田晨冬，李克昭,2

一種矩陣排序改進的模糊度解算方法

田晨冬1，李克昭1,2

（.1. 河南理工大學 測繪與國土信息工程學院，河南 焦作 454000；2. 北斗導航應用技術協(xié)同創(chuàng)新中心，鄭州 450052）

針對目前應用最為廣泛的最小二乘降相關平差（LAMBDA）算法涉及大量矩陣運算，延長了降相關時間的問題，提出一種矩陣排序法（MOM），來提高降相關效率。仿真實驗和實測結果表明：在保持與LAMBDA算法精度相當的情況下，MOM方法可將平均解算時間從43690 μs 降低到40970 μs。

模糊度解算；全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)；矩陣排序；最小二乘降相關平差算法；去相關算法

0 引言

在全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)（global navigation satellite system，GNSS）高精度差分定位中，如何準確高效地求解整周模糊度是一項關鍵問題，因為只有模糊度得到固定，衛(wèi)星定位才能得到毫米級的定位精度。模糊度處理方法主要包括3類[1]：①坐標域中確定模糊度的方法；②觀測值域模糊度解算方法；③模糊度域中確定模糊度的方法。目前以基于整數最小二乘原則，在模糊度域中確定模糊度的最小二乘降相關平差（least-square ambiguity decorrelation adjustment，LAMBDA）算法[2-3]應用最為廣泛。LAMBDA解算模糊主要包括3個步驟：首先，通過對整數最小二乘估計獲得模糊度的浮點解和相應的協(xié)方差矩陣進行降相關處理從而獲得固定解；然后，構建模糊度候選區(qū)間搜索最優(yōu)模糊度；最后，對模糊度的準確性進行檢驗確認。由于其降相關處理涉及大量矩陣運算，延長了降相關時間。因此有必要對其降相關過程進行研究，提高降相關效率。

國內外學者都對降相關過程進行了大量的研究。文獻[4]通過上下三角過程構造聯(lián)合去相關算法，降低了模糊度之間的相關性；文獻[5]使用喬列斯基（Cholesky）分解，構建整數高斯矩陣，在高維情況下，分解得到的浮點解協(xié)方差矩陣條件數最??；文獻[6]以降低協(xié)方差矩陣的條件數為準則，提出一種性能更加優(yōu)越的模糊度去相關算法。自文獻[7]將格理論中的規(guī)約算法倫斯特拉-倫斯特拉-洛瓦斯（Lenstra-Lenstra-Lovász, LLL）算法應用于模糊度降相關以來，很多學者從格基規(guī)約理論角度，分析LLL的降相關性能，文獻[8]提出一種逆整數Cholesky去相關方法，其性能優(yōu)于整數高斯去相關和LLL算法；文獻[9]基于分塊格拉姆-施密特（Gram-Schmidt）正交化算法，來改進LLL算法，在改善平均相關系數和條件數的基礎上，極大地優(yōu)化了搜索所需的時間；文獻[10]采用分塊降維，來改進LLL算法，有效地提高了LLL算法的運行效率。

此外有學者研究表明，排序可以優(yōu)化模糊度去相關算法，提高浮點解方差-協(xié)方差矩陣去相關效率[11-13]。文獻[14]將基于排序的QR分解策略改進，并應用到LAMBDA算法中，通過貪婪選擇和惰性變換，對參數進行去相關，有效地提高了LAMBDA算法的效率；文獻[15]將自然升序法、對稱旋轉法及擾動升序法并行計算，獲得了更好的降相關結果。

因此，針對LAMBDA算法降相關過程復雜耗時，排序法可以優(yōu)化降相關效率的問題，本文基于矩陣排序，對LAMBDA算法的去相關過程進行改進，提出一種Cholesky分解的并行算法即矩陣排序法（matrix ordering method，MOM），并結合仿真實驗及實測數據與LAMBDA方法進行對比分析。

1 雙差模糊度解算模型

1.1 模糊度最小二乘估計模型

對觀測方程式（1）中未知參數進行線性化，并將這些線性化方程集合成一個線性方程組，即

1.2 模糊度降相關

通常模糊度分量之間具有很高的相關性，導致搜索效率低，為了使求解過程更加高效，可以通過整數高斯變換（變換）將最小二乘問題式（4）轉化為新的最小二乘問題，其計算方法為

2 改進矩陣排序求解整周模糊度

在模糊度解算過程中，為了滿足不等式式（10）需要進行排列計算，由排列引起的計算量直接決定著整個模糊度解算過程的耗時，排列的數量越少模糊度解算越快。因此，本節(jié)通過對模糊度排列計算的分析研究提出一種Cholesky分解的并行算法，即MOM算法。

從而提高模糊度解算方法的效率。

其中

3 實驗驗證分析

解算精度與時間效率是對一個模糊度解算方法優(yōu)劣的直接判斷，因此本文采用仿真數據與實測數據對MOM算法與LAMBDA算法的解算精度與解算時間進行對比。

MOM算法解算整周模糊度流程圖如圖1所示。

圖1 MOM算法流程圖

3.1 仿真實驗分析

仿真實驗分為2種不同的情況。浮點解向量的構建，采用的函數為

情況2：=diag(200, 200, 200, 0.1, 0.1,…, 0.1)。

從仿真結果可以看出，MOM算法的運行時間普遍優(yōu)于LAMBDA算法。在低維情況下，2種算法平均運行時間大致相同，但是當維數增大時MOM算法的運行時間相較于LAMBDA算法會越來越短。需要說明的是，在仿真實驗中，LAMBDA算法與MOM算法都針對于相同的整數最小二乘問題給出相同的計算解決方法。因此，對于仿真實驗所針對的問題，2種算法在準確性方面沒有差異。

圖2 情況1平均運行時間

圖3 情況2平均運行時間

3.2 實測實驗分析

實測實驗采用一組和芯星通UB4B0-MINI板卡采集的靜態(tài)觀測數據?；€長89.83 m，采樣間隔1 s，截取了1000個歷元進行對解算時間和解算結果進行實驗分析?；贛icrosoft Visual Studio 2019利用C語言進行了程序設計，所使用的數據為標準接收機自主交換格式（receiver independent exchange format, RINEX）數據，其中包括星歷數據和觀測數據。

圖4展示了一個歷元2種方法求解的12維固定解與浮點解對比，特別地，為了便于展示結果小數點前只保留了一位。LAMBDA算法與MOM算法解算模糊度時間如圖5所示。表1展示了2種算法解算的最小值、最大值、平均數、標準方差和極差，時間單位為μs。

圖5 解算時間曲線

表1 解算時間結果 單位：μs

通過圖4浮點解與LAMBDA固定解和MOM固定解的結果對比，可以看出MOM算法與LAMBDA算法所解算出的模糊度固定解結果基本一致。因此，MOM算法保證了模糊度固定解的精度，可以滿足高精度定位要求。圖5清晰直觀地表明了MOM算法的有效性。表1的各項數值更驗證了MOM算法在解算時間上的優(yōu)勢，其中標準方差為固定解隨機變量與其平均值之間的偏離程度，極差代表固定解最大值與最小值之間的差距。從表1中可以看出：相較于LAMBDA算法，MOM算法將模糊度的平均解算時間從43690 μs降低到了40970 μs，標準方差從4590 μs降低到了3323 μs，極差從22350 μs降低到了16420 μs。結合圖5和表1分析可以得到：MOM算法解算時間相比于LAMBDA算法短且穩(wěn)定性更好。

綜上所述，本文提出的MOM算法可以在保證模糊度固定解精度不變的情況下降低模糊度固定解的解算時間。通過仿真與實測數據實驗進一步驗證了該結論。

4 結束語

本文分析了GNSS載波相位雙差模糊度解算模型，針對模糊度去相關過程，引入矩陣排序法，提出一種基于Cholesky分解的MOM并行算法，并進行了仿真分析與實測數據實驗驗證。仿真與實測實驗結果表明：MOM算法求解模糊度在精度上與LAMBDA算法一致，但其搜索時間效率與穩(wěn)定性高于LAMBDA算法。

如何對矩陣排序法改進以提高模糊度搜索效率、提升搜索準確性是今后需要進一步研究的問題。

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A method of ambiguity resolution based on matrix ordering

TIAN Chendong1, LI Kezhao1,2

（1. School of Surveying and Land Information Engineering, Henan Polytechnic University, Jiaozuo, Henan 454000, China;2. Collaborative Innovation Center of BDS Research Application, Zhengzhou 450052,China）

In view of the fact that the Least-square Ambiguity Decorrelation Adjustment (LAMBDA) algorithm, which should be the most widely used method to determine the ambiguity, involves a lot of matrix operations in its decorrelation processing and prolongs the decorrelation time, this paper proposes a Matrix Ordering Method (MOM), which can improve the efficiency of decorrelation. Compared with the LAMBDA algorithm, simulation experiments and actual measurement results show that the average solution time of MOM algorithm is reduced from 43690 μs to 40970 μs while the accuracy of LAMBDA algorithm remains unchanged.

ambiguity resolution; global navigation satellite system; matrix ordering; least-square ambiguity decorrelation adjustment algorithm; decorrelation algorithm

P228

A

2095-4999(2021)06-0065-06

田晨冬，李克昭. 一種矩陣排序改進的模糊度解算方法[J]. 導航定位學報, 2021, 9(6): 65-70.（TIAN Chendong, LI Kezhao. A method of ambiguity resolution based on matrix ordering[J]. Journal of Navigation and Positioning, 2021, 9(6): 65-70.）

10.16547/j.cnki.10-1096.20210610.

2021-01-20

國家自然科學基金項目（41774039）；國家重點實驗室項目（6142210200104）。

田晨冬（1998—），男，河南商丘人，碩士研究生，研究方向為衛(wèi)星導航與定位技術。

李克昭（1977—），男，甘肅靖遠人，博士，教授，研究方向為衛(wèi)星定位/視覺導航的理論。