李德虎 汪曉勤
【摘 要】HPM視角下“長方體直觀圖的畫法”的教學(xué)以“選美大賽—古書修訂—厚積薄發(fā)—建章立制—牛刀小試—畫龍點睛”為主線,重構(gòu)式運用數(shù)學(xué)史,運用項目化學(xué)習(xí)理念創(chuàng)設(shè)情境,讓學(xué)生化身為小數(shù)學(xué)家進行“古書修訂”,在小組合作探究中討論制訂長方體直觀圖畫法的三條規(guī)則,形成“斜二測”畫法,再現(xiàn)了“斜二測”畫法誕生的過程。本節(jié)課是項目化學(xué)習(xí)與HPM視角下課堂教學(xué)相結(jié)合的一次嘗試。
【關(guān)鍵詞】HPM;“斜二測”畫法;項目化學(xué)習(xí)
【作者簡介】李德虎,上海市新楊中學(xué)科研處主任,高級教師,HPM工作室成員,主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究;汪曉勤,華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師,主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究。
【基金項目】上海高?!傲⒌聵淙恕比宋纳鐣茖W(xué)重點研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地研究項目——數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中落實立德樹人根本任務(wù)的研究(A8) “長方體直觀圖的畫法”是滬教版初中六年級數(shù)學(xué)教科書第八章“長方體的再認識”第2節(jié)的內(nèi)容,學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)認識了長方體,會根據(jù)公式計算長方體、正方體的表面積和體積,對長方體的直觀圖也有初步的認識?!渡虾J兄行W(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(試行稿)》指出,學(xué)生要熟悉長方體直觀圖的某一種常用圖形,會畫長方體的直觀圖(采用“斜二測”畫法)[1]。本節(jié)課屬于立體幾何的啟蒙課,為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)長方體中棱與棱、棱與面和面與面的關(guān)系乃至高中立體幾何打下基礎(chǔ)。
在教學(xué)實踐中,教師通常直接告知學(xué)生長方體直觀圖的畫法,并帶領(lǐng)學(xué)生一起按步驟用“斜二測”畫法畫長方體,而對于為何要將上下底畫成一個內(nèi)角為45°的平行四邊形且取寬為實際長度的一半,均不做說明[2]。在課堂上,學(xué)生難免會對“斜二測”畫法的規(guī)定產(chǎn)生疑問。鑒于此,我們希望從HPM的視角,重新設(shè)計“長方體直觀圖的畫法”教學(xué)內(nèi)容,并付諸實施。本節(jié)課擬訂的教學(xué)目標(biāo)如下。
(1)理解“斜二測”畫法的合理性,會用“斜二測”畫法畫長方體,培養(yǎng)學(xué)生初步的空間觀念和空間想象能力。
(2)經(jīng)歷“斜二測”畫法的形成過程,體會其中的研究方法。
(3)對話歷史,提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心,形成動態(tài)的數(shù)學(xué)觀,體會數(shù)學(xué)背后的理性精神。
一、數(shù)學(xué)史料及其運用
在16世紀的幾何書籍中,已經(jīng)普遍使用平行四邊形來表示長方體的六個面,在1509年出版的《歐幾里得集》中[3],長方體和正方體直觀圖的畫法如圖1所示。可見,當(dāng)時人們已經(jīng)采用斜投影畫法來畫長方體的直觀圖,其中平行四邊形的一個內(nèi)角近似取45°,但寬并沒有取實際長度的一半。特別在正方體直觀圖中,長和寬保持兩兩相等關(guān)系,即上、下、左、右四個面為菱形。
書中還出現(xiàn)了一些錯誤的長方體直觀圖,如圖2所示。
1532年,法國數(shù)學(xué)家費奈烏斯(O.Finaeus)在《數(shù)學(xué)之源》[4]中給出的長方體畫法與《歐幾里得集》類似,將正方體的上、下、左、右四個面畫成菱形,如圖3所示。1564年,意大利數(shù)學(xué)家巴托利(C.Bartoli)在《測量之術(shù)》[5]中沿用了同樣的畫法,保留正方體長、寬和高的實際長度,看起來就像一般的長方體,如圖4所示。
直到17世紀,正方體的畫法有了明顯的改進,如1624年,意大利數(shù)學(xué)家博莫多羅(Pomodoro)在《實用幾何》中畫的正方體直觀圖就不再保持長和寬相同[6],但是圖中的寬并沒有取實際長度的一半,而是取實際長度的23,如圖5所示。
到19世紀末,關(guān)于長方體直觀圖仍未有統(tǒng)一的規(guī)范畫法,例如1899年,米爾恩(W.J.Milne)在《平面與立體幾何》[7]中將上、下底面的寬取為實際長度的23,一個內(nèi)角接近30°,如圖6所示。
可見,在將近400年的漫長時間里,數(shù)學(xué)教科書基本采用斜投影的軸測圖來畫長方體,但表示上下底面的平行四邊形的鄰邊大小關(guān)系和一個內(nèi)角的大小并不統(tǒng)一,寬處于實際長度的13到實際長度相等之間,一個內(nèi)角處于30°和60°之間。
直到1916年,美國數(shù)學(xué)家貝茨(W.Betz)和韋布(H.E.Webb)在其《立體幾何》[8]中給出了斜二軸測投影(簡稱“斜二測”畫法)的作圖法,作者稱這種投影是一種“令人滿意的投影方式”,如圖7所示。
數(shù)學(xué)史告訴我們,長方體直觀圖的“斜二測”畫法經(jīng)歷了漫長的探索過程,其實是一種規(guī)則的制訂,是數(shù)學(xué)家在討論中“約定俗成”的。教師可以采用探究式教學(xué)法,讓學(xué)生在討論中形成畫法規(guī)則,重現(xiàn)“斜二測”畫法規(guī)則制訂過程,揭示學(xué)生畫法的歷史相似性。
二、教學(xué)設(shè)計與實施
根據(jù)數(shù)學(xué)史料,本節(jié)課教學(xué)設(shè)計運用項目化學(xué)習(xí)的理念,分為選美大賽、古書修訂、厚積薄發(fā)、建章立制、牛刀小試和畫龍點睛六個部分。以四本古書修訂為驅(qū)動性問題,引導(dǎo)學(xué)生小組探究,討論制訂長方體直觀圖的畫法規(guī)則,形成核心知識“斜二測”畫法。
課前,教師要求學(xué)生畫出邊長是3cm的正方體。教師在對學(xué)生的畫法進行分析后,發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生都是采用斜投影畫法,并得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)。
課上,教師首先播放HPM微視頻,介紹歷史上人們對長方體畫法的探索,其中包括中國古畫(宋徽宗《文會圖》)中桌子的畫法、達·芬奇繪畫作品中透視畫法等。本節(jié)課介紹的畫法為長方體直觀圖畫法的一種,如圖8所示,從而引入本節(jié)課的課題。
(一)選美大賽
教師讓每個小組的學(xué)生從各自小組作品中選出最美的一幅圖,再通過希沃投屏展示出來,如圖9所示。
師:下面請大家一起選一選哪一幅圖最美?
不同小組的學(xué)生表達了不同的看法。
師:為什么大家沒有形成統(tǒng)一的意見?
生:因為沒有評價的標(biāo)準。
師:很好,那么這節(jié)課我們就一起來制訂這個“選美”標(biāo)準。
【設(shè)計意圖】通過選美大賽,讓學(xué)生明白制訂長方體直觀圖畫法的必要性,為后面探究長方體“斜二測”畫法的三個規(guī)定做鋪墊。此外,部分學(xué)生的畫法和歷史上教科書的畫法也相似(如圖9c),揭示出學(xué)生長方體直觀圖畫法的歷史相似性。
(二)古書修訂
教師用PPT展示四本古書,如圖10所示,讓學(xué)生對照自己畫的正方體和古代數(shù)學(xué)家畫的正方體。
師:四本古書畫的都是邊長為3cm的正方體,但各不相同,請各位小數(shù)學(xué)家們幫忙修訂這四本古書,以便于后人閱讀。
【設(shè)計意圖】教師事先對史料進行整理,發(fā)現(xiàn)很多書籍中都涉及正方體的畫法但又不盡相同,所以截圖保存并縮放圖像,使每個正方體的長均為3cm,高也為3cm制成學(xué)習(xí)單(學(xué)生課前畫的正方體的直觀圖長和高均為3cm)。借助歷史相似性原則和項目化學(xué)習(xí)的理念,教師讓學(xué)生化身為修訂古書的數(shù)學(xué)家,在修訂古書的情境中展開探究式學(xué)習(xí)。
(三)厚積薄發(fā)
本環(huán)節(jié)主要學(xué)習(xí)平面的概念和表示法,以及長方體直觀圖的概念,為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)探究做準備。
師:長方體有六個面,我們要研究長方體的直觀圖,首先來看看怎么畫平面。生活中有哪些實例給我們以平面的形象?
生:地面、黑板、桌面和平靜的湖面。
教師結(jié)合圖11介紹古代數(shù)學(xué)家對“平面”的定義。
師:數(shù)學(xué)中,平面是平的,無邊無沿,我們可以用一個平行四邊形來表示它。特別地,把水平放置的平面畫成一邊是水平位置,另一邊與水平線所成的角為45°的平行四邊形,如圖12,表示為平面ABCD或平面α。
師:我們把空間圖形畫在平面內(nèi),使得既富有立體感,又能表達出圖形主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系的圖形叫直觀圖。
師:結(jié)合圖13,同學(xué)們想一想畫長方體直觀圖的關(guān)鍵是什么?
生1:斜著畫。
生2:調(diào)整長度。
【設(shè)計意圖】教師借助歷史上幾位數(shù)學(xué)家對“平面”的定義,引出平面畫法及表示法。同時,教師給學(xué)生補充直觀圖的概念,讓學(xué)生思考長方體直觀圖的兩個關(guān)鍵因素,為后面畫法規(guī)則的制訂提供依據(jù)。
(四)建章立制
教師出示圖10,要求學(xué)生借助直三角尺和量角器對學(xué)習(xí)單上四幅圖進行測量,并回答以下問題。
(1)正方體的邊長(長、寬、高)應(yīng)畫為多少厘米?
(2)底面平行四邊形中的銳角取多少度?
(3)看不見的棱如何畫?
學(xué)生把研究結(jié)果投屏到屏幕上。教師歸納學(xué)生的討論結(jié)果:看不見的棱用虛線表示;關(guān)于底面平行四邊形中的銳角取多少度的問題,學(xué)生建議取45°比較方便;關(guān)于長和高大家都覺得應(yīng)取3cm;關(guān)于寬應(yīng)取的長度,學(xué)生主要有兩種意見,一部分學(xué)生認為應(yīng)取實際寬的一半為1.5cm,另一部分學(xué)生認為應(yīng)取2cm。
師:請大家想一想,如果老師給的正方體棱長是2.6cm,同學(xué)們覺得寬取多少才合適呢?
生:取一半,1.3cm比較好畫。
師:請同學(xué)再看一下課前你們畫的棱長為3cm的正方體的統(tǒng)計圖(如圖14和圖15所示)。
師生一起歸納畫長方體直觀圖的規(guī)則:(1)長方體直觀圖中,長和高不變,寬取實際長度的一半;(2)底面平行四邊形中的銳角取45°;(3)看不見的棱用虛線表示。
師:這種畫長方體直觀圖的方法我們稱為“斜二測”畫法。在中國古代,畫家通過實踐發(fā)現(xiàn)上述規(guī)則兼顧立體感和位置關(guān)系,是一種無意識的幾何實踐。數(shù)學(xué)家貝茨和韋布綜合前人的畫法稱“斜二測”畫法為“令人滿意的投影方式”。課后請大家根據(jù)我們制訂的“斜二測”畫法,在選出的五幅正方體直觀圖中選出最美的一幅,并在學(xué)習(xí)單上完成對四本古書的修訂。
教師用PPT展示宋徽宗的《文會圖》和《立體幾何》(1916年)中的正方體。
(五)牛刀小試
通過練習(xí)鞏固新知,學(xué)生掌握了本節(jié)課的重點——長方體直觀圖的畫法。在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生完成以下任務(wù):畫長4cm、寬3cm、高2cm的長方體ABCD-EFGH直觀圖。在課堂練習(xí)中,教師讓學(xué)生指出《歐幾里得集》中長方體存在的問題(如圖2)。
(六)畫龍點睛
師:通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),大家有什么收獲?
生1:我掌握了平面畫法和表示法。
生2:畫長方體直觀圖的時候,寬應(yīng)取實際長度的一半,平行四邊形中的銳角應(yīng)取45°。
生3:畫長方體直觀圖看不見的棱用虛線表示。
生4:“斜二測”畫法的規(guī)定是討論制訂的,既體現(xiàn)了圖形的立體感,又保持了位置關(guān)系和度量關(guān)系。
師:同學(xué)們說得很好,老師這里給出一個關(guān)鍵字:序,同學(xué)們有什么感悟?
生5:平面的表示字母要按照順時針或者逆時針順序。
生6:用“斜二測”畫法畫長方體要注意畫圖的順序。
師:對的,現(xiàn)實的世界本來是混沌無序的,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是幫助我們在無序的世界發(fā)現(xiàn)規(guī)律,建立規(guī)則或標(biāo)準,這樣我們的世界將變得更加和諧。
教師通過課堂小結(jié),點明了本節(jié)課的核心內(nèi)容——“序”的建立,讓學(xué)生明白這個“序”,既包括平面和長方體表示法中字母之序、“斜二測”畫法之序,也包括長方體直觀圖畫法的形成之序。借助數(shù)學(xué)知識,學(xué)生理解了建立現(xiàn)實之“序”的意義。
三、學(xué)生反饋
基于本節(jié)課,筆者對班級學(xué)生進行了前測和后測。在前測中,筆者通過問卷調(diào)查了解到:96.4 的學(xué)生采用斜投影的軸測圖來畫棱長是3cm的正方體,3.6 的學(xué)生采用透視畫法;全班學(xué)生畫的長和高都取3cm,寬的取值和平行四邊形的夾角如圖14和圖15。43.9 的學(xué)生沒有畫被遮擋的三條棱,18.9 的學(xué)生用實線來畫被遮擋的三條棱,37.2 的學(xué)生用虛線來畫被遮擋的三條棱。可見,學(xué)生初步了解長方體的軸測圖畫法,但對于寬的取值、平行四邊形的夾角和如何處理被遮擋的三條棱沒有形成統(tǒng)一的意見。
在后測中,筆者對全班28名學(xué)生進行問卷調(diào)查,旨在了解學(xué)生對本節(jié)課教學(xué)的感想與建議。在問卷調(diào)查中,100 的學(xué)生能正確的采用“斜二測”畫法畫出棱長是3cm的正方體直觀圖,完成“古書修訂”任務(wù)。
學(xué)生關(guān)于這節(jié)課與平時課堂教學(xué)最大的不同感受統(tǒng)計如圖16所示。
關(guān)于數(shù)學(xué)史(“古書修訂”)有沒有幫助你理解“斜二測”畫法合理性的問題,96.4 的學(xué)生的回答是肯定的,學(xué)生認為“這些圖也體現(xiàn)了我們自己作圖的問題”“我們只有不斷和古書對比,才能研究出‘斜二測畫法”“通過古人不同的畫法擬定一個方便的值”“通過與古書對比,我發(fā)現(xiàn)‘斜二測畫法更容易畫且更美觀”“古書中的畫法為‘斜二測畫法奠定了基礎(chǔ),‘斜二測畫法汲取了古書中畫法的優(yōu)點”等。
在長方體“斜二測”畫法中,為什么寬要取原來長度的一半、平行四邊形一個夾角為什么畫成45°?學(xué)生的回答如圖17所示。
四、結(jié)語
從教師教的角度,本節(jié)課構(gòu)建了三個層次:“就題論題”“就題論法”“就題論道”。(1)在“就題論題”的層面,本節(jié)課的核心是學(xué)會用“斜二測”畫法畫長方體的直觀圖。在教學(xué)中,教師通過板演,按照四個步驟引導(dǎo)學(xué)生一起畫圖,通過課后反饋發(fā)現(xiàn),全班學(xué)生掌握了這種畫法。(2)在“就題論法”的層面,本節(jié)課借助項目化學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)史料構(gòu)建情境,借助歷史相似性原則,讓學(xué)生一起討論制訂長方體直觀圖畫法的規(guī)則,真實還原“斜二測”畫法產(chǎn)生的過程。(3)在“就題論道”的層面,教師課前設(shè)計“選美大賽”和“古書修訂”兩個環(huán)節(jié),引發(fā)學(xué)生對“選美標(biāo)準”和“修訂規(guī)則”的制訂,進而形成三條規(guī)則,得出“斜二測”畫法,在最后的小結(jié)中,用一個“序”字結(jié)尾,使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)讓“無序”的世界變得“有序”。
從學(xué)生學(xué)的角度,本節(jié)課踐行了數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教學(xué)原則。課前學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”為會用斜投影法畫長方體直觀圖,但沒有形成“斜二測”畫法;教師從學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)學(xué)化”活動體驗[9],設(shè)置“選美大賽”和“修訂古書”兩個情境;通過合作探究引導(dǎo)學(xué)生進行“再創(chuàng)造”,制訂長方體直觀圖的畫法三條規(guī)則,形成“斜二測”畫法;整節(jié)課貫穿數(shù)學(xué)“思想實驗”原則,教師設(shè)置的大部分問題都是開放性問題,沒有固定的答案,實現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的自我構(gòu)建。
本節(jié)課運用數(shù)學(xué)史重構(gòu)式開展教學(xué),讓學(xué)生經(jīng)歷“斜二測”畫法的產(chǎn)生過程,構(gòu)建了知識之諧;借助“古書修訂”任務(wù)驅(qū)動學(xué)生開展討論,營造了探究之樂;通過數(shù)學(xué)與藝術(shù)的聯(lián)系、長方體直觀圖選美的活動,展示了文化之魅;通過呈現(xiàn)古今長方體直觀圖畫法的演進,讓學(xué)生形成動態(tài)數(shù)學(xué)觀,達成德育之效。
此外,本節(jié)課融合HPM微視頻、希沃投屏等教育信息技術(shù),帶動數(shù)學(xué)史內(nèi)容的可視化呈現(xiàn)和情景創(chuàng)設(shè),引發(fā)學(xué)生探究,是項目化學(xué)習(xí)與HPM視角下的課堂教學(xué)相結(jié)合的一次有益嘗試。
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(責(zé)任編輯:陸順演)