楊孝斌 呂傳漢 吳萬(wàn)輝 袁景濤 李時(shí)建 盧焱堯

【摘 要】為提高高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)質(zhì)量和高考復(fù)習(xí)的效率，文章構(gòu)建融合“三教”教育理念與波利亞解題思想的高中數(shù)學(xué)“一題一課多解變式”解題教學(xué)模式。經(jīng)過(guò)六年的理論研究和實(shí)踐探索，該模式為提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有一定的幫助。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);一題一課;多解變式;教學(xué)模式

【作者簡(jiǎn)介】楊孝斌，博士，貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授，中國(guó)少數(shù)民族教育學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)教育專(zhuān)業(yè)委員會(huì)常務(wù)理事，主要從事中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)、民族數(shù)學(xué)文化等的研究;呂傳漢，貴州師范大學(xué)原副校長(zhǎng)，教授，主持獲得2018年國(guó)家級(jí)基礎(chǔ)教育成果一等獎(jiǎng);吳萬(wàn)輝，北京八十中教學(xué)督導(dǎo)室主任，羅甸一中校長(zhǎng)，正高級(jí)教師，高考科學(xué)備考與高考命題研究專(zhuān)家;袁景濤，思南中學(xué)校長(zhǎng)，正高級(jí)教師，貴州省高中數(shù)學(xué)名師工作室主持人;李時(shí)建，正高級(jí)教師，貴州省高中數(shù)學(xué)名師工作室主持人;盧焱堯，貴州省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校長(zhǎng)，正高級(jí)教師，貴州省高中數(shù)學(xué)名師工作室主持人。

【基金項(xiàng)目】“國(guó)培計(jì)劃（2018）”——貴州省呂傳漢智庫(kù)專(zhuān)家教師專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)引領(lǐng)研修工作坊項(xiàng)目;貴州省2020年教育改革發(fā)展重大招標(biāo)課題“三教引領(lǐng)民族地區(qū)高中數(shù)學(xué)一題一課多解變式教學(xué)實(shí)踐研究”（ZD202008） 一、問(wèn)題背景

在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐和課堂觀察的基礎(chǔ)上，聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育等熱點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)，特別是解題教學(xué)、高三復(fù)習(xí)教學(xué)的實(shí)際，筆者提出兩個(gè)主要問(wèn)題：一是如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育;二是如何在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，構(gòu)建兼顧數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育與高考應(yīng)試能力培養(yǎng)的教學(xué)模式。

經(jīng)過(guò)六年的研究和實(shí)踐，筆者又把解決以上兩個(gè)問(wèn)題的主要過(guò)程分為聚焦問(wèn)題、理論研究、模式構(gòu)建、實(shí)踐檢驗(yàn)、教師培養(yǎng)等五個(gè)方面，并構(gòu)建出高中數(shù)學(xué)“一題一課多解變式”解題教學(xué)模式。

二、“一題一課多解變式”教學(xué)模式概述

經(jīng)過(guò)多年的探索，在開(kāi)展波利亞解題思想的研究[1-5]和發(fā)展“三教”（教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)）教育理念[6-9]的基礎(chǔ)上，筆者將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育與提升高中生數(shù)學(xué)解題及應(yīng)試能力結(jié)合起來(lái)，構(gòu)建了如圖1的高中數(shù)學(xué)“一題一課多解變式”教學(xué)模式。

（一）模式的內(nèi)涵

該模式的內(nèi)涵是在“三教”教育理念與波利亞解題思想的指導(dǎo)下，以數(shù)學(xué)思考為切入點(diǎn)（啟發(fā)學(xué)生理解題意，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問(wèn)題）、以獲得數(shù)學(xué)解題體驗(yàn)為重點(diǎn)（尋找解題思路，經(jīng)歷解題過(guò)程，在解題中學(xué)解題）、以數(shù)學(xué)表達(dá)交流為落腳點(diǎn)（通過(guò)分析問(wèn)題特征、書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程、歸納解題方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)表達(dá)交流能力），其核心是訓(xùn)練學(xué)生思維能力，目標(biāo)是提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

（二）模式的主要環(huán)節(jié)與解析

從圖1可以看出，該模式的主要教學(xué)環(huán)節(jié)如下。

（1）圍繞某一個(gè)重要數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)或數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查點(diǎn)，精選一個(gè)典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題作為一節(jié)課（或連堂課）教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)。

（2）針對(duì)選取的典型數(shù)學(xué)問(wèn)題，開(kāi)展一題多解的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

（3）列舉類(lèi)似問(wèn)題（條件、結(jié)論或解法類(lèi)似的問(wèn)題），開(kāi)展一題多變的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和變通性。

（4）進(jìn)行一題多說(shuō)的師生對(duì)話，教師從不同角度解析問(wèn)題、指出問(wèn)題的本質(zhì)和關(guān)鍵，引導(dǎo)學(xué)生反思研討，讓學(xué)生說(shuō)出自己的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，師生共同厘清問(wèn)題特點(diǎn)、歸納解題方法，最終達(dá)到一題多用（通過(guò)解一道題學(xué)會(huì)解一類(lèi)題）的目的，培養(yǎng)學(xué)生思維的概括性和遷移性。

（三） 模式的課型應(yīng)用

經(jīng)過(guò)六年的教學(xué)實(shí)踐，該模式從最初的在高考復(fù)習(xí)課中嘗試運(yùn)用到既可以在高三復(fù)習(xí)課使用，又可以在新授課、常規(guī)復(fù)習(xí)課中運(yùn)用。以下分別從三種課型進(jìn)行分析。

1.新授課教學(xué)應(yīng)用

該教學(xué)模式不僅僅是指在新授課的解題教學(xué)（例題或習(xí)題）中運(yùn)用，還可以在概念的產(chǎn)生、公式的推導(dǎo)等新授課的教學(xué)中應(yīng)用。在新授課教學(xué)中運(yùn)用該模式的關(guān)鍵是教師能夠找到新授課的核心問(wèn)題，適時(shí)地將教學(xué)內(nèi)容問(wèn)題化，找出課題，把新知識(shí)的教學(xué)當(dāng)作解題教學(xué)。數(shù)學(xué)教材中的標(biāo)題一般不是課題（這節(jié)課要解決的核心問(wèn)題），標(biāo)題往往是結(jié)論，而課題應(yīng)是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的本原性問(wèn)題，要體現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。例如“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”是教材內(nèi)容的標(biāo)題，而不是課題。其真正的課題應(yīng)是有了任意角的概念和銳角三角函數(shù)等預(yù)備知識(shí)之后，“任意角的三角函數(shù)值怎么求？”這才是這節(jié)課教學(xué)的真正課題。因此，這節(jié)課一開(kāi)始應(yīng)該是一個(gè)具體的問(wèn)題，即“如何求210°的正弦值”，接下來(lái)再要求學(xué)生動(dòng)腦筋想辦法解決問(wèn)題。[10]

在新授課的教學(xué)中，教師運(yùn)用該模式的主要難點(diǎn)是如何找準(zhǔn)這節(jié)課要解決的核心問(wèn)題，以及如何構(gòu)建問(wèn)題串，特別是如何根據(jù)學(xué)習(xí)新知識(shí)的思維發(fā)展需要安排問(wèn)題的邏輯順序。

2.常規(guī)復(fù)習(xí)課教學(xué)應(yīng)用

在單元復(fù)習(xí)、期末復(fù)習(xí)教學(xué)中，除了常規(guī)的知識(shí)復(fù)習(xí)，還可以嘗試采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的方法，以解題教學(xué)促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)。

例如“數(shù)列”這一章節(jié)的復(fù)習(xí)課，除了要復(fù)習(xí)概念、通項(xiàng)公式、求和公式等知識(shí)，還要圍繞等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等差數(shù)列求和、等比數(shù)列通項(xiàng)公式、等比數(shù)列求和、等差（等比）中項(xiàng)、數(shù)列綜合問(wèn)題、數(shù)列問(wèn)題在生活中的應(yīng)用等設(shè)置一系列問(wèn)題，采用“一題一課多解變式”的教學(xué)模式，每一個(gè)系列以一個(gè)典型問(wèn)題的解題教學(xué)為主，輔以類(lèi)似的問(wèn)題加以鞏固，以達(dá)到在知識(shí)的運(yùn)用中理解知識(shí)、鞏固知識(shí)的目的。

3.高考復(fù)習(xí)課教學(xué)應(yīng)用

教學(xué)實(shí)踐表明，在高考復(fù)習(xí)中，“一題一課多解變式”教學(xué)模式的運(yùn)用應(yīng)常態(tài)化。同時(shí)，教師在解題教學(xué)中還應(yīng)注意落實(shí)一題多解、一題多變、一題多說(shuō)等教學(xué)理念。具體分為以下三個(gè)階段。

（1）高考第一輪復(fù)習(xí)：以知識(shí)為主，解題鞏固。在該復(fù)習(xí)階段應(yīng)以構(gòu)建知識(shí)框圖，形成系統(tǒng)化、模塊化的知識(shí)體系為主，如立體幾何中線線、線面、面面的性質(zhì)定理與判定定理，應(yīng)幫助學(xué)生建立知識(shí)間的聯(lián)系，并在解題學(xué)習(xí)中鞏固所復(fù)習(xí)的知識(shí)。

（2）高考第二輪復(fù)習(xí)：以解題為主，知識(shí)再現(xiàn)。在該復(fù)習(xí)階段應(yīng)以單元知識(shí)模塊（或核心知識(shí)考點(diǎn)）為線索，以解題能力提高為目的，充分運(yùn)用“一題一課多解變式”教學(xué)模式提高高考復(fù)習(xí)質(zhì)量，并根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況適當(dāng)輔以知識(shí)點(diǎn)的回顧與再現(xiàn)。例如“解三角形”這一內(nèi)容，應(yīng)重點(diǎn)圍繞正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角形面積計(jì)算的方法等，通過(guò)典型問(wèn)題的一題多解、一題多變、一題多說(shuō)等學(xué)習(xí)過(guò)程，達(dá)到加深學(xué)生對(duì)知識(shí)及其相互聯(lián)系的理解，提高學(xué)生解題能力的目的。

（3）高考第三輪復(fù)習(xí)：以解題為主，方法為要。在該復(fù)習(xí)階段主要利用“一題一課多解變式”教學(xué)模式開(kāi)展高考綜合題的解題教學(xué)，在教學(xué)過(guò)程中突出解題經(jīng)驗(yàn)、解題方法的歸納與總結(jié)，尤其要突出數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用。 三、“一題一課多解變式”教學(xué)模式的實(shí)踐探索

高中數(shù)學(xué)“一題一課多解變式”解題教學(xué)模式初創(chuàng)以來(lái)，我們通過(guò)與貴州省9個(gè)省級(jí)高中數(shù)學(xué)名師工作室合作，指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教師在不同地區(qū)、不同學(xué)校進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，并在實(shí)踐中不斷修正、完善，以下是一些典型的教學(xué)案例。

（一）一題多解的教學(xué)實(shí)踐探索

兩道解三角形問(wèn)題的多解探索。

例1（2017年全國(guó)Ⅲ卷理科第17題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinA+3cosA=0，a=27，b=2。①求c;②設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積。

例2（2019年全國(guó)Ⅲ卷理科第18題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c。已知asinA+C2=bsinA，①求B;②若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍。

限于篇幅，關(guān)于這兩個(gè)問(wèn)題的多種解法，簡(jiǎn)要列表如下這兩道題目的詳細(xì)解法，參見(jiàn)參考文獻(xiàn)[4][5]。。

在實(shí)際考試中，很多學(xué)生其實(shí)并沒(méi)有更多的時(shí)間去思考題目的多種解法，但是在平時(shí)的思維訓(xùn)練中，通過(guò)一題多解可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的最優(yōu)解，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，以達(dá)到學(xué)生在面對(duì)題目時(shí)能夠迅速判斷用哪種方法求解。同時(shí)，一題多解的訓(xùn)練，也有利于提高學(xué)生多角度思考問(wèn)題和靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決問(wèn)題的能力。因此，在教學(xué)中開(kāi)展一題多解的訓(xùn)練，特別是在高三復(fù)習(xí)階段，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性具有重要的作用。

（二）一題多變的教學(xué)實(shí)踐探索

1.從一道加拿大競(jìng)賽題談起

下面筆者將從一道加拿大的競(jìng)賽題談一談如何對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變式。

例3（1995年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題）已知函數(shù)f（x）=9x9x+3，求f 11996+f21996+…+f19951996的值。

該問(wèn)題可利用函數(shù)f（x）=9x9x+3的性質(zhì)求解，即當(dāng)x+y=1時(shí)，f（x）+f（y）=1，然后再借助倒序相加的方法求解。

2.搜索與之類(lèi)似的題目

例4（復(fù)旦大學(xué)2005年自主招生考試題）已知定義在R上的函數(shù)f（x）=4x4x+2，求Sn=f1n+f2n+…+fn-1n，n=1，2，3…。

該題可看作是例3的翻版，事實(shí)上在課本上也有類(lèi)似的題目。

例5[2007年人教版高中數(shù)學(xué)必修5（B版）第43頁(yè)習(xí)題2.2，B組第6題]

已知函數(shù)f（x）=4x4x+2。

（Ⅰ）計(jì)算f（0.1）+f（0.9）的值。

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}滿足an=fn1001，求此數(shù)列前1000項(xiàng)的和。

例3～例5都是考查等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)過(guò)程中的倒序相加法。除上述問(wèn)題（指數(shù)函數(shù)型）外，還有分式型、組合數(shù)型、三次函數(shù)型、對(duì)數(shù)函數(shù)型、三角函數(shù)型等，也常常結(jié)合倒序相加的思想進(jìn)行命題。

例6（2002年新課標(biāo)全國(guó)卷理科16題）（分式型）已知函數(shù)f（x）=x21+x2，那么f（1）+f（2）+f12+f（3）+f13+f（4）+f14= ? ? 。

例7（2017年上海高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）（三角函數(shù)型）若f（x）=11+x+21+x2，則f（tan1°）+f（tan2°）+…+f（tan89°）= ? ? 。

這些問(wèn)題是如何變式的，讓我們先來(lái)看以下幾個(gè)函數(shù)：

f（x）=9x9x+3 f（x）=4x4x+2 ？

這里的問(wèn)號(hào)可以是f（x）=2x2x+2，于是便可命制以下問(wèn)題：已知函數(shù)f（x）=2x2x+2，求f12021+f22021+…+f20202021的值。

我們還可以設(shè)計(jì)一個(gè)更簡(jiǎn)單的問(wèn)題：求12+13+23+14+24+34+…+12021+22021+…+20202021的值，這些問(wèn)題常常出現(xiàn)在小學(xué)高年級(jí)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中，其本質(zhì)就是反復(fù)利用倒序相加的思想求解。

此外，我們還可以同時(shí)利用三角函數(shù)公式和倒序相加法命制如下問(wèn)題。

設(shè)A=1+cos3°+1+cos7°+1+cos11°+…+1+cos87°，B=1-cos3°+1-cos7°+1-cos11°+…+1-cos87°，則A∶B= ? ?。

該題需要利用半角公式先去掉根號(hào)，再利用倒序相加的思想與正弦、余弦的和差化積公式求解。

因此，在教學(xué)中進(jìn)行一題多變的訓(xùn)練，是為了培養(yǎng)學(xué)生的遷移性思維，讓學(xué)生可以適應(yīng)問(wèn)題的各種變化，通過(guò)解一道題，最終達(dá)到會(huì)解一類(lèi)題的目的。常規(guī)的思路主要有：①追根溯源，在充分挖掘考點(diǎn)（知識(shí)點(diǎn)、思想方法考查點(diǎn)、核心素養(yǎng)考查點(diǎn)）和題源（揣摩命題意圖、尋找類(lèi)似問(wèn)題）的基礎(chǔ)上，進(jìn)行模擬命題，開(kāi)展變題訓(xùn)練;②通過(guò)設(shè)計(jì)與原問(wèn)題（或稱(chēng)母題）的條件、情境類(lèi)似的問(wèn)題，進(jìn)行模擬命題，開(kāi)展變題訓(xùn)練;③通過(guò)適當(dāng)改變問(wèn)題的結(jié)論（加強(qiáng)或弱化、升維或降維等），進(jìn)行模擬命題，開(kāi)展變題訓(xùn)練;④通過(guò)變換問(wèn)題的提問(wèn)方式（同一問(wèn)題不同提法、不同問(wèn)題同一提法），進(jìn)行模擬命題，開(kāi)展變題訓(xùn)練。

（三）一題多說(shuō)的教學(xué)實(shí)踐探索

限于篇幅，同時(shí)為了說(shuō)明問(wèn)題，筆者仍以2017年全國(guó)Ⅲ卷理科數(shù)學(xué)第17題為例。

1.教師說(shuō)題目

在以該題為典型例題開(kāi)展教學(xué)以后，教師應(yīng)向?qū)W生深度剖析這一問(wèn)題的特點(diǎn)及涉及的考點(diǎn)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到該題重在考查對(duì)正弦定理、余弦定理、勾股定理、角的正弦（余弦、正切）的定義、特殊角的三角函數(shù)值、輔助角公式、兩角和的正弦（余弦）公式、三角形面積公式、三角形中位線、平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)、一元二次方程的解法等知識(shí)的掌握，以及對(duì)數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、方程思想等數(shù)學(xué)思想的理解與應(yīng)用。在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面，該題著重考查了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等，同時(shí)兼顧合情推理能力的考查。

同時(shí)，教師還應(yīng)向?qū)W生分析如何在考試中快速找到解題的突破口。如該題第（2）問(wèn)，在實(shí)際解題過(guò)程中就可以先猜出D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)這個(gè)結(jié)論再進(jìn)行證明，當(dāng)然這涉及對(duì)學(xué)生合情推理能力的考查。

2.學(xué)生說(shuō)解題體驗(yàn)

通過(guò)以該題為典型例題開(kāi)展“一題一課多解變式”教學(xué)以后，教師引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出他們的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，部分摘錄如下。

生1：通過(guò)這道題的學(xué)習(xí)，我知道要綜合把握問(wèn)題的條件，充分考慮可能的解法，靈活選擇更簡(jiǎn)便、快捷的解題方法。

生2：通過(guò)這道題的學(xué)習(xí)，我了解到，凡是遇到與三角形邊的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，就想方設(shè)法尋找或構(gòu)造出另一個(gè)中點(diǎn)，以便利用三角形的中位線等有關(guān)知識(shí)解題。

生3：通過(guò)這道題的學(xué)習(xí)，我了解到，在對(duì)圖形的觀察中充分把握整體與局部的關(guān)系。

生4：通過(guò)這道題的學(xué)習(xí)，我了解到，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，既要關(guān)注數(shù)學(xué)的結(jié)論性知識(shí)，又要關(guān)注數(shù)學(xué)公式、定理推導(dǎo)過(guò)程中的過(guò)程性知識(shí)。

一題多說(shuō)的主要目的是要求教師引導(dǎo)學(xué)生從多角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)、問(wèn)題考查的知識(shí)要點(diǎn)和能力要素，讓學(xué)生開(kāi)展解題回顧與反思，總結(jié)學(xué)習(xí)體驗(yàn)、積累解題經(jīng)驗(yàn)、歸納解題方法，最終達(dá)到一題多用，培養(yǎng)學(xué)生思維的概括性和遷移性的目的。

四、結(jié)語(yǔ)

教學(xué)實(shí)踐表明，該模式引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)會(huì)解一道題達(dá)到會(huì)解一類(lèi)題的目的，在一定程度上提高了數(shù)學(xué)解題教學(xué)的質(zhì)量和高考復(fù)習(xí)的效率。同時(shí)，在運(yùn)用該模式的過(guò)程中，落實(shí)了“教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)”的“三教”教育理念，真正幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)“三會(huì)”，即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。通過(guò)六年多的努力，高中數(shù)學(xué)“一題一課多解變式”解題教學(xué)模式，已逐漸發(fā)展完善為提升數(shù)學(xué)解題能力的有效載體，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的有效模式。當(dāng)然，在模式的運(yùn)用過(guò)程中，也或多或少會(huì)出現(xiàn)一些問(wèn)題，比如有的教師因自身的素質(zhì)無(wú)法很好地開(kāi)展一題多解、一題多變，還有的教師無(wú)法很好地運(yùn)用波利亞解題思想，以至于有時(shí)候講不清楚解法是如何發(fā)現(xiàn)的。特別是在一題多變的過(guò)程中，有的教師不能很好地把握“變”的邏輯順序，以及“變”的程度和題與題之間的跨度等問(wèn)題，這些都有待進(jìn)一步研究。

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（責(zé)任編輯：陸順演）