【摘 要】在教學(xué)資源泛濫的背景下，數(shù)學(xué)解題教學(xué)中“教考掛鉤”“拿來(lái)主義”的現(xiàn)象日趨嚴(yán)重，導(dǎo)致解題教學(xué)偏離了正常的軌道?！按蟾拍睢睂W(xué)科領(lǐng)域中最精華、最有價(jià)值的核心內(nèi)容是學(xué)科教學(xué)的靈魂。在“大概念”的統(tǒng)攝下，有助于教師樹立解題教學(xué)的理念，明確解題教學(xué)的目標(biāo)，規(guī)劃解題教學(xué)的流程。

【關(guān)鍵詞】解題教學(xué);大概念;拿來(lái)主義

【作者簡(jiǎn)介】呂增鋒，正高級(jí)教師，甬城教育名家，寧波市領(lǐng)軍拔尖人才。

【基金項(xiàng)目】2021年寧波市教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題 “大概念視角下高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)的研究”（2021YZD079）;2021年浙江省教研課題“基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課改進(jìn)的實(shí)踐研究”（G2021073）

解題和解題教學(xué)在數(shù)學(xué)教育中具有舉足輕重的作用。尤其在高三復(fù)習(xí)階段，例題講解、解題訓(xùn)練幾乎占用了師生的大部分時(shí)間。雖然解題與解題教學(xué)對(duì)于提升學(xué)生的解題水平與數(shù)學(xué)思維能力具有重要的作用，但它們本身也存在一些不足。在學(xué)術(shù)界，解題教學(xué)也存在不少爭(zhēng)議，比如，“解題教學(xué)是模仿教學(xué)還是思維教學(xué)”“堅(jiān)持題海戰(zhàn)術(shù)還是倡導(dǎo)精講精練”“是否應(yīng)當(dāng)劃分問題類型”等[1]。不僅如此，解題成效持續(xù)時(shí)間短更是普遍存在的問題。我們暫且不去深究解題與解題教學(xué)的是與非，但它們所指向的教學(xué)現(xiàn)實(shí)值得大家深思。

一、解題教學(xué)需要“理由”

在一些教師眼里，解題教學(xué)是很隨性的一件事，發(fā)現(xiàn)“好”的題目或“好”的方法，教師就拿去課上講。例如，筆者最近觀摩的一節(jié)高三第二輪復(fù)習(xí)課，執(zhí)教教師講授了以下題目。

例1（2011年浙江卷理22）設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）2lnx，a∈R。

（1）若x=e為y=f（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a。

（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立。注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。

這是一道高考數(shù)學(xué)壓軸題，第（2）問的難度比較大，一般的學(xué)生很難完全做對(duì)。針對(duì)此情況，授課教師提出了“必要性探路”的解題策略，即在x∈（0，3e]中找特殊值代入f（x）≤4e2，把a(bǔ)的大致范圍先確定出來(lái)，然后再縮小a的范圍，最后驗(yàn)證充分性確認(rèn)答案。當(dāng)授課教師把x=e，e2，3e分別代入f（x）≤4e2后，得到a的取值范圍是3e-2eln（3e）≤a≤3e，而巧合的是，這就是最終的答案。當(dāng)然，基于解題的嚴(yán)密性還需要進(jìn)一步驗(yàn)證其充分性，并且驗(yàn)證的過(guò)程也不見得比常規(guī)解法簡(jiǎn)單。

不可否認(rèn)，“必要性探路”的解題策略在解題中是有一定價(jià)值的，但該方法是否值得教師花一節(jié)課去講？講了以后，又有多少學(xué)生能夠掌握？如何避免解法對(duì)學(xué)生造成思維干擾？在解題教學(xué)之前，教師應(yīng)充分考慮這些問題。這些問題的答案直指解題教學(xué)的“理由”，即為什么教、教什么、怎么教、教了有什么用。這些“理由”不僅支撐起解題教學(xué)的理念，決定教師的教學(xué)行為，還決定解題教學(xué)的預(yù)期成效。

在本節(jié)課，教師應(yīng)關(guān)注以下三個(gè)方面的問題。首先，“必要性探路”的解題策略不屬于解題的通性通法，而是一種解題的輔助技巧，在某些情況雖然能夠提高解題速度，但不具備一般性，因此，“為什么教”“教什么”的理由不充分。其次，即使這種方法有用，但只通過(guò)一節(jié)課，學(xué)生能否領(lǐng)悟其中的精髓，結(jié)果不得而知，因此“怎么教”的理由不充分。最后，在運(yùn)用“必要性探路”的解題策略解題后，驗(yàn)證其充分性的過(guò)程有時(shí)會(huì)比較煩瑣，容易導(dǎo)致有的學(xué)生不去關(guān)心驗(yàn)證的過(guò)程，而只關(guān)注這種方法在“湊對(duì)”答案時(shí)所帶來(lái)的快感，無(wú)形中助長(zhǎng)了解題投機(jī)的心理。因此，“教了有什么用”的理由也不充分。

二、解題教學(xué)“理由”的窄化

受應(yīng)試教育功利化的影響，一些教師的解題教學(xué)的“理由”易呈現(xiàn)“窄化”的趨勢(shì)。從理論上講，解題教學(xué)講哪些題、用什么思想方法、難度把控等問題應(yīng)該由育人目標(biāo)與課程標(biāo)準(zhǔn)決定，但事實(shí)上考試大綱或者高考導(dǎo)向，甚至是模擬考、聯(lián)考對(duì)解題教學(xué)的影響更大，基本上是“考什么題，就教什么”“考多難，教多難”。

不可否認(rèn)，把解題教學(xué)與考試直接掛鉤的做法在短期內(nèi)確實(shí)能夠提高學(xué)生的答題速度與準(zhǔn)確率，但容易導(dǎo)致思維固化，應(yīng)變能力弱化。尤其是遇到創(chuàng)新性與靈活性比較強(qiáng)的問題時(shí)，學(xué)生更容易出現(xiàn)思維固化的現(xiàn)象。以下面兩道高考題為例。

例2（2008年浙江卷理15）已知t為常數(shù)，函數(shù)y=|x2-2x-t|在區(qū)間[0，3]上的最大值為2，則t=。

在課堂上，由于教師平時(shí)講二次函數(shù)比較多，學(xué)生習(xí)慣上把函數(shù)y=|x2-2x-t|當(dāng)作含絕對(duì)值的二次函數(shù)來(lái)處理，對(duì)參數(shù)t進(jìn)行分類討論，雖然最后能解出正確答案，但解題過(guò)程煩瑣。實(shí)際上，令m=x2-2x，則y=|m-t|，就可將問題轉(zhuǎn)化為含絕對(duì)值的一次函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象，易得到t=1。

例3（2012年浙江卷理17）設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，則a=。

當(dāng)看到這么復(fù)雜的問題，很多學(xué)生馬上慌了手腳，根本不會(huì)想到可以通過(guò)變形，把 [（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0轉(zhuǎn)化為[ax-（x+1）][ax-（x2-1）]≤0，再類比一元二次不等式解集的幾何意義，得到y(tǒng)=ax的圖象介于y=x+1與y=x2-1圖象之間，即y=ax過(guò)y=x+1與y=x2-1的交點(diǎn)（2，3），則a=32。

很多教師把學(xué)生不會(huì)做上述兩道題的原因歸結(jié)為遇到了陌生題。本著“一回生，二回熟”的理念，很多教師認(rèn)為短期內(nèi)最有效的方法就是讓學(xué)生在考前大量刷題，這無(wú)形中助長(zhǎng)了“拿來(lái)主義”之風(fēng)。隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，試題分析與解題方法的獲得比較便利，很多時(shí)候也不需要教師親自去整理題目，就已經(jīng)有人幫歸類。于是，“拿來(lái)主義”成為數(shù)學(xué)解題教學(xué)的“理由”，各種怪題、偏題、難題，眼花繚亂的解題技巧充斥著解題教學(xué)的課堂。

我們知道，數(shù)學(xué)解題能力的提升不是在于教師的灌輸和純粹的記憶與模仿，而是要立足學(xué)生已有的解題經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生觸發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)思維認(rèn)知結(jié)構(gòu)的意義建構(gòu)。解題經(jīng)驗(yàn)是基本知識(shí)、基本方法與條件的有序組合，是學(xué)生面對(duì)問題時(shí)，頭腦中出現(xiàn)的解題模式或者算法流程。在解題時(shí)，學(xué)生首先把題目所蘊(yùn)含的語(yǔ)義納入已有解題經(jīng)驗(yàn)中去理解，對(duì)題意進(jìn)行加工，從而建構(gòu)起其自己所理解的題意，并在此過(guò)程中對(duì)題目進(jìn)行模式識(shí)別，尋找思路[2]。這就意味著，如果解題教學(xué)難度過(guò)大，與學(xué)生已有的解題經(jīng)驗(yàn)脫節(jié)嚴(yán)重，那么題意的理解與模式的識(shí)別就失去了經(jīng)驗(yàn)依據(jù)，解題就成了“無(wú)源之水，無(wú)本之木”，導(dǎo)致“聽得懂，不會(huì)用”;如果解題教學(xué)中，相同的解題經(jīng)驗(yàn)被反復(fù)調(diào)用，就容易形成思維定式，導(dǎo)致“解題思路不開闊”。不僅如此，由于學(xué)生的智力結(jié)構(gòu)特征和學(xué)習(xí)基礎(chǔ)不同，解題經(jīng)驗(yàn)也存在明顯差異。因此，“拿來(lái)主義”無(wú)法達(dá)到教學(xué)難度與學(xué)生實(shí)際認(rèn)知水平之間的平衡，也無(wú)法發(fā)揮解題教學(xué)的應(yīng)有功能。

三、數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的“大概念”

由此可見，把“教考掛鉤”與“拿來(lái)主義”作為解題的理由是不“充分”的。那么，數(shù)學(xué)解題教學(xué)的“理由”到底是什么？ 筆者認(rèn)為是數(shù)學(xué)“大概念”?！按蟾拍睢笔且环N聯(lián)結(jié)，居于學(xué)科的核心，是反映專家思維方式的概念、觀念或論題[3]，用于整體理解和聯(lián)結(jié)相對(duì)分散的事實(shí)、知識(shí)、技能或經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)習(xí)內(nèi)容、思想方法、情感態(tài)度等方面發(fā)生遷移的思想或看法?！按蟾拍睢币I(lǐng)下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)不僅有利于教師統(tǒng)攝教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)課程的一體化建設(shè)，實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科的融合，而且使學(xué)生的學(xué)習(xí)變得有意義、有深度，促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展。

（一）“大概念”的內(nèi)涵

“大概念”的“大”不是指龐大，而是指核心、高位或上位，即學(xué)科領(lǐng)域中最精華、最有價(jià)值的核心內(nèi)容，是力圖對(duì)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)進(jìn)行集成與融合，具有較強(qiáng)的遷移價(jià)值。在高中數(shù)學(xué)中，核心概念、中心問題和主要思想方法因具備上述的屬性，而成為“大概念”的主要表現(xiàn)形式。比如，函數(shù)是刻畫客觀世界變化規(guī)律的重要模型;平面向量是溝通代數(shù)、三角、幾何的橋梁;解析幾何的核心是用代數(shù)方法解決幾何問題等，這些都可以稱作數(shù)學(xué)中的“大概念”。

“大概念”有三種表現(xiàn)形式：第一種指概念，是對(duì)一類具體事物本質(zhì)特征的抽象概括，比如，向量的運(yùn)算由幾何運(yùn)算與代數(shù)運(yùn)算組成;第二種指觀念，表現(xiàn)為一種看法和觀點(diǎn)，反映概念與概念的關(guān)系，比如，函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)為函數(shù)其他性質(zhì)的學(xué)習(xí)提供了一般認(rèn)知經(jīng)驗(yàn);第三種指論題，有些“大概念”很難有明確的答案，這時(shí)可能表現(xiàn)為論題，比如，數(shù)學(xué)是有趣的。[3]64-77

（二）解題教學(xué)中的“大概念”

“大概念”也有層級(jí)之分，從高到低一般依次為：課程大概念、單元大概念、課時(shí)大概念。由于課程大概念處于頂尖位置，其下面的兩個(gè)“大概念”相對(duì)于它來(lái)說(shuō)就成了小概念或者次要概念;同樣，課時(shí)大概念、章節(jié)大概念，相對(duì)于單元大概念來(lái)說(shuō)，也是小概念、次要概念，這也說(shuō)明了“大概念”的“大”具有相對(duì)性，在每個(gè)層級(jí)中都有處于統(tǒng)攝地位的大概念。

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，比如，“像專家那樣思考”“熟知通性通法”，直指課程目標(biāo)，是課程大概念;函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想一般貫穿于整個(gè)單元，可以理解為單元大概念;錯(cuò)位相減法、累乘法作為某節(jié)課的核心概念，屬于課時(shí)大概念。

（三）“大概念”引領(lǐng)下的解題教學(xué)

以“大概念”統(tǒng)攝解題教學(xué)的目標(biāo)定位、過(guò)程設(shè)計(jì)、例題甄選，可以確保解題教學(xué)遵循認(rèn)知規(guī)律。具體操作如下。

1.以課程大概念“領(lǐng)路”，形成教學(xué)理念，明確教學(xué)目標(biāo)。比如，在課程大概念“像專家那樣思考”驅(qū)使下，教師首先會(huì)去研究“專家”思考方式的特征以及形成的機(jī)制，而不會(huì)只想著如何把題目講清楚、如何傳授更多的方法。教師自己也會(huì)以“專家”的身份，反思自己是如何學(xué)會(huì)解題的，如何對(duì)問題做出快速而準(zhǔn)確的判斷，把“研究”“反思”的結(jié)論細(xì)化為解題教學(xué)的目標(biāo)，并分階段實(shí)施。

2.以單元大概念“鋪路”，設(shè)計(jì)教學(xué)的流程，發(fā)展解題思維。比如，上文的例1是體現(xiàn)單元大概念分類討論與參數(shù)分離的較好載體。解題思路如下。

對(duì)函數(shù)f（x）=（x-a）2lnx直接求導(dǎo)，得f′（x）=（x-a）（2lnx+x-ax），要求f（x）的最大值，則需對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論。

當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）≤0<4e2顯然成立;當(dāng)x∈（1，3e]時(shí)，對(duì)（x-a）2lnx≤4e2進(jìn)行參數(shù)分離，得x-2elnx≤a≤x+2elnx。

接著，教師可以“比較兩種思路孰優(yōu)孰劣”為主線，設(shè)計(jì)教學(xué)流程。

3.以課時(shí)大概念“行路”，提煉解題技巧，明確探究任務(wù)。還是以上文例1為例，若以“簡(jiǎn)化討論”作為課時(shí)大概念，那么對(duì)f′（x）=（x-a）（2lnx+x-ax）就可以用“必要性探路”的策略進(jìn)行解答。若以“放縮變形”作為課時(shí)大概念，對(duì)于x-2elnx≤a≤x+2elnx，令g（x）=x-2elnx，顯然g（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則gmax（x）=g（3e）=3e-2eln3e;令h（x）=x+2elnx，求導(dǎo)不容易判斷h（x）的單調(diào)性，如果借助不等式lnx≤xe進(jìn)行放縮，就會(huì)變得容易得多。因此，這節(jié)課就可以專門探討關(guān)于自然對(duì)數(shù)lnx的放縮技巧（x-1x≤lnx≤x-1）及其應(yīng)用。

波利亞反對(duì)讓學(xué)生做大量的題目，他認(rèn)為，如果一位數(shù)學(xué)教師把分配給他的時(shí)間塞滿了例行運(yùn)算來(lái)訓(xùn)練學(xué)生，那這位教師就扼殺了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，妨礙了學(xué)生的智力發(fā)展，這是波利亞所信奉的解題教學(xué)“理由”。雖然每位教師都有自己的解題教學(xué)“理由”，但在以發(fā)展核心素養(yǎng)為育人目標(biāo)的教育背景下，數(shù)學(xué)“大概念”理應(yīng)成為解題教學(xué)“理由”的主要依據(jù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]張輝蓉.數(shù)學(xué)解題教學(xué)是非之爭(zhēng)及思考[J].中國(guó)教育學(xué)刊，2010（5）：38-42.

[2]閆濱. 高中學(xué)生數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)對(duì)解題思路的影響[J]. 現(xiàn)代基礎(chǔ)教育研究，2012（4）：193-197.

[3]劉徽.“大概念”視角下的單元整體教學(xué)構(gòu)型：兼論素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂變革[J].教育研究，2020（6）：64-77.

（責(zé)任編輯：陸順演）