秦仙蓉，龍世讓，丁 旭，張曉輝，孫遠(yuǎn)韜，張 氫

（同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804）

塔式起重機(jī)（簡(jiǎn)稱塔機(jī)）是國(guó)家現(xiàn)代化發(fā)展和城鎮(zhèn)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)中非常重要的機(jī)械設(shè)備。作為各類高層建筑和大型建設(shè)工程必不可少的施工設(shè)備，從1950年到2018年為止，國(guó)家塔機(jī)擁有總量從幾十臺(tái)飛速發(fā)展到234.79萬臺(tái)，各種塔機(jī)年產(chǎn)量接近1萬臺(tái)，生產(chǎn)規(guī)格多達(dá)18種，起重量最大突破400t，極大促進(jìn)了國(guó)家的發(fā)展［1］；但是，在使用過程中塔機(jī)也造成了很大的安全事故，據(jù)統(tǒng)計(jì)，在2012至2018年間塔機(jī)事故發(fā)生總數(shù)為565起，死亡人數(shù)達(dá)799人，占建筑、機(jī)械等行業(yè)事故總量的6%～20%［2］?？紤]到塔機(jī)發(fā)生破壞對(duì)施工人員所產(chǎn)生的影響，從而對(duì)其安全性也提出了更高要求。但由于在役塔機(jī)因?yàn)槭艿捷d荷作用、施工安裝差異、環(huán)境侵蝕等因素的影響，其結(jié)構(gòu)性能也與初始設(shè)計(jì)不完全一致，兩者的共同作用使得根據(jù)塔機(jī)有限元模型預(yù)測(cè)的結(jié)構(gòu)特性與實(shí)測(cè)結(jié)果之間不可避免地出現(xiàn)模型參數(shù)誤差，降低有限元分析結(jié)果的可信度，從而必須以實(shí)測(cè)響應(yīng)為基礎(chǔ)對(duì)其進(jìn)行修正優(yōu)化，獲取與實(shí)測(cè)結(jié)構(gòu)相符的有限元模型，方可為塔機(jī)的健康分析提供參考［3］。因此必須對(duì)塔機(jī)進(jìn)行有限元模型修正，得到準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)參數(shù)，才能進(jìn)一步由更新的結(jié)構(gòu)參數(shù)得到精準(zhǔn)描述其靜動(dòng)力學(xué)特性的有限元模型，據(jù)此進(jìn)行進(jìn)一步的分析與監(jiān)測(cè)塔機(jī)力學(xué)特性，確保塔機(jī)工作在安全狀態(tài)。

目前，有限元模型修正主要有2類：矩陣型修正法和設(shè)計(jì)參數(shù)型修正法。在各種有限元模型修正方法中，響應(yīng)面方法［4］通過建立特征量與設(shè)計(jì)參數(shù)間的響應(yīng)面模型，避免了每次迭代時(shí)的有限元重分析，降低了計(jì)算量，因此，秦仙蓉等［5-7］將響應(yīng)面法應(yīng)用于有限元的模型修正之中。但響應(yīng)面法仍需進(jìn)行多次迭代，修正效率較低。為此，張偉杰等［8］受逆系統(tǒng)方法啟發(fā)提出了逆響應(yīng)面法，通過對(duì)調(diào)傳統(tǒng)響應(yīng)面模型的自變量和因變量，直接將實(shí)測(cè)響應(yīng)數(shù)據(jù)代入響應(yīng)面模型獲取最優(yōu)值，省略迭代優(yōu)化步驟，極大提高修正效率，張掙鑫等［9］將其應(yīng)用于橋梁的模型修正中，驗(yàn)證了這一方法的可行性。但是，逆響應(yīng)面模型僅適用于確定性模型修正，為了解決含不確定性參數(shù)的問題，駱勇鵬等［10］引入了模態(tài)區(qū)間分析方法，擴(kuò)大了逆響應(yīng)面法的適用范圍。但是，區(qū)間逆響應(yīng)面法同樣存在3個(gè)缺陷：首先，區(qū)間逆響應(yīng)面模型基于二次多項(xiàng)式構(gòu)造，適用于簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)，若研究對(duì)象較復(fù)雜（如本文塔機(jī)），則建立的區(qū)間逆響應(yīng)面模型無法根據(jù)頻率預(yù)測(cè)參數(shù)的真實(shí)值；其次，在響應(yīng)面模型構(gòu)造時(shí)，由于不確定性問題的復(fù)雜性，參數(shù)的真實(shí)區(qū)間很可能在參數(shù)抽樣空間之外，根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)初定的參數(shù)值得到的區(qū)間逆響應(yīng)面模型就無法預(yù)測(cè)出參數(shù)的真實(shí)區(qū)間；最后，在區(qū)間逆響應(yīng)面模型構(gòu)造過程中，還需對(duì)所建立的模型進(jìn)行強(qiáng)制最優(yōu)理論變換，操作繁瑣。

基于此，本文提出改進(jìn)區(qū)間逆響應(yīng)面模型修正方法，保證對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)仍能夠進(jìn)行高精度、高效率的有限元模型修正，以得到更為精確的有限元模型，并以塔機(jī)作為實(shí)際算例驗(yàn)證本文提出方法的有效性。

1 改進(jìn)區(qū)間逆響應(yīng)面法

基于二次多項(xiàng)式的傳統(tǒng)逆響應(yīng)面數(shù)學(xué)模型如式（1）：

式中：xk為第k個(gè)輸出變量（本文為待修正設(shè)計(jì)參數(shù)）；s為輸出變量的個(gè)數(shù)；yi為第i個(gè)輸入的結(jié)構(gòu)特性（本文為模態(tài)頻率）；r為模態(tài)階數(shù)；ξ0、ξi、ξii、ξij為函數(shù)的各個(gè)待定系數(shù)。

但上述模型僅適用于簡(jiǎn)單模型，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)而言，為了使所建立的區(qū)間逆響應(yīng)面模型精度更高，常采用更多抽樣次數(shù)，保證參數(shù)樣本在約束區(qū)間內(nèi)分布更為均勻。但也因此導(dǎo)致樣本數(shù)量過大，為解決這一問題，本文采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代替二次多項(xiàng)式作為區(qū)間逆響應(yīng)模型的擬合函數(shù)。其獨(dú)特優(yōu)勢(shì)在于結(jié)合了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和RBF核函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，可以使用大樣本數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行訓(xùn)練，同時(shí)還具有很強(qiáng)的非線性擬合能力，可映射任意復(fù)雜的非線性關(guān)系，這是二次多項(xiàng)式所不具備的。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逆響應(yīng)面表達(dá)見式（2）：

式中：y為結(jié)構(gòu)頻率輸入；c l、σl分別為第l個(gè)神經(jīng)元的中心和寬度；h為隱含層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)；Φ（||y-c l||，σl）為徑向基函數(shù)；w lk為第l個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)到第k個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)的連接權(quán)值。

針對(duì)區(qū)間逆響應(yīng)模型的樣本點(diǎn)可能在真實(shí)區(qū)間之外的情況，本文在構(gòu)造區(qū)間逆響應(yīng)面模型前，先依據(jù)頻率空間中心對(duì)塔機(jī)進(jìn)行一次確定性模型修正工作，并根據(jù)所得到的修正參數(shù)值進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)建立區(qū)間逆響應(yīng)面模型，確定性模型修正的目標(biāo)函數(shù)如式（3）所示：

式中：為有限元模型第m階固有頻率；為實(shí)測(cè)頻率空間中心的第m階頻率；、x_分別為設(shè)計(jì)變量變化范圍的上、下限。

本文模型修正主要分2步進(jìn)行：①根據(jù)實(shí)測(cè)頻率空間中點(diǎn)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，對(duì)塔機(jī)參數(shù)進(jìn)行確定性模型修正，得到修正后的參數(shù)值；②根據(jù)修正后的參數(shù)值在參數(shù)約束區(qū)間內(nèi)抽樣構(gòu)造區(qū)間逆響應(yīng)模型，代入實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，得到參數(shù)的預(yù)測(cè)值和預(yù)測(cè)區(qū)間，并判斷預(yù)測(cè)區(qū)間是否在抽樣區(qū)間之內(nèi)。其具體修正流程如圖1所示。

圖1 基于改進(jìn)區(qū)間逆響應(yīng)面法的塔機(jī)不確定性模型修正流程Fig.1 Flowchart of finite element model updating of tower crane with uncertain parameters based on improved interval inverse response surface method

由于區(qū)間逆響應(yīng)面模型的輸出為設(shè)計(jì)參數(shù)，故其精度檢驗(yàn)方法與傳統(tǒng)的響應(yīng)面模型有很大差別，本文采用平均相對(duì)誤差對(duì)其預(yù)測(cè)精度進(jìn)行檢驗(yàn)，如式（4）所示：

式中：n為試驗(yàn)中設(shè)計(jì)變量的分組數(shù)（樣本數(shù)）；x p*為區(qū)間逆響應(yīng)面模型預(yù)測(cè)值；xp為區(qū)間逆響應(yīng)面試驗(yàn)設(shè)計(jì)參數(shù)。

2 方法驗(yàn)證：三自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)

選用三自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)［11］對(duì)所提出的區(qū)間修正方法進(jìn)行驗(yàn)證。圖2所示是一個(gè)三自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，為了驗(yàn)證本文所提出的區(qū)間修正方法在復(fù)雜情況下的修正效果，本算例討論的不確定性參數(shù)為剛度系數(shù)和質(zhì)量系數(shù)。

圖2 三自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)Fig.2 Three degree of freedom spring mass system

系統(tǒng)中各確定性參數(shù)取值參考如下：

彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)修正優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)、不確定性參數(shù)及其取值區(qū)間為

以此來模擬剛度系數(shù)和質(zhì)量系數(shù)聯(lián)合修正的情形。在參數(shù)區(qū)間范圍內(nèi)使用拉丁超立方抽樣方法構(gòu)造30組樣本，作為數(shù)值算例的“實(shí)測(cè)”結(jié)果，并基于響應(yīng)空間中心構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)對(duì)初始有限元模型進(jìn)行第一次確定性模型修正，目標(biāo)函數(shù)和剛度質(zhì)量系數(shù)的收斂曲線分別如圖3所示?？梢钥闯?，在前4次迭代時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的下降速度較快，此時(shí)各系數(shù)變化較為明顯，經(jīng)過大約13次迭代后，3個(gè)系數(shù)變化趨于穩(wěn)定，問題近于收斂。

圖3 彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)及各系數(shù)收斂曲線Fig.3 Objective function of spring mass system and convergence curve of each coefficient

將參數(shù)的修正值作為區(qū)間逆響應(yīng)面模型的抽樣空間中心，在上下攝動(dòng)50%范圍內(nèi)進(jìn)行抽樣，抽取100組樣本構(gòu)建區(qū)間逆響應(yīng)面模型，之后采用該樣本數(shù)據(jù)和重抽樣的20組數(shù)據(jù)對(duì)該區(qū)間逆響應(yīng)面模型的預(yù)測(cè)精度進(jìn)行檢驗(yàn)，從表1的結(jié)果可看出所構(gòu)造的區(qū)間逆響應(yīng)面模型的參數(shù)預(yù)測(cè)精度較高。

表1 彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)區(qū)間逆響應(yīng)面模型精度檢驗(yàn)Tab.1 Accuracy test of interval inverse response surface model for spring mass system

基于構(gòu)建的區(qū)間逆響應(yīng)面模型和系統(tǒng)“實(shí)測(cè)”頻率數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到修正區(qū)間如表2所示?？芍?dāng)聯(lián)合質(zhì)量和剛度參數(shù)修正后，僅有k4的上下界存在較小的誤差，其余參數(shù)的上下界誤差均接近零，這說明針對(duì)聯(lián)合修正問題，本文所提出的修正策略是可行的，并且區(qū)間修正精度較高。

表2 三自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)修正前后變量區(qū)間誤差對(duì)比Tab.2 Comparison of variable interval errors before and after updating of 3-DoF spring mass system

將參數(shù)修正前后的頻率空間進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖4所示?？芍盒拚箢l率空間與真實(shí)頻率空間較為貼合，且實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)基本都落在修正空間內(nèi)部，也落在初始空間內(nèi)部，這說明基于區(qū)間逆響應(yīng)面法進(jìn)行不確定性有限元模型修正是可行的；同時(shí)還可看出，在進(jìn)行剛度和質(zhì)量參數(shù)聯(lián)合修正時(shí)，響應(yīng)空間的非線性特征較強(qiáng)。

圖4 彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)修正前后頻率空間對(duì)比Fig.4 Frequency space comparison of spring mass system before and after updating

3 某型實(shí)際塔機(jī)的不確定性有限元模型修正

數(shù)值算例的修正結(jié)果表明基于區(qū)間逆響應(yīng)面法對(duì)含不確定性參數(shù)的有限元模型進(jìn)行修正是可行的，且該方法結(jié)合了響應(yīng)面模型，相比迭代優(yōu)化方法具有更高的計(jì)算精度和效率，因此能夠應(yīng)用在復(fù)雜機(jī)械結(jié)構(gòu)塔機(jī)的模型修正中。

某型塔機(jī)結(jié)構(gòu)如圖5所示。根據(jù)其設(shè)計(jì)圖紙建的對(duì)應(yīng)有限元模型，其中塔身、塔基、起重臂、平衡臂及塔帽等結(jié)構(gòu)采用考慮剪切效應(yīng)的三維梁?jiǎn)卧狟eam188，起重臂和平衡臂的拉桿采用桿單元LINK10，塔機(jī)的工作機(jī)構(gòu)、電氣設(shè)備、梯子欄桿、配重等附屬構(gòu)件以集中質(zhì)量單元MASS21建立在相應(yīng)位置，根據(jù)塔機(jī)實(shí)際情況，將標(biāo)準(zhǔn)節(jié)與標(biāo)準(zhǔn)節(jié)之間、加強(qiáng)節(jié)與加強(qiáng)節(jié)之間采用固結(jié)處理，起重臂各節(jié)臂之間、拉桿與塔頂之間、兩臂與回轉(zhuǎn)塔身之間采用鉸接連接，塔基邊界條件設(shè)置見文獻(xiàn)［6］。最終整個(gè)模型包含5 502個(gè)單元，11 052個(gè)節(jié)點(diǎn)，共66 320個(gè)自由度。

圖5 某型塔機(jī)及其主要部件Fig.5 Components of a tower crane

對(duì)塔機(jī)進(jìn)行模態(tài)分析后，其前5階模態(tài)分別為：起重臂在回轉(zhuǎn)平面內(nèi)的一階彎曲、起重臂在起升平面內(nèi)的一階彎曲、塔身在回轉(zhuǎn)平面內(nèi)的一階彎曲、塔身在起升平面內(nèi)的一階彎曲以及起重臂在回轉(zhuǎn)平面內(nèi)的二階彎曲。

結(jié)合塔機(jī)前5階模態(tài)以及Sobol全局靈敏度分析，選擇表3所示6個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)作為某型實(shí)際塔機(jī)不確定性修正變量，其目標(biāo)函數(shù)為

在塔機(jī)區(qū)間逆響應(yīng)面模型構(gòu)造時(shí)，不確定性參數(shù)的抽樣范圍和樣本點(diǎn)數(shù)量均需根據(jù)實(shí)測(cè)頻率數(shù)據(jù)不斷進(jìn)行調(diào)整，以確保修正后參數(shù)區(qū)間在抽樣范圍內(nèi)，最終得到的修正變量的抽樣區(qū)間如表3所示。表中x1為塔身標(biāo)準(zhǔn)節(jié)主肢長(zhǎng)度，x2為上塔身水平腹桿長(zhǎng)度，x3為塔身水平腹桿長(zhǎng)度，x4為塔身主肢截面寬度，x5為塔身主肢截面厚度，x6為彈性模量。

表3 塔機(jī)結(jié)構(gòu)的不確定性修正變量和抽樣區(qū)間Tab.3 Uncertainty correction variable and sampling interval of tower crane structure

為保證所建立的區(qū)間逆響應(yīng)模型的精度，在修正變量的抽樣區(qū)間內(nèi)采用拉丁超立方抽樣法抽取400組數(shù)據(jù)構(gòu)造區(qū)間逆響應(yīng)面模型，分別使用原始樣本點(diǎn)和20組重抽樣樣本點(diǎn)對(duì)逆響應(yīng)面模型進(jìn)行精度校驗(yàn)，其精度較高，參數(shù)的平均預(yù)測(cè)誤差較小。將塔機(jī)振動(dòng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)代入到區(qū)間逆響應(yīng)面模型中進(jìn)行參數(shù)預(yù)測(cè)，得到的參數(shù)區(qū)間修正結(jié)果如表4所示，可看出：經(jīng)過改進(jìn)區(qū)間逆響應(yīng)面法修正后，各參數(shù)的區(qū)間范圍均有明顯的縮小，且修正后的參數(shù)區(qū)間均在初始區(qū)間范圍內(nèi)，這也說明修正結(jié)果是合理的。

表4 塔機(jī)修正后不確定性參數(shù)的區(qū)間范圍Tab.4 Interval range of tower crane uncertainty parameters after updating

同前述算例一樣對(duì)塔機(jī)修正前后頻率空間進(jìn)行對(duì)比，得到塔機(jī)模態(tài)頻率空間的投影云圖，各階次如圖6所示。分析可知：在頻率空間內(nèi)，各階頻率響應(yīng)并不呈均勻分布，這是由于塔機(jī)結(jié)構(gòu)過于復(fù)雜導(dǎo)致。通過本文的方法修正后，頻率修正區(qū)間相較頻率初始空間有了明顯的減小，且實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)均落在頻率修正區(qū)間內(nèi)，這說明該方法可有效對(duì)塔機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行不確定性修正。同時(shí)也可看出實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布過于集中而非均勻分布在預(yù)測(cè)區(qū)間內(nèi)，這是由于塔機(jī)實(shí)測(cè)頻率的不確定性程度較小導(dǎo)致。

圖6 塔機(jī)修正前后頻率空間對(duì)比Fig.6 Frequency space comparison of tower crane before and after updating

4 結(jié)語

提出了一種基于改進(jìn)區(qū)間逆響應(yīng)面法的有限元模型修正方法，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為區(qū)間逆響應(yīng)模型的擬合函數(shù)，并以數(shù)值算例對(duì)該方法的可行性進(jìn)行了驗(yàn)證，最后結(jié)合塔機(jī)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)獲得了更好的修正結(jié)果，得到的結(jié)論如下：

（1）區(qū)間逆響應(yīng)面法可有效解決由于參數(shù)不確定性而引起頻率不確定性的問題，從算例及塔機(jī)修正結(jié)果可知區(qū)間參數(shù)的修正精度較高，并且該方法應(yīng)用簡(jiǎn)便。

（2）RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)面模型構(gòu)造簡(jiǎn)單、適用性較強(qiáng)，非常適合大樣本數(shù)和多特征問題，且其在構(gòu)造區(qū)間逆響應(yīng)面模型中具有很高的精度，相比于多項(xiàng)式響應(yīng)面模型更加適合本文對(duì)象塔機(jī)的研究。從塔機(jī)的實(shí)際修正結(jié)果來看，其修正結(jié)果也更加精確。

作者貢獻(xiàn)聲明：

秦仙蓉：項(xiàng)目的構(gòu)思者及負(fù)責(zé)人，指導(dǎo)項(xiàng)目思路、數(shù)據(jù)分析、論文寫作與修改。

龍世讓：模型建立和仿真研究的執(zhí)行人，完成數(shù)據(jù)分析、論文初稿的寫作。

丁 旭：參與建模和試驗(yàn)結(jié)果分析。

張曉輝：參與建模和試驗(yàn)結(jié)果分析。

孫遠(yuǎn)韜：指導(dǎo)項(xiàng)目思路、論文寫作與修改。

張 氫：指導(dǎo)項(xiàng)目思路、論文寫作與修改。