倪 華,胡瀟逸,姚怡萍,朱潔怡

(江蘇大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

1 引言

非線性阿貝爾方程

在物理和工程技術(shù)等許多領(lǐng)域有著重要應(yīng)用[1?2],方程(1.1)的數(shù)學(xué)性質(zhì)已被數(shù)學(xué)和物理學(xué)者[3?15]進(jìn)行了深入研究.文獻(xiàn)[14,15]提出了得到阿貝爾方程的通解的一種方法,他們都假定y=y1(t)是方程(1.1)的一個(gè)特解,然后通過變量代換方法,給出了阿貝爾方程的通解;文獻(xiàn)[16]假設(shè)γ=γ(t)是阿貝爾方程的一個(gè)周期特解,然后,利用變量代換法和不動(dòng)點(diǎn)定理,得到阿貝爾方程的其他周期解的存在性.

本文首先考慮下列阿貝爾型方程:

文獻(xiàn)[15]給出了方程(1.2)可積的充分必要條件,如下:

命題1.1[15]阿貝爾型方程(1.2)可積的充分必要條件是a(t),b(t)滿足下列條件:

其中k是常數(shù).

在條件(1.3)成立時(shí),b(t)/=0,(1.3)兩邊從t0到t(t>t0)積分,可得:

此時(shí),a(t),b(t)不可能都是周期函數(shù).因此,當(dāng)a(t)和b(t)都是周期函數(shù)并且線性無關(guān)時(shí),方程(1.2)是不可積的.

本文首先考慮a(t)和b(t)是周期函數(shù)時(shí)的微分方程(1.2),此時(shí)除了a(t)和b(t)線性相關(guān)外,(1.2)是不可積的.本文研究在不求出(1.2)的解的情況下,(1.2)的周期解的存在性.文獻(xiàn)[16]利用不動(dòng)點(diǎn)定理,得到(1.2)的唯一非零周期解的存在性;本文受文獻(xiàn)[16]的啟發(fā),利用不同于文獻(xiàn)[16]的方法,得到方程(1.2)的唯一非零周期解的存在性;然后,討論了方程(1.1),在一定條件下,利用變量代換法,將方程(1.1)轉(zhuǎn)化為方程(1.2),從而得到阿貝爾方程(1.1)的兩個(gè)周期解的存在性.

本文余下部分安排如下:第二節(jié),我們給出四個(gè)引理以方便以后使用;第三節(jié),利用不動(dòng)點(diǎn)定理得到阿貝爾型方程存在唯一非零周期解的四個(gè)定理;第四節(jié),當(dāng)方程的系數(shù)函數(shù)滿足一定條件時(shí),我們得到了阿貝爾方程的兩個(gè)周期解的存在性.

2 一些定義、引理和縮寫

3 阿貝爾型方程的唯一非零周期解的存在性

4 阿貝爾方程的兩個(gè)周期解的存在性