李燕 王朝航 高帥斌

0 引言

隨機(jī)延遲微分方程在眾多領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用.當(dāng)隨機(jī)微分方程不僅依賴于過去和現(xiàn)在的狀態(tài)，也依賴于包含延遲導(dǎo)數(shù)和方程本身的時候，稱這類方程為中立型隨機(jī)延遲微分方程，對這類方程的研究更加具有現(xiàn)實(shí)意義[1].隨機(jī)微分方程的解析解在很多情況下是無法被計算出來的，因此可以用數(shù)值解來逼近解析解，比如Euler-Maruyama (EM) 方法.當(dāng)漂移項(xiàng)系數(shù)和擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)均超線性增長時，文獻(xiàn)[2]給出了帶有常延遲的隨機(jī)微分方程的θ-EM方法，如果θ=0，則截斷型θ-EM算法退化為截斷型EM算法.文獻(xiàn)[3]給出了截斷型EM算法及其收斂率;文獻(xiàn)[4]得到了隨機(jī)延遲微分方程的EM算法的收斂性;文獻(xiàn)[5]分析了中立型隨機(jī)微分方程的局部截斷型EM算法和θ算法.在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上，本文給出了中立型隨機(jī)延遲微分方程的截斷型θ-EM算法及其數(shù)值解的收斂率.最后，通過一個簡單的例子說明了算法的有效性.

1 相關(guān)知識

在本文中，考慮非線性中立型隨機(jī)延遲微分方程：

d[x(t)-D(x(t-τ))]=f(x(t),x(t-τ))dt+

g(x(t),x(t-τ))dB(t),

(1)

其初值

(2)

其中f:Rn×Rn→Rn,g:Rn×Rn→Rn×m,D:Rn→Rn都是連續(xù)且Borel可測的函數(shù).對初值和中立項(xiàng)施加以下假設(shè)：

(A1)存在常數(shù)K1>0和γ∈(0,1]，使得：

|ξ(t)-ξ(s)|≤K1|t-s|γ, ?-τ≤s,t≤0.

(3)

(A2)D(0)=0和D(·)滿足壓縮映射條件，即存在一個常數(shù)K2∈(0,1)，使得：

|D(x)-D(y)|≤K2|x-y|, ?x,y∈Rn.

(4)

下面開始定義中立型隨機(jī)延遲微分方程(1)的截斷型θ-EM方法.首先，選取一個嚴(yán)格單調(diào)遞減的函數(shù)φ:(0,1]→(0,∞)，使得：

(5)

其中，Kφ(Δ)是依賴于φ(Δ)的函數(shù).例如，對于某個ε∈(0,1/8]，令φ(Δ)=Δ-ε和Kφ(Δ)=φ(Δ).對于給定的步長Δ∈(0,1]，定義截斷映射：

(6)

其中，若x=0，設(shè)x/|x|=0.定義截斷的漂移項(xiàng)系數(shù)和擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)：

fΔ(x,y)=f(πΔ(x),πΔ(y)),

gΔ(x,y)=g(πΔ(x),πΔ(y)).

(7)

XΔ(tk+1)=XΔ(tk)+D(XΔ(tk+1-M))-

D(XΔ(tk-M))+θfΔ(XΔ(tk+1),XΔ(tk+1-M))Δ+

(1-θ)fΔ(XΔ(tk),XΔ(tk-M))Δ+

gΔ(XΔ(tk),XΔ(tk-M))ΔBk,

(8)

其中k=0,1,…,M′-1,ΔBk=B(tk+1)-B(tk).定義：

(9)

另一種連續(xù)時間的數(shù)值格式定義為

θfΔ(xΔ(t),xΔ(t-τ))Δ-θfΔ(ξ(0),ξ(-τ))Δ+

(10)

(11)

2 主要結(jié)論

為了得到(1)的截斷型θ-EM算法的強(qiáng)收斂率，需要對漂移項(xiàng)系數(shù)和擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)施加以下假設(shè):

(12)

在(A4)之前,引入函數(shù)Vi,i=1,2,3.假設(shè)存在KVi>0和βi≥1，使得對任意的x,y∈Rn,有：

(13)

令β=max{βi},i=1,2,3.

(14)

(A5)存在常數(shù)K4>0和p>q，使得對任意的x,y∈Rn，有：

K4(1+|x|2)+|V2(y,0)||y|2.

(15)

下面的引理證明了(1)解析解的有界性.

引理1假設(shè)(A2)—(A5)成立.具有初值條件(2)的中立型隨機(jī)延遲微分方程(1)在t∈[-τ,T]上存在唯一解x(t)，且：

(A6)存在常數(shù)K5>0和p>q，使得對任意的x,y∈Rn，有：

K5(1+|x|2)+|V3(y,0)||y|2.

(16)

注1當(dāng)D(·)=0,由 (A5)可知對任意的x,y∈Rn，有：

采用文獻(xiàn)[2]中引理2.3的方法，可以得到下面的引理.

由引理2可得:

|fΔ(x,y)|∨|gΔ(x,y)|≤

2Kφ(Δ)(|x|+|y|)+(|f(0,0)|+|g(0,0)|).

(17)

(18)

引理3假設(shè)(A3)成立.對任意的Δ∈(0,Δ*)和t∈[0,T]，有：

證明由(10)和(11)可得：

(19)

CΔp-1

證畢.

引理4假設(shè)(A2),(A3)和(A6)成立.可得：

證明由It公式和 (19) 可得：

|yΔ(0)-D(ξ(-τ))|p≤

(20)

由假設(shè)(A2)，(A6)和H?lder不等式，可得：

H1≤

C

C

C

C

C

(21)

H2≤C

C

由引理2，引理3，Young不等式和(5)，可得：

同理可得：

因此，

(22)

把(21)和(22)插入(20)可以得到：

所以，

另外，由引理2和不等式|a-b|p≥21-p|a|p-|b|p可得：

|yΔ(t)|p≥21-p|xΔ(t)|p-

θpΔp|fΔ(xΔ(t),xΔ(t-τ))|p≥21-p|xΔ(t)|p-

2p-1θpΔp(|f(0,0)|+|g(0,0)|)=

2p-1θpΔp(|f(0,0)|+|g(0,0)|).

已知Δ<1/(16θ4/3)，所以有：

由Gronwall不等式可得：

(23)

由ξ的定義和(23)可得：

再由H?lder不等式可得：

重復(fù)此過程可以得到所需結(jié)論，證畢.

利用條件期望的性質(zhì)和類似引理4的方法可以得到下面的引理.

引理5假設(shè)(A2)，(A3)和(A6)成立.對任意的Δ∈(0,Δ*)和t∈[0,T]，有：

因此，

此外，由引理1，引理4和Chebyshev不等式可以得到下面的引理.

引理6假設(shè)(A2)—(A6)成立.對任意的R≥‖ξ‖，定義停時：

τR=inf{t≥0:|x(t)|≥R}，

τΔ,R=inf{t≥0:|xΔ(t)|≥R}.

引理7假設(shè)(A1)—(A6)成立.令Δ∈(0,Δ*)充分小使得φ(Δ)≥R∨‖ξ‖成立.可得：

其中ρΔ,R∶=τR∧τΔ,R.

因此，對于0≤s≤t∧ρ，有：

J1+J2+J3.

由(A4)， Young不等式，H?lder不等式，引理4和引理5可得：

|x(s-τ)-xΔ(s-τ)|qds)≤

由引理2，引理5和Young不等式可得：

J2≤C(|eΔ(s)|qds+

C(|eΔ(s)|qds+

同理可得：

J3≤C(|eΔ(s)|qds+

將這些結(jié)果結(jié)合到一起可得：

由Gronwall不等式可得：

注意到對任意的t∈[0,T]，有：

3q-1|eΔ(t∧ρ)|q+

3q-1|θfΔ(xΔ(t∧ρ),xΔ(t∧ρ-τ))Δ|q+

3q-1

由Gronwall不等式可得：

由|x(s-τ)-xΔ(s-τ)|=0,0≤s≤τ可得：

由H?lder不等式可得：

重復(fù)此過程可以得到所需結(jié)論.證畢.

定理1假設(shè)(A1)—(A6) 成立.對任意充分小的Δ∈(0,Δ*)，設(shè)：

(24)

(25)

(26)

證明設(shè)δ>0是任意的實(shí)數(shù).對任意的a,b>0，由Young不等式可得：

因此，由引理1，引理4和引理6可得：

由條件(24)得到：

由引理7可得：

此外，由引理5和式(25)可以得到式(26).證畢.

3 實(shí)例

考慮一維的非線性中立型隨機(jī)延遲微分方程：

[-4x5(t-τ)-20x(t)+2x(t-τ)]dt+

當(dāng)q=2時，由定理1可得：

這個例子說明了此算法的有效性，即本文的結(jié)論覆蓋了一類非線性中立型隨機(jī)延遲微分方程.