何廣

離心率是圓錐曲線的基本性質(zhì).求圓錐曲線的離心率問題在解析幾何中比較常見，主要考查圓錐曲線的方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).筆者總結(jié)了求圓錐曲線離心率的三種方法，以幫助同學(xué)們提升解答此類問題的速度和正確率.

一、公式法

公式法是指利用圓錐曲線的離心率公式e=

來解題的方法.在運(yùn)用公式法解題時(shí)，首先根據(jù)題意和圓錐曲線的方程求出a、b、c的值或相關(guān)的關(guān)系式，然后利用圓錐曲線的離心率公式e=

來求得結(jié)果.

例1.點(diǎn)P（一3.1）在橢圓

=l（a>6>o）的左準(zhǔn)線上，過點(diǎn)P且方向?yàn)閍=（2，-5）的光線經(jīng)直線y= -2反射后通過橢圓的左焦點(diǎn)，求橢圓的離心率.

解：由題意可知，入射光線的直線方程為y—l=一

（x+3），

其反射光線的直線方程為5x-2y+5=0，

解得a=

，c=l，

故：=

本題不僅考查了圓錐曲線的準(zhǔn)線方程、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及對(duì)稱問題，還考查了物理中的反射問題，題目的綜合性較強(qiáng).解答本題的關(guān)鍵在于結(jié)合題意求出左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，建立關(guān)于a、c的方程，然后利用圓錐曲線的離心率公式求得結(jié)果.

二、齊次式法

運(yùn)用齊次式法解題的基本思路是，首先根據(jù)問題的條件找到建立關(guān)于a、b、c的關(guān)系式，然后構(gòu)造出有關(guān)a、c的二次齊次式，得到關(guān)于e的方程，解方程就可以求得圓錐曲線離心率的大小.運(yùn)用齊次式法求圓錐曲線的離心率，能使解題的思路變得更加清晰.

例2.設(shè)雙曲線

=1（o

解：由題意可知直線L的方程為bx +ay-ab =0，

由點(diǎn)到直線的距離公式可得

，

C2 =a2 +b2，

4ab=

，

將上式兩邊平方可得16a2（c 2一a 2）= 3 c4，

左右同時(shí)除以n2可得3e4一16e2+ 16=0，

解方程可得。e 2=4或 e 2=

又o

，

e2 =4.e=2.

齊次式法是求解圓錐曲線離心率的常用方法之一.在上述解題的過程中，對(duì)有關(guān)a、b、c關(guān)系式的整理和化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵.

三、定義法

在求解圓錐曲線離心率問題時(shí)，我們經(jīng)常要用橢圓的第二定義來解題.圓錐曲線的第二定義是動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線距離之比等于離心率.定義法一般適用于解答與圓錐曲線的準(zhǔn)線有關(guān)的問題.

例3.設(shè)橢

a>0，b>0）的右焦點(diǎn)為F1.右準(zhǔn)線為L(zhǎng)1，若過F1垂直于x軸的弦長(zhǎng)等于點(diǎn)F1到L 1的距離，則橢圓的離心率為____.

解：根據(jù)題意作出如圖所示的圖形，其中AB是過點(diǎn)F1且垂直于x軸的弦，

因?yàn)锳D

于D，所以IADI為F.到準(zhǔn)線f.的距離，

根據(jù)橢圓的第二定義可得

解答本題，我們直接利用了橢圓的第二定義.畫出恰當(dāng)?shù)膱D形，作出動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線距離對(duì)應(yīng)的線段，是運(yùn)用定義法解題的關(guān)鍵.

總之，公式法、齊次式法、定義法都是能有效解答圓錐曲線離心率問題的方法.值得注意的是，運(yùn)用公式法、齊次式法解題，需要熟練掌握一些恒等變形的技巧;運(yùn)用定義法解題，需結(jié)合圓錐曲線的定義畫出正確的圖形.

（作者單位：山東省鄆城縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)）