此,從目前已實(shí)現(xiàn)幾十量子位到未來(lái)實(shí)現(xiàn)通用量子計(jì)算這段時(shí)間,如何利用好當(dāng)前不斷增強(qiáng)的有噪中規(guī)量子(noisy intermediate-scale quantum,NISQ)計(jì)算設(shè)備[8],是一個(gè)至關(guān)重要的問(wèn)題,也是當(dāng)前量子計(jì)算領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn).

NISQ 計(jì)算設(shè)備有從幾十到幾百的量子位,這些量子位是沒(méi)有糾錯(cuò)的物理量子比特(而非邏輯量子比特),只能進(jìn)行相干時(shí)間有限的不完美的量子操作.在追尋量子計(jì)算優(yōu)勢(shì)的過(guò)程中,學(xué)者們基于NISQ 計(jì)算設(shè)備進(jìn)行了諸多應(yīng)用的探索,涵蓋了組合優(yōu)化[9]、量子化學(xué)[10]、量子物理[8]、機(jī)器學(xué)習(xí)[11,12]等諸多方向,目標(biāo)是盡可能利用NISQ 設(shè)備的能力去完成特定的對(duì)于經(jīng)典計(jì)算相對(duì)有挑戰(zhàn)的任務(wù).

基于NISQ 設(shè)備,最常見(jiàn)的算法模型為混合量子-經(jīng)典算法,旨在借助經(jīng)典計(jì)算機(jī)的力量盡可能發(fā)揮NISQ 計(jì)算設(shè)備的能力去解決具體的問(wèn)題.混合量子-經(jīng)典算法的一部分任務(wù)由量子計(jì)算設(shè)備完成,然后通過(guò)經(jīng)典計(jì)算調(diào)整量子計(jì)算部分的可調(diào)參數(shù),反復(fù)迭代最后輸出結(jié)果.由于采用的電路擬設(shè)可以由NISQ 設(shè)備高效實(shí)現(xiàn),混合量子-經(jīng)典算法被認(rèn)為可以基于近期設(shè)備發(fā)揮量子優(yōu)勢(shì).混合量子-經(jīng)典算法在諸多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用,其中最具有代表性的包括求解組合優(yōu)化問(wèn)題的量子近似優(yōu)化算法(quantum approximate optimization algorithm,QAOA)[13]與求解基態(tài)能量問(wèn)題的變分量子本征求解器(variational quantum eigensolver,VQE)[10,14].囿于目前對(duì)外開(kāi)放的量子設(shè)備有限,同時(shí)又涉及經(jīng)典與量子設(shè)備之間的交互,目前此類混合算法通常在模擬平臺(tái)[15-17]上進(jìn)行小規(guī)模開(kāi)發(fā),然后通過(guò)硬件平臺(tái)驗(yàn)證效果.量槳[15]是國(guó)內(nèi)較為完善的混合算法開(kāi)發(fā)平臺(tái),借助技術(shù)領(lǐng)先的產(chǎn)業(yè)級(jí)深度學(xué)習(xí)框架飛槳[18,19],通過(guò)深度學(xué)習(xí)賦能量子計(jì)算領(lǐng)域的前沿研發(fā).

本綜述就混合量子-經(jīng)典算法的概念、原理、應(yīng)用實(shí)例、挑戰(zhàn)與瓶頸等方面進(jìn)行詳細(xì)的介紹.具體的文章結(jié)構(gòu)如下:第2 節(jié)介紹混合量子-經(jīng)典算法中的基本概念與設(shè)計(jì)思想;第3 節(jié)列舉混合量子-經(jīng)典算法在不同領(lǐng)域中具有代表性的若干應(yīng)用;第4 節(jié)討論混合量子-經(jīng)典算法目前面臨的主要挑戰(zhàn);第5 節(jié)進(jìn)行總結(jié).

本文常用的符號(hào)如表1 所列.

表1 主要符號(hào)表Table 1.Notations.

2 基本概念

混合量子-經(jīng)典算法的核心在于將計(jì)算任務(wù)轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問(wèn)題.以最具代表性的變分量子本征求解器(VQE)[10]為例,VQE 將求解哈密頓量H的基態(tài)能量E0問(wèn)題轉(zhuǎn)化為整個(gè)密度算符(量子態(tài))集合上的優(yōu)化問(wèn)題:

其中D表示所有與H維數(shù)相同的密度算符的集合,而 Tr[Hρ] 可以通過(guò)對(duì)量子態(tài)的測(cè)量得到.進(jìn)一步地,如果將量子態(tài)ρ視作從某個(gè)固定量子態(tài)ρin出發(fā),經(jīng)過(guò)一個(gè)參數(shù)化酉變U(θ) 演化之后的量子態(tài)ρ=U(θ)ρinU(θ)?,則VQE 可以表示為一個(gè)參數(shù)空間上的優(yōu)化問(wèn)題:

通過(guò)調(diào)整參數(shù)θ以最小化C(θ),VQE 最終得到目標(biāo)基態(tài)能量E0.

從VQE 的例子中可以看出,混合量子-經(jīng)典算法通常包含一個(gè)精心設(shè)計(jì)的損失函數(shù)C,使得當(dāng)C取最小(或最大)值時(shí)可以實(shí)現(xiàn)計(jì)算任務(wù).隨后,混合量子-經(jīng)典算法通過(guò)調(diào)整一個(gè)參數(shù)化酉變U(θ)最小(或最大)化損失函數(shù),從而實(shí)現(xiàn)計(jì)算任務(wù).值得注意的是,由于損失函數(shù)實(shí)現(xiàn)了從實(shí)數(shù)(可調(diào)參數(shù))到實(shí)數(shù)(測(cè)量結(jié)果)的映射,混合量子-經(jīng)典算法可以使用經(jīng)典優(yōu)化方法來(lái)優(yōu)化可調(diào)參數(shù)θ.可見(jiàn),算法結(jié)合了量子設(shè)備的計(jì)算能力與經(jīng)典設(shè)備的優(yōu)化方法,故得名混合量子-經(jīng)典算法.典型的混合量子-經(jīng)典算法流程如圖1 所示.

由圖1 可知,實(shí)現(xiàn)一個(gè)混合量子-經(jīng)典算法必須考慮如何設(shè)計(jì)損失函數(shù)將計(jì)算任務(wù)轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問(wèn)題,以及如何構(gòu)造一個(gè)參數(shù)化酉變(如果算法處理的任務(wù)涉及到經(jīng)典數(shù)據(jù),則需要額外的編碼過(guò)程將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成量子數(shù)據(jù).詳見(jiàn)3.4.1 節(jié)).此外,混合量子-經(jīng)典算法中采用的經(jīng)典優(yōu)化方法往往會(huì)對(duì)算法的效率和準(zhǔn)確度產(chǎn)生影響.特別地,相比于不基于梯度的優(yōu)化方法,解析梯度以及解析高階導(dǎo)數(shù)因?yàn)樾枰\(yùn)行更少的量子電路來(lái)決定優(yōu)化方向成為混合量子-經(jīng)典算法所關(guān)注的重點(diǎn).本節(jié)接下來(lái)將就這幾個(gè)混合量子-經(jīng)典算法中的基本概念展開(kāi)討論.

圖1 混合量子-經(jīng)典算法流程Fig.1.Diagram for hybrid quantum-classical algorithms.

2.1 損失函數(shù)

損失函數(shù)是混合量子-經(jīng)典算法設(shè)計(jì)的核心.一般來(lái)說(shuō),為保證函數(shù)值可以在量子設(shè)備上通過(guò)測(cè)量高效計(jì)算,混合量子-經(jīng)典算法中的損失函數(shù)具有如下形式:

其中ρj是一組輸入量子態(tài),Hj是一組厄米特算符,表示在電路末端進(jìn)行Hj測(cè)量的結(jié)果,fj是一組經(jīng)典函數(shù),表示對(duì)測(cè)量結(jié)果的經(jīng)典后處理.由混合量子-經(jīng)典算法的框架可知,損失函數(shù)的設(shè)計(jì)必須滿足:當(dāng)且僅當(dāng)損失函數(shù)達(dá)到全局最小時(shí),計(jì)算任務(wù)求得解.這被稱為混合量子-經(jīng)典算法的忠實(shí)性條件[20].對(duì)于VQE 算法,由于其損失函數(shù)直接設(shè)為哈密頓量的測(cè)量值,忠實(shí)性條件自然滿足.

需要指出的是,考慮到在近期設(shè)備上的適用性,混合量子-經(jīng)典算法的損失函數(shù)必須能夠高效地計(jì)算.根據(jù)厄米特算符Hj的種類,計(jì)算損失函數(shù)的方法可大致分為以下幾種:

1)Hj是泡利算符.此時(shí)損失函數(shù)可以直接通過(guò)對(duì)量子態(tài)的泡利測(cè)量得到.特別地,在許多常見(jiàn)的物理模型(如伊辛模型)中,Hj寫成局部泡利算符的線性組合:

其中Pj,k是泡利算符,且只不平凡地作用在局部的量子比特上.若每一個(gè)Pj,k最多只作用于m個(gè)量子比特,則稱損失函數(shù)為m-局部的.局部損失函數(shù)相較于全局損失函數(shù)在梯度消失問(wèn)題上被認(rèn)為更具有優(yōu)勢(shì)[21](詳見(jiàn)4.3 節(jié)).

2)Hj是密度算符σ.此時(shí)計(jì)算任務(wù)往往包含計(jì)算量子態(tài)之間的態(tài)重疊(Tr[ρσ]),或量子態(tài)的純性(Tr[ρ2]).這類的損失函數(shù)可通過(guò)交換測(cè)試[22]或其變種破壞性交換測(cè)試[23]在量子設(shè)備上計(jì)算(電路實(shí)現(xiàn)分別如圖2(a)和圖2(b)所示).同時(shí),由于密度算符之間的Frobenius 距離可以寫成如下形式:

圖2(a) 交換測(cè)試電路;(b)破壞性交換測(cè)試電路;(c) 哈達(dá)瑪測(cè)試電路Fig.2.(a) Swap test circuit;(b) destructive swap test circuit;(c) Hadamard test circuit.

故密度算符的Frobenius 距離也可以由交換測(cè)試得到,其常見(jiàn)于量子態(tài)制備相關(guān)的任務(wù).

3)Hj中包含酉算符.由于酉算符自身不是厄米特算符,此時(shí)需要對(duì)酉算符進(jìn)行變換,常見(jiàn)的變換包括哈達(dá)瑪測(cè)試[24],用于計(jì)算

哈達(dá)瑪測(cè)試的電路實(shí)現(xiàn)如圖2(c)所示.同時(shí),通過(guò)將哈達(dá)瑪測(cè)試電路輸入端的|0〉替換為-i|1〉)即可計(jì)算 Im(Tr[Uρ]) .

2.2 參數(shù)化酉變

作為典型的NISQ 算法,混合量子-經(jīng)典算法實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵在于采用近期設(shè)備可實(shí)現(xiàn)的參數(shù)化酉變.參數(shù)化量子電路(parameterized quantum circuit,PQC)是一種通用的參數(shù)化酉變實(shí)現(xiàn)方式.在PQC 中,電路一般采用分層結(jié)構(gòu):

式中L被稱為電路的層數(shù).由于設(shè)備噪聲的存在,近期設(shè)備所能提供的有效的電路寬度(量子比特?cái)?shù)n)和深度(層數(shù)L)將受到限制.同時(shí),為使電路能夠在近期設(shè)備上高效實(shí)現(xiàn),在電路的每一層Ul(θl)=Vl(θl)Wl中,參數(shù)化的酉門Vl(θl)=Πke-iθkAk/2一般采用單比特旋轉(zhuǎn)門或含參雙比特門(ZZ 門);而不含參的酉門Wl作為連接層,一般由臨近量子比特間的CNOT 或CZ 兩比特門構(gòu)成,為電路提供糾纏能力.參數(shù)化電路的結(jié)構(gòu)也常被稱為擬設(shè).由于參數(shù)化量子電路的邏輯結(jié)構(gòu)與設(shè)計(jì)思想和機(jī)器學(xué)習(xí)中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相似,參數(shù)化量子電路又被稱為量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(quantum neural network,QNN).

在針對(duì)特定問(wèn)題的算法中,可以通過(guò)問(wèn)題的解的先驗(yàn)信息針對(duì)性地設(shè)計(jì)電路擬設(shè)(如組合優(yōu)化問(wèn)題中的量子交替算符擬設(shè)[9]等).而在針對(duì)一般問(wèn)題的電路結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中,或當(dāng)問(wèn)題的解不存在先驗(yàn)信息時(shí),電路結(jié)構(gòu)的每一層Ul(θl) 往往采用相同的結(jié)構(gòu),即Ul(θl)=U(θl)=V(θl)W.文獻(xiàn)[25]列舉了若干常見(jiàn)的硬件高效擬設(shè).此外,文獻(xiàn)[21]設(shè)計(jì)了一種交錯(cuò)分層擬設(shè).這樣的擬設(shè)在寬度或深度增大時(shí)會(huì)面臨電路可訓(xùn)練性變差等問(wèn)題.相對(duì)地,一些每層結(jié)構(gòu)各不相同的電路擬設(shè)在特定任務(wù)下?lián)碛懈玫谋憩F(xiàn).下面介紹幾種特殊的的電路擬設(shè).

1) 量子感知機(jī)[26,27].類比于經(jīng)典神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的感知機(jī)模型,在量子感知機(jī)模型中,每個(gè)神經(jīng)元對(duì)應(yīng)一個(gè)量子比特,神經(jīng)元之間的連接對(duì)應(yīng)作用在兩端的量子比特上的酉變.量子感知機(jī)模型及其對(duì)應(yīng)的量子電路模型如圖3(a)所示.一種耗散量子感知機(jī)模型[27]在節(jié)省量子比特?cái)?shù)方面具有一定優(yōu)勢(shì).

2) 量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(quantum convolutional neural network,QCNN)[28].在QCNN 中,電路各層被進(jìn)一步分為卷積層和池化層.卷積層電路由參數(shù)化的酉門構(gòu)成,而在池化層中,電路通過(guò)測(cè)量部分量子比特減小系統(tǒng)的維度.此外,一種樹(shù)張量網(wǎng)絡(luò)[29]也采用了類似的結(jié)構(gòu)逐層減小系統(tǒng)的寬度.QCNN 和樹(shù)張量網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)如圖3(b)所示.由于系統(tǒng)的有效寬度隨層數(shù)快速減小,QCNN 等技術(shù)有望避免梯度消失問(wèn)題[30].

3) 影子電路[31].受到經(jīng)典影子學(xué)習(xí)[32]的啟發(fā),影子電路模型通過(guò)對(duì)多次局部酉變和局部測(cè)量結(jié)果的后處理學(xué)習(xí)目標(biāo)特征.在每一次影子電路的運(yùn)行中,參數(shù)化的酉門只作用在部分系統(tǒng)上,然后對(duì)這部分系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)量,這種部分系統(tǒng)的測(cè)量信息被稱為“影子”;最后,將所有的“影子”進(jìn)行經(jīng)典后處理(例如全連接的經(jīng)典神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))以提取特征.影子電路模型如圖3(c)所示.由于采用了局部的電路和測(cè)量,影子電路模型在節(jié)約計(jì)算資源(需要訓(xùn)練的參數(shù)量)和可訓(xùn)練性方面更有優(yōu)勢(shì).

圖3 (a) 量子感知機(jī);(b)量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);(c)影子電路Fig.3.(a) Quantum perceptron;(b) quantum convolutional neural network;(c) shadow circuit.

參數(shù)化量子電路的設(shè)計(jì)目前主要面臨兩個(gè)挑戰(zhàn):其一是如何在有限的深度下保證擁有足夠的表達(dá)能力和糾纏能力來(lái)完成任務(wù),其二是如何保證參數(shù)的可訓(xùn)練性.第4 節(jié)將就這兩個(gè)問(wèn)題作進(jìn)一步討論.

2.3 優(yōu)化方法

由于混合量子-經(jīng)典算法將損失函數(shù)的優(yōu)化任務(wù)“外包”給了經(jīng)典計(jì)算機(jī),絕大多數(shù)經(jīng)典優(yōu)化方法都可以用于混合量子-經(jīng)典算法中的優(yōu)化步驟.常用的混合量子-經(jīng)典算法的經(jīng)典優(yōu)化方法中,基于梯度的方法有批量梯度下降、ADAM 優(yōu)化、涉及多樣本的隨機(jī)梯度下降(stochastic gradient decent,SGD)、以及基于梯度估計(jì)的同步擾動(dòng)隨機(jī)逼近算法(simultaneous perturbation stochastic approximation,SPSA)等.由于混合量子-經(jīng)典算法中損失函數(shù)的解析梯度可以在量子設(shè)備上直接計(jì)算(詳見(jiàn)2.4 節(jié)),SGD 和ADAM 被廣泛應(yīng)用于各類混合量子-經(jīng)典算法,特別是算法的經(jīng)典模擬[33]中;同時(shí),非梯度的優(yōu)化方法包括下山單純形法、粒子群算法、貝葉斯估計(jì)等,這些優(yōu)化算法的詳細(xì)內(nèi)容可參閱優(yōu)化理論相關(guān)教材[34].

值得一提的是,基于參數(shù)化量子電路特有的屬性,專門針對(duì)混合量子-經(jīng)典算法的優(yōu)化方法也相繼被提出.一種基于梯度的優(yōu)化方法被稱為量子自然梯度[35]優(yōu)化.相比于傳統(tǒng)的梯度下降法,量子自然梯度優(yōu)化在每輪迭代中參數(shù)更新時(shí)需額外計(jì)算因子g+:

其中g(shù)為Fubini-Study 度量張量,g+表示g的偽逆.更進(jìn)一步地,由于Fubini-Study 度量張量g的分塊對(duì)角矩陣近似也可以在量子設(shè)備上直接計(jì)算(詳見(jiàn)2.4 節(jié)),結(jié)合解析梯度?C,整個(gè)量子自然梯度優(yōu)化的參數(shù)更新便可以在混合量子-經(jīng)典算法的框架下實(shí)現(xiàn).相比于傳統(tǒng)的梯度下降法,量子自然梯度在一些VQE 問(wèn)題中具有更快的收斂速度.

另一類針對(duì)混合量子-經(jīng)典算法的非梯度優(yōu)化方法被稱為量子序列最小優(yōu)化[36-38].此類優(yōu)化方法的關(guān)鍵在于利用了損失函數(shù)的如下性質(zhì):當(dāng)損失函數(shù)(3)式中的后處理函數(shù)fj均為一次函數(shù),且參數(shù)化酉門Vl(θl)=Πke-iθkAk/2中的生成元Ak滿足=I時(shí),固定其他參數(shù),損失函數(shù)C是任一參數(shù)的周期為 2π 的正弦函數(shù).基于此,量子序列最小優(yōu)化方法在優(yōu)化參數(shù)時(shí),可以選取一個(gè)或一組參數(shù)并固定其他參數(shù),直接將選取的參數(shù)調(diào)至當(dāng)前最優(yōu),隨后對(duì)所有參數(shù)重復(fù)這一過(guò)程直至收斂.相比于傳統(tǒng)的梯度下降法,量子序列最小優(yōu)化在一些VQE問(wèn)題中具有更快的收斂速度.

2.4 解析梯度

混合量子-經(jīng)典算法的一大優(yōu)勢(shì)在于其損失函數(shù)的梯度可以在量子設(shè)備上直接計(jì)算.不失一般性,假設(shè)損失函數(shù)不包含對(duì)測(cè)量結(jié)果的經(jīng)典后處理:

顯然,包含經(jīng)典后處理的損失函數(shù)可以利用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則得到.

參數(shù)平移規(guī)則[39,40]是計(jì)算混合量子-經(jīng)典算法中解析梯度的基本工具.該規(guī)則表明,當(dāng)參數(shù)化酉門Vl(θl)=Πke-iθkAk/2中的生成元Ak滿足=I時(shí),形如(9)式的損失函數(shù)對(duì)參數(shù)θk的偏導(dǎo)為

式中C(θk±π/2)表示C中參數(shù)θk±π/2 而其他參數(shù)保持不變.因此,通過(guò)改變目標(biāo)參數(shù)后計(jì)算兩次電路的輸出,可以得到損失函數(shù)關(guān)于目標(biāo)參數(shù)的梯度值.進(jìn)一步地,在一些基于梯度的優(yōu)化算法中需要用到高階導(dǎo)數(shù)信息(如黑塞矩陣等),此時(shí)反復(fù)利用參數(shù)平移規(guī)則即可求解相應(yīng)的高階導(dǎo)數(shù).

除參數(shù)平移規(guī)則之外,另一種計(jì)算參數(shù)的方法[41]將偏導(dǎo)式(10)表示為

式中U-(U+)表示參數(shù)θk對(duì)應(yīng)的參數(shù)化酉門之前(之后)的電路,即U-=Ul(θl)···U1(θ1),U+=UL(θL)···Ul+1(θl+1).因此,當(dāng)P也是酉算符時(shí)(P通常為局部泡利算符),梯度值也可以通過(guò)引入一個(gè)輔助比特經(jīng)由哈達(dá)瑪測(cè)試(見(jiàn)2.1 節(jié))計(jì)算得到.

最后簡(jiǎn)單介紹量子自然梯度中的Fubini-Study度量張量的近似計(jì)算[35].文獻(xiàn)[35]表明,Fubini-Study 度量張量有分塊對(duì)角矩陣近似g=diag(g(1),g(2),···,g(L)),且對(duì)角子矩陣g(l) 的矩陣元滿足

可見(jiàn),通過(guò)對(duì)電路運(yùn)行結(jié)果進(jìn)行測(cè)量可以直接得到度量張量的分塊對(duì)角矩陣近似.

2.5 計(jì)算精度

本節(jié)的最后簡(jiǎn)單討論混合量子-經(jīng)典算法中計(jì)算損失函數(shù)時(shí)達(dá)到的精度與所需的測(cè)量次數(shù).不失一般性,設(shè)待計(jì)算的損失函數(shù)為C=Tr[Hρout],其中ρout表示電路輸出量子態(tài).由于量子力學(xué)的內(nèi)稟隨機(jī)性,損失函數(shù)C實(shí)際上通過(guò)測(cè)量結(jié)果估計(jì)得到.為此,首先將H分解到泡利測(cè)量算符上:.隨后,損失函數(shù)C可按如下方式估計(jì):

1) 在泡利算符Pj上對(duì)ρout進(jìn)行T次測(cè)量.由于泡利測(cè)量只有兩種測(cè)量結(jié)果,記+1 結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)為M0,—1 結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)為M1,記Xj(1)=(M0-M1)/T.

時(shí),估計(jì)誤差有 1-δ的概率小于?,即Pr[≤?]≥1-δ.因此,當(dāng)m=O(poly(n)) 時(shí),損失函數(shù)可以通過(guò)測(cè)量在量子設(shè)備上以任意精度高效地估計(jì).

3 應(yīng)用實(shí)例

3.1 譜信息估計(jì)

由于物理粒子的密度算符、哈密頓量等物理量的矩陣描述都是厄米特矩陣,粒子的各種特性往往能被對(duì)應(yīng)物理量的譜信息(本征值)很好地描述;另一方面,量子電路模型也能直接處理密度矩陣(量子態(tài))和哈密頓量(可觀測(cè)量).因此,對(duì)厄米特矩陣的譜信息估計(jì)是混合量子-經(jīng)典算法的一個(gè)重要也是直接的應(yīng)用.

VQE 是譜信息估計(jì)中最典型的一個(gè)例子.在VQE 中,基態(tài)能量直接對(duì)應(yīng)厄米特矩陣的最小本征值;同時(shí),VQE 基于“對(duì)任意量子態(tài)的測(cè)量值的期望都不小于最小本征值”這一性質(zhì)設(shè)計(jì)損失函數(shù),從而成功求解基態(tài)能量.受VQE 啟發(fā),提取更多譜信息的混合量子-經(jīng)典算法被相繼提出.

3.1.1 子空間搜索-量子變分本征求解器

子空間搜索-量子變分本征求解器(subspace search VQE,SSVQE)[43]是VQE 算法的一個(gè)直接拓展.SSVQE 求解目標(biāo)哈密頓量的基態(tài)以及前K-1個(gè)激發(fā)態(tài)能量,亦即求解厄米特矩陣最小的K個(gè)本征值.在SSVQE 中,損失函數(shù)對(duì)K個(gè)正交單位向量(通常選取計(jì)算基向量)經(jīng)過(guò)參數(shù)化電路后的測(cè)量值加權(quán)求和:

其中|ek〉為H第k小個(gè)本征值對(duì)應(yīng)的本征向量,即H的第k激發(fā)態(tài).因此,當(dāng)損失函數(shù)優(yōu)化到最小時(shí),測(cè)量得到Tr[HU(θ)ρkU?(θ)]即為厄米特矩陣第k小個(gè)本征值,亦即待求的基態(tài)或激發(fā)態(tài)能量.

3.1.2 變分量子態(tài)對(duì)角化

對(duì)混態(tài)的譜分解(對(duì)角化)有助于我們理解量子態(tài)的糾纏性質(zhì).變分量子態(tài)對(duì)角化(variational quantum state diagonalization,VQSD)[44]算法求解酉變U使得目標(biāo)態(tài)ρ經(jīng)過(guò)酉變后在計(jì)算基上對(duì)角化,即.在VQSD 中,記=U(θ)ρU?(θ),損失函數(shù)提供了兩種設(shè)計(jì):

其中D表示整個(gè)輸入量子態(tài)上的(完全)去極化信道,Dj表示僅對(duì)第j個(gè)量子比特作用的(完全)去極化信道.顯然C1和C2等于0 當(dāng)且僅當(dāng)ρ～ 實(shí)現(xiàn)了對(duì)角化.因此,通過(guò)優(yōu)化損失函數(shù)至0 即可完成量子態(tài)的對(duì)角化.同時(shí),文獻(xiàn)[44]分別設(shè)計(jì)了兩種電路用于計(jì)算兩個(gè)損失函數(shù).文獻(xiàn)[44]指出,由于C1擁有更簡(jiǎn)單的計(jì)算電路,而C2擁有更好的可訓(xùn)練性,在實(shí)際訓(xùn)練中可以根據(jù)量子比特?cái)?shù)對(duì)兩種損失函數(shù)進(jìn)行加權(quán)求和作為最終的損失函數(shù).

值得一提的是,由于哈密頓量和輸入量子態(tài)在損失函數(shù)中具有對(duì)偶性,3.1.1 節(jié)SSVQE 中對(duì)正交量子態(tài)加權(quán)求和的技巧也可用于量子態(tài)對(duì)角化,如文獻(xiàn)[20]就基于該技巧實(shí)現(xiàn)了量子態(tài)的本征值求解.

3.1.3 變分量子奇異值分解

奇異值分解作為譜分解的擴(kuò)展,在數(shù)據(jù)壓縮、推薦系統(tǒng)等領(lǐng)域具有重要應(yīng)用.變分量子奇異值分解(variational quantum singular value decomposition,VQSVD)[45]實(shí)現(xiàn)任意方陣M的奇異值分解.VQSVD 中,損失函數(shù)定義為

其中是一組互相正交的純態(tài),ωk是嚴(yán)格單調(diào)減小的正實(shí)數(shù)序列.文獻(xiàn)[45]證明上述損失函數(shù)取到最大值當(dāng)且僅當(dāng)

此外,由于對(duì)兩方糾纏態(tài)的施密特分解等價(jià)于糾纏態(tài)向量重排矩陣的奇異值分解,文獻(xiàn)[46]通過(guò)對(duì)優(yōu)化兩個(gè)局部參數(shù)化電路實(shí)現(xiàn)施密特分解.本質(zhì)上,文獻(xiàn)[46]和VQSVD 相當(dāng)于對(duì)待分解的矩陣采用了不同的編碼方式:VQSVD 將矩陣分解為酉算符的線性組合,而文獻(xiàn)[46]相當(dāng)于將矩陣重排為兩方量子態(tài)對(duì)應(yīng)的向量.

3.1.4 跡范數(shù)估計(jì)

3.2 距離估計(jì)

在量子設(shè)備上制備特定的量子態(tài)是一項(xiàng)重要的基本能力,例如在變分量子本征求解器中任務(wù)的目標(biāo)即可認(rèn)為是制備一個(gè)量子系統(tǒng)的能量基態(tài).在制備量子態(tài)后,離不開(kāi)驗(yàn)證和刻畫的過(guò)程.在這之中就會(huì)涉及到量子態(tài)之間距離估計(jì)的函數(shù).這里主要討論常用的兩種距離估計(jì)函數(shù)[47],即跡距離D

以及態(tài)保真度F

3.2.1 跡距離估計(jì)

由于對(duì)一般量子態(tài)間的跡距離的大小判斷屬于QSZK-complete 復(fù)雜度類[50],而QSZK (quantum statistic zero knowledge)包括了BQP (bounded-error quantum polynomial time)復(fù)雜度類,因此即使在量子計(jì)算機(jī)上跡距離的估計(jì)目前也不存在高效算法.由于跡距離具有如下性質(zhì):

其中P的優(yōu)化范圍是所有POVM 元(滿足0 ≤P≤I的半正定矩陣),文獻(xiàn)[49]基于該性質(zhì),并通過(guò)奈馬克擴(kuò)張定理引入一個(gè)輔助比特,將POVM元的優(yōu)化轉(zhuǎn)化為酉矩陣上的優(yōu)化,證明跡距離滿足

其中UA→R(XA)=TrA[U(XA ?|0〉〈0|R)U?] .因此,通過(guò)最大化損失函數(shù)C=Tr[|0〉〈0|R UA→R(ρ-σ)]即可得到ρ,σ間的跡距離估計(jì).值得一提的是,在文獻(xiàn)[49]中,(24)式由(20)式令H=1/2(ρ-σ)直接得到.

3.2.2 保真度估計(jì)

用經(jīng)典方法計(jì)算保真度F需要先對(duì)量子態(tài)ρ和σ進(jìn)行量子態(tài)層析來(lái)獲取密度算符的矩陣表示,然后在經(jīng)典計(jì)算機(jī)上按照(22)式進(jìn)行計(jì)算.由于希爾伯特空間維度隨著量子比特?cái)?shù)呈指數(shù)增長(zhǎng),這種方法通常認(rèn)為是困難的.隨之而來(lái)的問(wèn)題就是,在量子設(shè)備上直接估算態(tài)保真度是否可行,是否更高效.這種思路下的主要問(wèn)題在于保真度計(jì)算公式中涉及到對(duì)量子態(tài)的非整數(shù)冪的操作,沒(méi)有已知的量子算法可以精確完成這一任務(wù).針對(duì)這一問(wèn)題,文獻(xiàn)[20]提出了一種混合量子-經(jīng)典算法用于近似任意混合態(tài)σ和低秩態(tài)ρ之間保真度的方案(variational quantum fidelity estimation,VQFE),并給出對(duì)保真度估計(jì)的上下界.其主要原理是通過(guò)對(duì)ρ對(duì)角化獲取其在本征子空間上的譜信息然后計(jì)算σ在該基組表示下的矩陣元素從而得到對(duì)保真度的估計(jì).進(jìn)一步地,文獻(xiàn)[49]基于烏爾曼定理(Uhlmann’s theorem)給出了計(jì)算任意混合態(tài)之間保真度的方式.通過(guò)純化子程序,先分別獲得需要測(cè)量保真度的兩個(gè)量子態(tài)ρA和σA的純化態(tài)|ψ〉A(chǔ)R和|φ〉A(chǔ)R.然后通過(guò)純化中輔助量子比特的自由度以及經(jīng)典優(yōu)化算法去最大化兩個(gè)純化態(tài)之間的態(tài)重疊,即可獲得對(duì)保真度的估計(jì):

其中A表示原始問(wèn)題的空間,R表示純化子程序中引入的輔助量子比特的空間.

3.3 組合優(yōu)化問(wèn)題

組合優(yōu)化問(wèn)題是指從離散的可行解集合中找出最優(yōu)的一個(gè)解,如旅行商問(wèn)題、最大割問(wèn)題等著名的NP 困難問(wèn)題都屬于組合優(yōu)化問(wèn)題.這些問(wèn)題都可以抽象為最小化(或最大化)一個(gè)目標(biāo)函數(shù)D(x),其中x為一組離散的二進(jìn)制變量.

要在量子計(jì)算機(jī)上解決經(jīng)典組合優(yōu)化問(wèn)題,需要先把它轉(zhuǎn)化成量子優(yōu)化問(wèn)題.最直接的做法是將原問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)D(x)編碼為哈密頓量HD,使得該哈密頓量的基態(tài)對(duì)應(yīng)原優(yōu)化問(wèn)題的解[51].這樣,組合優(yōu)化問(wèn)題就變成了求解哈密頓量基態(tài)的問(wèn)題,即找到一個(gè)量子態(tài)|ψ〉使得

最小,而這正是混合量子-經(jīng)典算法擅長(zhǎng)的.根據(jù)VQE 的思想,可以利用參數(shù)化量子電路尋找態(tài)|ψ(θ)〉=U(θ)|s〉,其中量子態(tài)|s〉為量子電路運(yùn)行前的初始態(tài),θ為量子電路中可優(yōu)化的參數(shù).

量子近似優(yōu)化算法(quantum approximate optimization algorithm,QAOA)[13]提供了一種設(shè)計(jì)參數(shù)化量子電路的思路,該算法最初由Farhi等[52]提出,專門用于解決組合優(yōu)化問(wèn)題.與量子絕熱算法(quantum adiabatic algorithm,QAA)[52,53]類似,QAOA 受到絕熱定理的啟發(fā),構(gòu)造類似絕熱演化的參數(shù)化量子電路來(lái)求解哈密頓量HD的基態(tài).根據(jù)絕熱定理,如果一個(gè)系統(tǒng)的哈密頓量隨時(shí)間的演化由H(t)=(1-t/T)HB+tHD/T給出,且初始時(shí)該系統(tǒng)處于哈密頓量HB的基態(tài),那么通常經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的演化時(shí)間T,系統(tǒng)最終會(huì)處于哈密頓量HD的基態(tài).因此,只需要準(zhǔn)備一個(gè)基態(tài)易于制備的輔助哈密頓量HB,將其基態(tài)作為初始量子態(tài)借助Trotter 乘積式來(lái)近似演化哈密頓量H(t),最終便能得到哈密頓量HD的基態(tài),也即原組合優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解.這個(gè)演化過(guò)程可以近似為如下的參數(shù)化酉變:

其 中,UD(γj)=e-iγjHD和UB(βj)=e-iβjHB分 別是哈密頓量HD與哈密頓量HB對(duì)應(yīng)的參數(shù)化酉變;γ,β是可以優(yōu)化的參數(shù);p則是參數(shù)化酉變的層數(shù).

事實(shí)上,QAOA 的思想不僅可以解決組合優(yōu)化問(wèn)題,由其推廣得到的一類參數(shù)化量子電路,即量子交替算符擬設(shè)電路,可廣泛應(yīng)用于其他問(wèn)題[9].

3.4 量子機(jī)器學(xué)習(xí)

量子機(jī)器學(xué)習(xí)就是量子算法和機(jī)器學(xué)習(xí)的有機(jī)結(jié)合.經(jīng)典的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分為兩部分:神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和優(yōu)化器.而量子機(jī)器學(xué)習(xí),就是把經(jīng)典的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)換成量子的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并由量子計(jì)算設(shè)備執(zhí)行,并且在經(jīng)典設(shè)備上進(jìn)行量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)優(yōu)化,即使用經(jīng)典的優(yōu)化器去優(yōu)化量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).通常情況下,量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由參數(shù)化量子電路表達(dá)的.量子機(jī)器學(xué)習(xí)有望利用量子的并行運(yùn)算的特性對(duì)經(jīng)典的機(jī)器學(xué)習(xí)算法進(jìn)行加速.下面討論幾種較為常見(jiàn)的量子機(jī)器學(xué)習(xí)問(wèn)題:量子分類器[31,39,41,54]、量子生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)[55,56]和量子自編碼器[57,58].

3.4.1 量子分類器

在機(jī)器學(xué)習(xí)中,分類問(wèn)題是極其重要的監(jiān)督學(xué)習(xí)問(wèn)題.分類過(guò)程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)給數(shù)據(jù)貼標(biāo)簽的過(guò)程,當(dāng)輸入數(shù)據(jù)滿足某個(gè)條件的時(shí)候,就給該數(shù)據(jù)貼上相應(yīng)的標(biāo)簽,從而完成分類.分類問(wèn)題通常會(huì)給定一個(gè)訓(xùn)練包含N個(gè)樣本的數(shù)據(jù)集{(x(k),,其中x(k)是數(shù)據(jù)點(diǎn),y(k) 是數(shù)據(jù)的標(biāo)簽.該任務(wù)的目的是通過(guò)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),使得該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在遇到?jīng)]有處理過(guò)的數(shù)據(jù)時(shí)能夠做出正確的分類.在量子分類器的框架下,量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主要表達(dá)形式為參數(shù)化量子電路,Mitarai 等[39]以及Farhi 和Neven[41]采用參數(shù)化量子電路的結(jié)構(gòu)分別完成了二分類任務(wù)和手寫數(shù)字的分類任務(wù).

通常情況下,給定的數(shù)據(jù)集是經(jīng)典的數(shù)據(jù),所以分類器第一步需要做的便是把經(jīng)典數(shù)據(jù)編碼成可在量子設(shè)備上可以執(zhí)行的量子數(shù)據(jù)(量子態(tài)),即x(k)→|ψ〉(k).下一步需要把參數(shù)化量子電路U(θ)作用在編碼后的量子態(tài)上,由此得到U(θ)|ψ〉(k) .隨后,把損失函數(shù)定義為真實(shí)標(biāo)簽和某個(gè)可觀測(cè)量O的期望值的距離,即

使用經(jīng)典優(yōu)化器對(duì)損失函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,通過(guò)不斷調(diào)整參數(shù)化量子電路中的參數(shù),使得損失函數(shù)收斂至最小值.值得注意的是,編碼方法以及量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)并不唯一.合理的編碼方式和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠提高分類器的運(yùn)行速度和預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性,因此,針對(duì)不同的問(wèn)題,應(yīng)比較并選用更優(yōu)的編碼方式.目前常用的編碼方式[59,60]包括基態(tài)編碼、振幅編碼、角度編碼和IQP 編碼.關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表達(dá)能力將在4.2 節(jié)詳細(xì)討論.

值得一提的是,文獻(xiàn)[31]提出了影子量子學(xué)習(xí)方法,利用作用在局部量子比特上的影子電路實(shí)現(xiàn)多分類任務(wù).數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,相比于已有的量子分類算法,該算法具有更強(qiáng)大的分類能力,同時(shí)大幅減少了網(wǎng)絡(luò)參數(shù),降低了訓(xùn)練代價(jià).此外,量子核方法[59,61-63]也是實(shí)現(xiàn)量子分類器的可行方案.和經(jīng)典核方法一樣,量子核方法也是先通過(guò)特征映射把原始數(shù)據(jù)映射到特征空間里,然后尋找超平面把數(shù)據(jù)分類.從理論上來(lái)說(shuō),相較于經(jīng)典的核方法,量子核方法在處理分類問(wèn)題時(shí)有平方級(jí)的加速效果[64].

MNIST 作為常用的數(shù)據(jù)集,常常在分類任務(wù)中作為基礎(chǔ)測(cè)試的數(shù)據(jù)集.Wang 等[65]在光量子平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)了對(duì)MNIST 數(shù)據(jù)集中的手寫“0”和“1”進(jìn)行分類,三層結(jié)構(gòu)的分辨準(zhǔn)確率達(dá)98.58%,五層結(jié)構(gòu)的分辨準(zhǔn)確率達(dá)99.10%.在影子量子學(xué)習(xí)方法中,本課題組使用35 個(gè)參數(shù)使得MNIST的二分類任務(wù)準(zhǔn)確率達(dá)到99.52%.而在MNIST十分類任務(wù)中,在使用928 個(gè)參數(shù)的情況下,準(zhǔn)確率達(dá)到 87.39%[31].

3.4.2 量子生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)

生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)(generative adversarial network,GAN)[66]在經(jīng)典學(xué)習(xí)中扮演著重要的角色.GAN 通常由生成器和判別器兩部分組成,其中生成器接受隨機(jī)的噪聲信號(hào),以此為輸入來(lái)生成期望得到的數(shù)據(jù);判別器判斷接收到的數(shù)據(jù)是不是來(lái)自真實(shí)數(shù)據(jù),通常輸出一個(gè)P(x),表示輸入數(shù)據(jù)x是真實(shí)數(shù)據(jù)的概率.

量子生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)[55,56,67](quantum generative adversarial network,QGAN)的目的是利用量子計(jì)算設(shè)備加速經(jīng)典生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練.相比于GAN,QGAN 生成的是量子態(tài),而不再是經(jīng)典數(shù)據(jù).在QGAN 的框架下,生成器G和判別器D分別對(duì)應(yīng)著兩個(gè)參數(shù)化量子電路UG和UD.生成器的目標(biāo)是最小化損失函數(shù),從而達(dá)到生成的數(shù)據(jù)以假亂真的效果;判別器的目標(biāo)是最大化損失函數(shù),要盡可能地分辨出哪些是真實(shí)數(shù)據(jù),哪些是生成器生成的數(shù)據(jù).可以把訓(xùn)練過(guò)程視為博弈的過(guò)程,訓(xùn)練的結(jié)果會(huì)使得生成器和判別器達(dá)到納什均衡點(diǎn),即生成器具備了生成真實(shí)數(shù)據(jù)的能力,而判別器也無(wú)法再區(qū)分生成數(shù)據(jù)和真實(shí)數(shù)據(jù).一般情況下,量子對(duì)抗生成網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化函數(shù)都可以寫成以下形式:

其中C根據(jù)任務(wù)的不同而相應(yīng)變化.值得注意的是,實(shí)際過(guò)程中,通常采用交替訓(xùn)練的方式,即先固定G,訓(xùn)練D,然后再固定D,訓(xùn)練G,不斷往復(fù).當(dāng)兩者的性能足夠時(shí),模型會(huì)收斂,兩者達(dá)到納什均衡.

QGAN 由經(jīng)典的GAN 發(fā)展而來(lái),所以QGAN也繼承了經(jīng)典GAN 的不足,比如訓(xùn)練不穩(wěn)定、訓(xùn)練效果局限于網(wǎng)絡(luò)框架等.在經(jīng)典領(lǐng)域,WGAN(Wasserstein GAN)[68]解決了GAN 的缺陷.相應(yīng)地,在量子領(lǐng)域,QWGAN (quantum Wasserstein GAN)[69]的提出也提升了QGAN 效果.如今,量子對(duì)抗生成網(wǎng)絡(luò)的方法已經(jīng)被應(yīng)用到各種任務(wù)上,比如概率分布的學(xué)習(xí)[70-72]、量子態(tài)的學(xué)習(xí)[56,73]、量子電路的學(xué)習(xí)[69]以及糾纏的探測(cè)[74].

3.4.3 量子自編碼器

量子自編碼器和經(jīng)典自編碼器一樣,都是由編碼器和解碼器組成,是用于壓縮數(shù)據(jù),進(jìn)行特征降維的一種算法.在量子自編碼器中,輸入的數(shù)據(jù)為復(fù)合量子系統(tǒng)AB的量子態(tài)ρAB.將編碼器E=U(θ)(即參數(shù)化量子電路)作用在量子態(tài)上,得到U(θ)ρABU?(θ).該步驟將量子系統(tǒng)AB的信息編碼到量子系統(tǒng)A上.對(duì)于量子系統(tǒng)B,只需要對(duì)他們進(jìn)行測(cè)量并丟棄即可,即ρ?A=TrB(U(θ)ρABU?(θ)).至此,已經(jīng)完成了信息的壓縮.在進(jìn)行解碼時(shí),需要引入與系統(tǒng)B維度相同的系統(tǒng)C,并且固定其量子態(tài)ρC.隨后將解碼器D=U?(θ) 作用在整個(gè)量子系統(tǒng)A+C上,得到還原后的量子態(tài)=U?(θ)[ρc ?TrB(U(θ)ρABU?(θ))]U(θ)[57].

在量子自編碼器中,損失函數(shù)一般有兩種定義方法:

1) 由于量子自編碼的任務(wù)是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行編碼并解碼,希望輸出的量子態(tài)ρout和輸入的量子態(tài)ρin盡可能地相似,所以損失函數(shù)定義為兩個(gè)量子態(tài)之間的保真度F,即

2) 在還原被壓縮信息的時(shí)候,需要引入另一個(gè)固定的純態(tài)量子系統(tǒng)C,與系統(tǒng)A進(jìn)行耦合.相對(duì)應(yīng)地,壓縮過(guò)程可以理解為量子系統(tǒng)A和量子系統(tǒng)B解耦的過(guò)程,由此可以定義損失函數(shù)為壓縮后的量子系統(tǒng)和引入的量子系統(tǒng)ρC之間的保真度,即

值得注意的是,待編碼的量子態(tài)所包含的糾纏資源量在一定程度上決定了量子自編碼器的效果.簡(jiǎn)單地說(shuō),如果量子態(tài)ρAB含有的量子資源超過(guò)了量子系統(tǒng)A所能容納的上限,那么量子自編碼器必然會(huì)導(dǎo)致信息的損失.文獻(xiàn)[58]設(shè)計(jì)了一種可以在量子退火機(jī)上運(yùn)行的絕熱算法進(jìn)行量子信息的壓縮.和其他的量子自編碼器相比,該算法充分利用了測(cè)量所得到的信息,在一定程度上解決了信息損失的問(wèn)題.

3.5 量子糾錯(cuò)

量子糾錯(cuò)[75-77]可表示為如下過(guò)程:1)編碼信道U將k個(gè)邏輯量子比特的量子態(tài)|Ψ〉編碼到n個(gè)物理量子比特,得到邏輯量子態(tài)|Ψ〉L;2)邏輯量子態(tài)|Ψ〉L經(jīng)過(guò)噪聲信道N,該噪聲信道由具體硬件設(shè)備決定;3)糾錯(cuò)信道W嘗試糾正噪聲對(duì)邏輯量子態(tài)的影響,該信道使用輔助量子比特探測(cè)并糾正錯(cuò)誤;4)解碼信道U?(編碼信道U的逆)從物理比特解碼還原量子態(tài).整個(gè)過(guò)程如圖4所示.編碼信道U和糾錯(cuò)信道W決定該糾錯(cuò)方案的性能:復(fù)合信道U??W ?N ?U和理想無(wú)噪信道越接近,糾錯(cuò)效果越好.然而設(shè)計(jì)高效的糾錯(cuò)方案是極具挑戰(zhàn)性的任務(wù).近年來(lái),研究人員嘗試?yán)媒?jīng)典機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)提高量子糾錯(cuò)效率[78-88],這類工作屬于典型的混合量子-經(jīng)典算法.使用混合量子-經(jīng)典算法實(shí)現(xiàn)量子糾錯(cuò)的優(yōu)勢(shì)在于構(gòu)造參數(shù)化電路時(shí)可以綜合考慮硬件設(shè)備的特點(diǎn),比如所支持的量子門類型以及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等,設(shè)計(jì)出更高效的硬件相關(guān)的糾錯(cuò)方案.下面介紹兩個(gè)具有代表性的探索工作.

圖4 量子糾錯(cuò)基本框架:量子態(tài) |Ψ〉使用編碼信道 U 編碼,經(jīng)過(guò)噪聲信道 N后使用糾錯(cuò)信道 W糾正錯(cuò)誤,最后使用解碼信道 U? 解碼,還原輸入量子態(tài)Fig.4.Framework of quantum error correction.The quantum state |Ψ〉 first is encoded by the encoding channel U,then passes the noise channel N,and then is corrected by the correction channel W,finally is recovered by the decoding channel U? .

文獻(xiàn)[78]提出量子變分糾錯(cuò)算法QVECTOR(variational quantum error corrector).該方法的基本思路是將如圖4 所示的編碼信道U和糾錯(cuò)信道W表示為參數(shù)化量子電路U(·)=U(θ1)(·)U?(θ1)和W(·)=W(θ2)(·)W?(θ2) .我們期望復(fù)合信道U?(θ1)W(θ2)NU(θ1) 等效或者逼近理想無(wú)噪信道,因此定義如下形式的平均保真度作為損失函數(shù):

其中μ(ψ) 表示哈爾測(cè)度.直觀上而言,該損失函數(shù)刻畫了上述糾錯(cuò)方案在輸入量子態(tài)上的平均表現(xiàn)行為.當(dāng)F(θ1,θ2)=1 時(shí),對(duì)應(yīng)的參數(shù)化量子電路U(θ1)和W(θ2)實(shí)現(xiàn)了對(duì)噪聲信道N的完全糾錯(cuò).可采用更高效的酉2-設(shè)計(jì)[89]或近似酉2-設(shè)計(jì)[90]進(jìn)行隨機(jī)采樣量子態(tài)來(lái)估計(jì)損失函數(shù)(32)式.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明,相對(duì)五比特量子糾錯(cuò)碼[91,92],QVECTOR算法在處理特定噪聲時(shí)有更好的效果.

由圖4 可知,設(shè)計(jì)合適的編碼信道U精確地制備邏輯量子態(tài)|Ψ〉L是量子糾錯(cuò)中的關(guān)鍵任務(wù).文獻(xiàn)[79]提出使用混合量子-經(jīng)典算法制備|Ψ〉L,其核心思想是分析|Ψ〉L的數(shù)學(xué)性質(zhì)將之編碼為某個(gè)哈密頓量H的基態(tài)本征向量,調(diào)用變分量子本征求解器求解H的基態(tài)能量和本征向量,對(duì)應(yīng)的參數(shù)化量子電路即為編碼信道.該方法的關(guān)鍵步驟是構(gòu)造哈密頓量H.下面以穩(wěn)定子碼[93]為例給出H的構(gòu)造方法.假設(shè)S為某單量子比特糾錯(cuò)碼的穩(wěn)定子碼且其穩(wěn)定子為S=〈g1,···,gK〉.著名的例子包括五比特量子糾錯(cuò)碼[91,92]、Steane 糾錯(cuò)碼[94]和Shor 糾錯(cuò)碼[95].由穩(wěn)定子碼定義可知,對(duì)任意k=1,···,K均有表示|Ψ〉L的正交態(tài),定義算符,易見(jiàn)OL|Ψ〉L=|Ψ〉L.算符OL編碼邏輯量子態(tài)|Ψ〉L的系數(shù)信息.定義哈密頓量

3.6 其他應(yīng)用

本節(jié)介紹3 種不直接屬于上述分類但具有代表性的混合量子-經(jīng)典算法.選擇這些算法的原因在于它們使用的技巧具有一定代表性和啟發(fā)性.

3.6.1 量子線性求解器

變分量子線性求解器(variational quantum linear solver,VQLS)[96-98]實(shí)現(xiàn)線性方程組Ax=b的求解.不失一般性,假設(shè)b是歸一化的.VQSL首∑先將矩陣A分解為酉矩陣的線性組合A=,隨后根據(jù)歸一化向量b制備對(duì)應(yīng)的量子態(tài)|b〉,并將|0〉態(tài)輸入?yún)?shù)化電路得到|x〉=U(θ)|0〉,然后最小化損失函數(shù):

3.6.2 糾纏檢測(cè)

變分糾纏檢測(cè)(variational entanglement detection,VED)[99]利用了轉(zhuǎn)置映射的準(zhǔn)概率分解[100].對(duì)于密度矩陣,轉(zhuǎn)置映射T將其映射為.對(duì)于兩方量子態(tài)ρAB,量子糾纏存在的一個(gè)充分條件是ρAB在B系統(tǒng)上部分轉(zhuǎn)置后的最小本征值小于0,這種方法被稱為PPT 準(zhǔn)則(positive partial transpose criterion)[101].據(jù)此,VED 通過(guò)估計(jì)ρAB部分轉(zhuǎn)置后的最小本征值檢測(cè)兩方糾纏.由于轉(zhuǎn)置映射不是完全正的,不能在物理設(shè)備上直接實(shí)現(xiàn),文獻(xiàn)[99]將轉(zhuǎn)置映射分解為泡利門的線性組合,隨后基于準(zhǔn)概率分解對(duì)電路進(jìn)行隨機(jī)采樣得到相應(yīng)損失函數(shù)的無(wú)偏估計(jì).文獻(xiàn)[99]同樣給出了其他糾纏判定條件對(duì)應(yīng)映射的泡利門分解.

3.6.3 吉布斯態(tài)制備

吉布斯態(tài)是量子模擬、多體物理研究等諸多領(lǐng)域的關(guān)鍵步驟.給定哈密頓量H,其對(duì)應(yīng)的吉布斯態(tài)表示為

其中β=1/(kBT) .由于吉布斯態(tài)使得系統(tǒng)自由能最小:

其中S為量子態(tài)ρ的馮諾依曼熵S(ρ)=-Tr[ρlogρ],基于該性質(zhì)可以設(shè)計(jì)混合量子-經(jīng)典算法,通過(guò)最小化自由能制備吉布斯態(tài).對(duì)于量子態(tài)的自由能在量子設(shè)備上的估計(jì),文獻(xiàn)[102,45]分別提供兩種方法:文獻(xiàn)[102]將馮諾依曼熵中的對(duì)數(shù)運(yùn)算展開(kāi)成三角級(jí)數(shù)并截?cái)?隨后設(shè)計(jì)電路估計(jì)自由能;而文獻(xiàn)[45]直接將馮諾依曼熵展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)并截?cái)?隨后利用交換測(cè)試計(jì)算態(tài)重疊和高階態(tài)重疊(即Tr[ρ2] 和 Tr[ρ3]),從而估計(jì)自由能.

3.6.4 虛時(shí)演化

虛時(shí)演化[103]是研究量子系統(tǒng)的工具,被廣泛應(yīng)用在許多物理領(lǐng)域,包括量子力學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)和宇宙學(xué).在實(shí)時(shí)演化中,一個(gè)哈密頓量為H的量子系統(tǒng)的傳播函數(shù)為 e-iHt.在虛時(shí)演化中,由于時(shí)間τ=it為虛數(shù),該系統(tǒng)的傳播函數(shù)為 e-Hτ.顯然,演化的時(shí)間越長(zhǎng),系統(tǒng)的能量也就越低,最終會(huì)穩(wěn)定在系統(tǒng)的基態(tài)能量E0,即τ →∞,Esys→E0.因此,虛時(shí)演化算法可用于求解子系統(tǒng)的基態(tài).由于虛時(shí)演化過(guò)程是數(shù)學(xué)的而非物理的,如何模擬演化過(guò)程是虛時(shí)演化算法的關(guān)鍵.

基于虛時(shí)演化的特殊性質(zhì),文獻(xiàn)[104,105]提出了使用變分量子電路對(duì)虛時(shí)演化進(jìn)行模擬,并計(jì)算化學(xué)系統(tǒng)的基態(tài)能量.首先,需要制備一個(gè)追蹤態(tài)|ψ(θ(τ))〉=V(θ(τ))|0〉,其中,V(θ(τ))=UN(θN)···Uk(θk)···U1(θ1)代表著一系列酉門,這里可以把V(θ(τ))當(dāng)作參數(shù)化量子電路.當(dāng)τ=0時(shí),代表著量子系統(tǒng)的初始態(tài).隨后,對(duì)V(θ(τ)) 的各個(gè)參數(shù)進(jìn)行更新

其中(τ) 是量子電路的自然梯度.隨后通過(guò)迭代NT=τtotoal/δτ次,來(lái)模擬虛時(shí)從τ=0→τ=τtotal的演化過(guò)程.當(dāng)模擬的時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí),便能夠得到系統(tǒng)哈密頓量H的期望值的最小值,即

4 挑 戰(zhàn)

盡管混合量子-經(jīng)典算法已經(jīng)在理論和實(shí)踐上被證明在求解特定問(wèn)題時(shí)具有高效的表現(xiàn),該領(lǐng)域仍然存在若干開(kāi)放性問(wèn)題與挑戰(zhàn).本節(jié)主要介紹3 種對(duì)混合量子-經(jīng)典算法效果的制約因素和潛在的解決思路,分別為噪聲影響、電路表達(dá)能力以及可訓(xùn)練性.

4.1 噪聲影響

作為一類NISQ 算法,噪聲對(duì)混合量子-經(jīng)典算法的影響值得深入研究.大體上,量子噪聲可以分為相干噪聲和非相干噪聲.相干噪聲的產(chǎn)生可能是由于硬件校準(zhǔn)的精度,導(dǎo)致在執(zhí)行一個(gè)量子門U(θ)時(shí)實(shí)際執(zhí)行的是U(θ+δ) .通常來(lái)說(shuō),相干噪聲對(duì)于經(jīng)典優(yōu)化方法來(lái)說(shuō)并不構(gòu)成很大的影響,特別是SPSA 這種本身就會(huì)對(duì)參數(shù)產(chǎn)生隨機(jī)擾動(dòng)的優(yōu)化方法.量子設(shè)備的非相干噪聲往往會(huì)對(duì)損失函數(shù)的整體景觀產(chǎn)生影響,使其變得平坦或改變最值的位置,如圖5 所示.文獻(xiàn)[106]和文獻(xiàn)[107]分別從數(shù)值和理論上研究了泡利噪聲對(duì)QAOA 算法的影響,并指出QAOA 算法對(duì)低強(qiáng)度泡利噪聲具有一定抗性;文獻(xiàn)[108]進(jìn)一步探究了QAOA 算法的誤差上界與噪聲和量子Fisher 信息相關(guān);文獻(xiàn)[109]指出泡利噪聲直接導(dǎo)致混合量子-經(jīng)典算法的梯度消失問(wèn)題;文獻(xiàn)[110]表明,在一部分計(jì)算任務(wù)中(如變分量子編譯),盡管噪聲使得損失函數(shù)整體變得平坦,但不會(huì)影響最優(yōu)參數(shù)的取值,因此不影響算法最終結(jié)果的正確性;文獻(xiàn)[111]表明噪聲會(huì)破壞參數(shù)空間的對(duì)稱性,導(dǎo)致部分全局最優(yōu)解變?yōu)榫植孔顑?yōu),從而增加優(yōu)化難度;文獻(xiàn)[112]對(duì)比了有噪條件下混合量子-經(jīng)典算法和經(jīng)典算法的復(fù)雜度,證明了在大噪聲條件下混合量子-經(jīng)典算法相比于經(jīng)典算法不再具有優(yōu)勢(shì).

圖5 無(wú)噪(左)與有噪(右)條件下?lián)p失函數(shù)景觀對(duì)比Fig.5.Comparison between noise-free (left) and noisy (right) cost function landscape.

4.2 電路表達(dá)能力

2.2節(jié)曾提到,在參數(shù)化量子電路的模型設(shè)計(jì)中,為使參數(shù)空間能夠?qū)?yīng)盡可能多的酉變,從而使優(yōu)化過(guò)程覆蓋盡可能大的解空間.參數(shù)化量子電路的表達(dá)能力可直觀地理解為電路取遍所有參數(shù)時(shí)能表達(dá)的酉變范圍的大小.一般來(lái)說(shuō),更深的電路具有更強(qiáng)的表達(dá)能力,但電路深度同時(shí)會(huì)帶來(lái)更嚴(yán)重的噪聲和可訓(xùn)練性問(wèn)題.因此,如何權(quán)衡電路深度與表達(dá)能力,以及如何設(shè)計(jì)表達(dá)能力更強(qiáng)的電路模型是混合量子-經(jīng)典算法面臨的重要一項(xiàng)挑戰(zhàn).

目前,一種電路表達(dá)能力定義基于電路輸出量子態(tài)的平均高階張量積和對(duì)應(yīng)哈爾積分之間的Frobenius 距離.由于該距離與電路輸出量子態(tài)對(duì)間的保真度分布直接相關(guān),最終采用參數(shù)化電路與哈爾分布輸出的保真度分布之間的K-L 散度對(duì)電路U(θ) 表達(dá)能力進(jìn)行量化:

其中DKL(A‖B)表示概率分布A,B之間的K-L 散度;P(U,F)表示電路U在輸入|0〉且參數(shù)θ成隨機(jī)均勻分布時(shí),隨機(jī)輸出的一對(duì)量子態(tài)間的保真度的概率分布;PHaar(F) 表示一對(duì)滿足哈爾分布的隨機(jī)量子態(tài)間的保真度的概率分布且有解析表示:PHaar(F)=(d-1)(1-F)d-2;d是系統(tǒng)希爾伯特空間的維度.由于P(U,F) 可以通過(guò)對(duì)電路參數(shù)采樣后測(cè)量估計(jì),表達(dá)能力因此可以在近期設(shè)備上有效計(jì)算.文獻(xiàn)[25]首先定義并計(jì)算了若干常用參數(shù)化電路模型的表達(dá)能力;文獻(xiàn)[113]進(jìn)一步比較了常見(jiàn)的硬件高效擬設(shè)與交錯(cuò)分層擬設(shè)的表達(dá)能力,指出后者相較于前者,在提供更強(qiáng)的可訓(xùn)練性的同時(shí)保留了幾乎相當(dāng)?shù)谋磉_(dá)能力.文獻(xiàn)[114]從理論角度證明了損失函數(shù)的梯度方差的上界與電路表達(dá)能力有關(guān).

值得一提的是,文獻(xiàn)[25]基于梅爾-沃勒克度量定義了電路的糾纏能力,即電路平均能提供多少糾纏.電路糾纏能力在一些量子態(tài)制備任務(wù)中起到關(guān)鍵作用.

4.3 可訓(xùn)練性

目前混合量子-經(jīng)典算法的可訓(xùn)練性主要指的是由貧瘠高原現(xiàn)象對(duì)優(yōu)化過(guò)程造成的困難.貧瘠高原(barren plateau)現(xiàn)象[115]最早于2018 年被提出,當(dāng)混合量子-經(jīng)典算法所選取的非結(jié)構(gòu)化的擬設(shè)電路U(θ) 進(jìn)行隨機(jī)參數(shù)初始化時(shí),算法對(duì)應(yīng)損失函數(shù)C(θ) 的梯度方差在采樣的平均意義下會(huì)隨著問(wèn)題規(guī)模n的擴(kuò)大呈現(xiàn)指數(shù)遞減.直觀來(lái)看,這種現(xiàn)象會(huì)使得問(wèn)題的優(yōu)化曲面變得非常平坦(故稱貧瘠),從而使得為了達(dá)到確定優(yōu)化方向的計(jì)算精度所需的測(cè)量數(shù)變得非常巨大(如果無(wú)法達(dá)到測(cè)量精度要求,電路的優(yōu)化過(guò)程可能會(huì)接近于隨機(jī)游走),最終導(dǎo)致基于梯度或者非梯度的優(yōu)化方法[116]都很難找到全局最小值.產(chǎn)生這種現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)原因在于非結(jié)構(gòu)化的電路在隨機(jī)初始化參數(shù)時(shí)滿足酉2-設(shè)計(jì)的性質(zhì)[117].相關(guān)證明和避免貧瘠高原現(xiàn)象的理論研究也是圍繞這個(gè)核心性質(zhì)展開(kāi)的.值得注意的是,文獻(xiàn)[115]中的結(jié)果部分表明了4.2 節(jié)中提到的電路表達(dá)能力和可訓(xùn)練性之間的權(quán)衡關(guān)系.當(dāng)電路的深度增加時(shí)相應(yīng)的表達(dá)能力增強(qiáng),但同時(shí)梯度的方差(可訓(xùn)練性)也會(huì)逐漸減小.

近些年,隨著對(duì)混合量子-經(jīng)典算法的深入研究,相應(yīng)的可訓(xùn)練性解決方案也在陸續(xù)提出.針對(duì)貧瘠高原現(xiàn)象,文獻(xiàn)[118]提出了一種初始化參數(shù)θ的方案.其核心思想在于通過(guò)先選取部分參數(shù)隨機(jī)初始化,然后特定剩下的參數(shù)使得整個(gè)電路由一系列的單位陣構(gòu)成.這樣可以減少電路中的隨機(jī)性從而破壞酉設(shè)計(jì)的性質(zhì)獲取可訓(xùn)練性.文獻(xiàn)[119]進(jìn)一步提出了分層訓(xùn)練的方案,即使用若干初始層訓(xùn)練然后依次添加電路結(jié)構(gòu)和層數(shù).除了上述通過(guò)設(shè)計(jì)初始化訓(xùn)練方案,基于特定問(wèn)題啟發(fā)設(shè)計(jì)的電路結(jié)構(gòu)[9,120]通常認(rèn)為對(duì)于大規(guī)模的問(wèn)題依然是可以訓(xùn)練的.此外,3.1.2 節(jié)提到的通過(guò)重新設(shè)計(jì)損失函數(shù)將其表達(dá)為局部損失函數(shù)的形式(只同時(shí)測(cè)量部分量子比特)[21]也被證明可以有效應(yīng)對(duì)可訓(xùn)練性問(wèn)題.然而很多算法的損失函數(shù)是否存在這樣的表達(dá)形式依然未定.最后,有研究表明噪聲[109]和過(guò)度的糾纏能力[121]也會(huì)造成類似現(xiàn)象并阻礙訓(xùn)練過(guò)程.可以說(shuō),可訓(xùn)練性問(wèn)題至今依然是混合量子-經(jīng)典算法長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展的一大挑戰(zhàn).

5 總結(jié)與展望

本綜述介紹了混合量子-經(jīng)典算法的基本概念,此類算法在量子化學(xué)、機(jī)器學(xué)習(xí)、組合優(yōu)化、量子信息等領(lǐng)域的研究進(jìn)展以及算法目前面臨的主要挑戰(zhàn).一方面,可以看到混合量子-經(jīng)典算法已為許多領(lǐng)域問(wèn)題提供了有效且具備潛在優(yōu)勢(shì)的解決方案,同時(shí)可以結(jié)合優(yōu)化理論和機(jī)器學(xué)習(xí)中的現(xiàn)有技術(shù),盡可能在近期量子設(shè)備上發(fā)揮量子計(jì)算的能力,推動(dòng)量子計(jì)算與機(jī)器學(xué)習(xí)的融合創(chuàng)新.另一方面,我們也認(rèn)識(shí)到混合量子-經(jīng)典算法作為一個(gè)相對(duì)“年輕”的研究方向存在若干瓶頸,包括對(duì)電路表達(dá)能力的理論分析工具不夠完善,對(duì)算法規(guī)模的可擴(kuò)展性有限,大部分算法的量子優(yōu)勢(shì)缺乏嚴(yán)格的理論和實(shí)驗(yàn)證明等.如何克服這些混合量子-經(jīng)典算法的瓶頸以及探索其在更多領(lǐng)域的應(yīng)用,將是混合量子-經(jīng)典算法未來(lái)重要的發(fā)展方向.此外,張量網(wǎng)絡(luò)作為連接經(jīng)典與量子計(jì)算的數(shù)學(xué)模型,已經(jīng)從理論[122,123]和應(yīng)用[124,125]層面啟發(fā)了機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的許多研究方向.因此,這一工具在近期量子設(shè)備上的探索同樣值得關(guān)注.隨著量子硬件能力的不斷提升與混合量子-經(jīng)典算法技術(shù)的不斷發(fā)展,相信具有量子優(yōu)勢(shì)的近期量子設(shè)備實(shí)用化應(yīng)用將有望實(shí)現(xiàn).