陳龍珠

（尤溪第一中學(xué)，福建 尤溪 365100）

數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，然而，當(dāng)前許多所謂的數(shù)學(xué)建模教學(xué)其本質(zhì)卻只是套模和解模，缺乏真正的模型構(gòu)建的過程。［1］因此，教師應(yīng)提高培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)重要性的認(rèn)識(shí)，要多讓學(xué)生在課堂中通過自主探索與應(yīng)用來提升建模的素養(yǎng)，而缺乏數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)意識(shí)是很多高中數(shù)學(xué)教師迫切需要解決的問題。

數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段，也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力和數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式［2］。近年來的高考試題中，特別是先行試行新高考省份的高考數(shù)學(xué)試題，越來越注重從實(shí)際問題抽離背景，通過建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。鑒于高考命題對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的導(dǎo)向作用，提高數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中建模意識(shí)、建模能力培養(yǎng)的重要性認(rèn)識(shí)尤為必要。而高中數(shù)學(xué)中的概率與統(tǒng)計(jì)是天然的數(shù)學(xué)建模的知識(shí)載體，筆者就以“概率與統(tǒng)計(jì)”為例闡述培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的教學(xué)探究。

數(shù)學(xué)建模是建立數(shù)學(xué)模型、解決數(shù)學(xué)問題的一種方法，即對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中某一特定對(duì)象，為了某個(gè)特定目的，做出一些必要的簡化和假設(shè)，并運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個(gè)數(shù)學(xué)框架或結(jié)構(gòu)。這個(gè)數(shù)學(xué)框架或結(jié)構(gòu)就是數(shù)學(xué)模型，比如，函數(shù)、方程、規(guī)律，或者是一段符合數(shù)學(xué)框架或結(jié)構(gòu)話語。從這一意義上講，構(gòu)建數(shù)學(xué)建模的教學(xué)課堂就有了豐富的耕作土壤，而不再是簡單的套模和解模。我們不僅可以從學(xué)習(xí)循序漸進(jìn)的規(guī)律出發(fā)，從了解建模、體驗(yàn)成模、拓展成模、模型選擇、實(shí)踐建模五個(gè)不同的層面來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，還可以將建模意識(shí)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)全過程。

一、了解成模，對(duì)應(yīng)問題

數(shù)學(xué)課本中有很多數(shù)學(xué)模型，如衡量一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)既可以用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等數(shù)學(xué)模型，還可以根據(jù)莖葉圖觀察葉的分布狀態(tài)并進(jìn)行直觀判斷。教學(xué)中若有牢固的建模意識(shí)，必然要求教師將衡量數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的各種模型梳理清楚，讓學(xué)生明確這些模型的功能和應(yīng)用要點(diǎn)，使學(xué)生達(dá)到靈活應(yīng)用的層級(jí)要求。

在一次教學(xué)中，筆者給出下面例1，要求學(xué)生思考后回答問題。

例1.某學(xué)校記憶興趣小組為驗(yàn)證兩種方式記憶效率，開展了實(shí)驗(yàn)研究。他們隨機(jī)選取40 名同年級(jí)同學(xué)，把他們隨機(jī)地分成兩組，每組20 人，第一組同學(xué)用第一種記憶方式，第二組同學(xué)用第二種記憶方式，對(duì)一組記憶材料進(jìn)行記憶測(cè)試。根據(jù)各自得分情況制作了如下莖葉圖（圖1）：

圖1

根據(jù)莖葉圖判斷哪種記憶方式的效率更高？并說明為什么？

結(jié)果全班同學(xué)都給出了第一種方式效率更高的“正確答案”，但問及這道題求解方法和過程時(shí)卻出乎筆者的意料，絕大多數(shù)同學(xué)是用求平均數(shù)這一“最簡單”的方法，卻沒有一個(gè)學(xué)生是從莖葉圖葉的分布觀察而得出結(jié)論。

本題以“記憶效率高低的研究”這個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題為切入口，既考查了莖葉圖、總體、平均數(shù)、中位數(shù)等概念，也檢驗(yàn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并轉(zhuǎn)化、建立數(shù)學(xué)模型直至解決問題的思維能力。試驗(yàn)的結(jié)果表明，課堂教學(xué)沒有達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果。

課后反思沒有達(dá)到預(yù)期教學(xué)效果的原因，關(guān)鍵在于平時(shí)教學(xué)中沒有對(duì)圍繞衡量一組數(shù)據(jù)集中狀態(tài)的問題建立各種數(shù)學(xué)模型，致使學(xué)生不能很好地理解、歸納和靈活選擇應(yīng)用。而其本質(zhì)是對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)提升重視不夠，流于形式，以至于學(xué)生對(duì)很多學(xué)習(xí)過的模型印象不深，無法從記憶中提取并用于解決問題。因此只有讓學(xué)生充分了解現(xiàn)有的數(shù)學(xué)模型以及它所能解決的數(shù)學(xué)問題類型，才能為數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培育打下較為堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、體驗(yàn)成模，掌握應(yīng)用

教材中有很多現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型，如離散型隨機(jī)變量中的超幾何分布，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中的二項(xiàng)分布中的概率求解等。對(duì)于教材中現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型，教學(xué)中要讓學(xué)生了解這個(gè)模型的建立過程，弄清這是為解決什么問題建立的模型，模型中的變量需滿足什么條件，模型求解過程需要用到哪些數(shù)學(xué)知識(shí)、用到什么樣的數(shù)學(xué)思想方法，以及在應(yīng)用模型求解過程需要注意哪些問題。只有這樣才能充分挖掘現(xiàn)成數(shù)學(xué)模型的教育功能，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

以超幾何分布為例，它是由有限個(gè)物件中抽出n個(gè)物件，成功抽出指定種類的物件的次數(shù)（不歸還），在這個(gè)問題解決的過程中，經(jīng)過抽象、歸納而建立起數(shù)學(xué)模型：在大小材質(zhì)相同的N個(gè)彩色球中，有M個(gè)白色球（M≤N），現(xiàn)從中不放回抽取n（n≤N）次球，則抽到k，（k≤min(M,n)）次白球的概率為：P(X=k)=。

在解讀這個(gè)數(shù)學(xué)模型的建立過程時(shí)，讓學(xué)生說出超幾何分布為解決哪類問題而提出？這個(gè)模型涉及的量有哪些？有什么特殊限制？在模型求解過程中用到哪些知識(shí)，應(yīng)注意點(diǎn)是什么？試舉例說明該模型可以解決的實(shí)際問題，然后再通過分析比較下面例題鞏固模型應(yīng)用。

例2.某大學(xué)生志愿者協(xié)會(huì)有6 名男同學(xué)，4 名女同學(xué)，在這10 名同學(xué)中隨機(jī)抽取5 名同學(xué)到希望小學(xué)參加支教活動(dòng)，求抽到的同學(xué)中恰有3 名女同學(xué)的概率。

例題分析過程的重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生如何將實(shí)際問題納入抽象的數(shù)學(xué)模型。本例的10 名同學(xué)視為10個(gè)彩色球，其中4 名女同學(xué)視為模型中的4 個(gè)白色球，那么我們的問題變成：在這10 個(gè)球中隨機(jī)不放回地抽取5 個(gè)球，求抽到3 個(gè)白球的概率，根據(jù)模型得出所求的結(jié)論為P(X=3)=。

三、拓展成模，建立新模

數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)可以延伸為從一個(gè)數(shù)學(xué)模型到另一個(gè)數(shù)學(xué)模型的思維教學(xué)。一個(gè)數(shù)學(xué)模型的擴(kuò)展可視為新建了一個(gè)數(shù)學(xué)模型，它同樣具備數(shù)學(xué)建模過程的要素，因此它必然成為數(shù)學(xué)建模教學(xué)的一個(gè)途徑。拓展成模的建模方式，最大的優(yōu)點(diǎn)是在掌握現(xiàn)成模型的基礎(chǔ)上，用類似或類比的方法來建立既容易掌握，又能訓(xùn)練思維的建模方式；同時(shí)，它是一種比較受教師和學(xué)生歡迎的建模方式，只要教師預(yù)設(shè)，學(xué)生就容易生成，適合于高效課堂的創(chuàng)建。例如生活中常見的問題：一批產(chǎn)品中有20 件一等品，15 件二等品和5 件三等品，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取8 件產(chǎn)品，求抽到產(chǎn)品中有2 件二等品和1 件三等品的概率。

這個(gè)問題貌似超幾何分布，但實(shí)際上并不完全相同。我們可以在超幾何分布模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展，讓學(xué)生自行建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型：在大小材質(zhì)相同的N 個(gè)彩色球中，有M個(gè)白色球，R個(gè)紅色球，（M+R≤N），現(xiàn)從中不放回抽取n（n≤N）次球，則抽到i次白球和j次紅球（i≤M,j≤R,i+j≤min(M+R,n)）的概率為：P(X=i,Y=j)=。

有經(jīng)驗(yàn)的教師在教學(xué)中很注意引導(dǎo)學(xué)生掌握二級(jí)結(jié)論，其實(shí)二級(jí)結(jié)論本身就可以視為一個(gè)數(shù)學(xué)模型的擴(kuò)展模型，把建模的思想滲透其中，可收事半功倍之效。

四、選擇模型，服務(wù)決策

從數(shù)學(xué)建模的過程可以看出，解決一個(gè)問題往往可能從不同的角度建立不同的數(shù)學(xué)模型。不同的模型對(duì)解決同一個(gè)數(shù)學(xué)問題在精確性、操作性等層面會(huì)存在一定的差別。特別是在解決一些預(yù)測(cè)性的問題上，數(shù)學(xué)模型的選擇有極高的應(yīng)用價(jià)值。一個(gè)數(shù)學(xué)模型建立后可以做統(tǒng)計(jì)推斷，不同的模型推斷的結(jié)果一般并不相同，因此通過比較推斷結(jié)果的優(yōu)劣將成為決策的重要依據(jù)。選擇合理模型是數(shù)學(xué)建模的內(nèi)在要求，我們務(wù)必在教學(xué)中給予足夠的重視。

例3.甲、乙兩家玩具廠擴(kuò)大生產(chǎn)一種新玩具，需要招聘熟練工人。甲廠招工廣告中薪資方案如下：每月底薪2400 元，其他按月生產(chǎn)玩具數(shù)量每件產(chǎn)品提成1 元；乙廠招工廣告中規(guī)定薪資方案為：每月底薪3600 元，月生產(chǎn)玩具數(shù)量不超過1200 件只領(lǐng)底薪，若超過1200 件，則超過的部分每件按8 元提成。

（1）將這兩家工廠招聘工人的月薪的y（單位：元）分別表示為月生產(chǎn)件數(shù)n 的函數(shù)關(guān)系式，建立了兩個(gè)數(shù)學(xué)模型。

（2）現(xiàn)從兩家工廠中各隨機(jī)選取1 名熟練工人，收集他們之前12 個(gè)月的月生產(chǎn)玩具件數(shù)并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。若記甲廠工人的月薪為X，乙廠工人的月薪為Y，張三是一名行業(yè)熟練工人，想應(yīng)聘這份工作，但很難決定應(yīng)聘哪一家工廠。請(qǐng)你根據(jù)前面收集的數(shù)據(jù)，利用你所學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，從月薪角度考慮，幫助張三做出選擇，并說明理由。

在這一問題的解決過程中，首先要求學(xué)生對(duì)兩家工廠的月薪方案建立兩個(gè)函數(shù)模型，然后應(yīng)用統(tǒng)計(jì)抽樣方法得出兩家工廠對(duì)一個(gè)熟練工人生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望，進(jìn)而得到他應(yīng)聘兩家工廠薪資的數(shù)學(xué)期望值，比較大小即可進(jìn)行合理決策。

五、實(shí)踐建模，融入場景

以現(xiàn)實(shí)生活為背景，以問題解決為導(dǎo)向，讓學(xué)生親身實(shí)踐數(shù)學(xué)建模，是培養(yǎng)建模能力的重要途徑。通過設(shè)計(jì)生動(dòng)有趣的問題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模，從根本上改變我們的教學(xué)，讓學(xué)生感興趣，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義和樂趣。

例如，“三個(gè)臭皮匠頂個(gè)諸葛亮”是對(duì)人多辦法多、人多智慧高的一種贊譽(yù)，其實(shí)這個(gè)問題完全可以通過概率的計(jì)算加以證實(shí)［3］。首先要建立數(shù)學(xué)模型，看三個(gè)臭皮匠能否合成一個(gè)諸葛亮，要看他們解決問題的能力是否相當(dāng)，因此假定諸葛亮成功解決一個(gè)問題的概率為0.90，三個(gè)臭皮匠獨(dú)自成功解決問題的概率分別為0.45，0.55，0.60。讓學(xué)生根據(jù)所學(xué)的概率知識(shí)去論證。

概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)在日常生活中使用較為頻繁，因此課外實(shí)踐的設(shè)計(jì)最好能具體地解決部分學(xué)生日常生活中常見的問題，并讓學(xué)生更快地融入場景。教師在尋找實(shí)踐素材的時(shí)候，可以讓學(xué)生以組為單位去采集數(shù)據(jù)，再根據(jù)不同的情況來分析采集的數(shù)據(jù)，并建立數(shù)學(xué)模型。例如，學(xué)校期末要對(duì)全體學(xué)生期末成績進(jìn)行總體評(píng)價(jià)，但每次總會(huì)出現(xiàn)個(gè)別學(xué)生期考某些科目因事或因病缺考，那么缺考的學(xué)科成績?nèi)绾慰陀^評(píng)價(jià)？是否可以利用所學(xué)隨機(jī)變量的相關(guān)關(guān)系而采用建模的方法來解決此類的問題？我們可以讓學(xué)生充分討論后，自行收集、整理數(shù)據(jù)，然后建模解決，教師適時(shí)加以指導(dǎo)，并對(duì)學(xué)生實(shí)踐活動(dòng)過程進(jìn)行評(píng)價(jià)。

滲透數(shù)學(xué)建模思想的課堂教學(xué)，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)建?；舅仞B(yǎng)的主渠道，而發(fā)掘和利用教材中建模素材是培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)主要方法。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)方式能很好地構(gòu)建知識(shí)與應(yīng)用之間的聯(lián)系，使得所學(xué)知識(shí)得以強(qiáng)化、應(yīng)用能力得以提升，在培養(yǎng)創(chuàng)新能力和推進(jìn)素質(zhì)教育上將會(huì)發(fā)揮重要的作用。教學(xué)過程中還要注意與課外動(dòng)手實(shí)踐相結(jié)合，讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、嘗試建立模型解決實(shí)際問題，體會(huì)成功的樂趣，增加學(xué)生學(xué)習(xí)概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的積極性和主動(dòng)性，也提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。