左凰 戴喜生 鄧飛其

0 引言

系統(tǒng)的穩(wěn)定性是控制科學(xué)中的一個(gè)非常重要的研究課題.通常人們關(guān)注系統(tǒng)在無窮時(shí)間區(qū)間上的行為，如漸近穩(wěn)定[1]、指數(shù)穩(wěn)定[2]等，系統(tǒng)狀態(tài)在運(yùn)行足夠長(zhǎng)的時(shí)間后會(huì)恢復(fù)到平衡態(tài).但對(duì)于實(shí)際應(yīng)用而言，具有Lyapunov穩(wěn)定的系統(tǒng)在有限的時(shí)間區(qū)間內(nèi)很可能存在不良的瞬態(tài)性能，因此有限時(shí)間穩(wěn)定性分析對(duì)系統(tǒng)在給定時(shí)間區(qū)間內(nèi)的暫態(tài)性能的表現(xiàn)有重要意義.Dorato[3]于1961年首次提出了短時(shí)間穩(wěn)定的概念，這是有限時(shí)間穩(wěn)定概念的雛形.隨后吸引了大量學(xué)者對(duì)系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性進(jìn)行研究[4-6].2010年，Amato等[7]延續(xù)了傳統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定概念，針對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng)提出了新的概念即輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定，指的是滿足零初值條件的系統(tǒng)運(yùn)行在給定時(shí)間區(qū)間上，給定一類有界的輸入信號(hào)，系統(tǒng)的輸出在該時(shí)間區(qū)間內(nèi)始終不會(huì)超出給定的界.由于輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定的系統(tǒng)具有良好的抗干擾性[8]和魯棒性[9]，因此在提出后受到了極大的關(guān)注.輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定也因此推廣到更廣泛的系統(tǒng)中，如分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)[10]、切換系統(tǒng)[11]、脈沖系統(tǒng)[12]等.

隨機(jī)分布參數(shù)系統(tǒng)是一類由隨機(jī)偏微分方程描述的無窮維隨機(jī)系統(tǒng)，如大氣海洋動(dòng)力學(xué)模型[13]、生物種群模型[14]、神經(jīng)動(dòng)力學(xué)模型[15]等.文獻(xiàn)[16]利用Lyapunov-Krasovskii函數(shù)方法對(duì)具有時(shí)變時(shí)滯的隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間穩(wěn)定問題進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[17]對(duì)隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定問題做了研究，包括分別設(shè)計(jì)分布式控制器和邊界控制器對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行有限時(shí)間鎮(zhèn)定、H∞和魯棒有限時(shí)間控制.

受到環(huán)境等因素的影響，單一模型并不能很好地刻畫真實(shí)運(yùn)行的系統(tǒng)，目前考慮的辦法就是建立由有限數(shù)量的子系統(tǒng)和相應(yīng)的切換規(guī)則構(gòu)成的切換系統(tǒng)，如網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)[18]、DC/DC逆變器[19]、飛行控制系統(tǒng)[20]等.對(duì)于切換分布參數(shù)系統(tǒng)，文獻(xiàn)[21]將有限時(shí)間有界和有限時(shí)間控制問題擴(kuò)展到切換分布參數(shù)系統(tǒng)中，并設(shè)計(jì)基于事件觸發(fā)序列的輸出反饋控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)有限時(shí)間有界；文獻(xiàn)[22]對(duì)一類不確定的隨機(jī)分布參數(shù)切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，利用Lyapunov函數(shù)方法、隨機(jī)分析理論中的無窮維伊藤公式、指數(shù)鞅不等式等工具，分別得到了系統(tǒng)均方穩(wěn)定、均方指數(shù)穩(wěn)定以及幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的充分條件；文獻(xiàn)[23]研究了帶馬爾可夫跳變的隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定問題，并以線性矩陣不等式形式給出了邊界控制器存在的充分條件.然而，關(guān)于隨機(jī)分布參數(shù)切換系統(tǒng)輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定的問題還少有研究，綜合以上分析，激發(fā)本文對(duì)此進(jìn)行研究.

在本文中，Rn表示n維實(shí)向量構(gòu)成的集合，Rn×m表示全體n×m維實(shí)矩陣構(gòu)成的集合.Iq表示q維單位矩陣.C2,1(Rn×R+;R+)表示實(shí)值函數(shù)f(z,t):Rn×R+→R+構(gòu)成的函數(shù)空間，且f關(guān)于z二階連續(xù)可微，關(guān)于t一階連續(xù)可微.W1,2([a,b),Rn)表示絕對(duì)連續(xù)的n維實(shí)值向量函數(shù)φ(·,η):[a,b)→Rn構(gòu)成的函數(shù)空間，且φ關(guān)于η一階可微，滿足?φ(·,η)/?η平方可積.對(duì)實(shí)矩陣或?qū)嵪蛄喀?，ΠT表示其轉(zhuǎn)置，trace(Π)表示矩陣Π的跡，Π>0(Π<0)意味著該矩陣正定(負(fù)定)，記號(hào)“*”表示矩陣的對(duì)稱元素.對(duì)隨機(jī)變量ζ，其數(shù)學(xué)期望表示為Εζ.

1 問題表述

考慮如下隨機(jī)分布參數(shù)切換系統(tǒng)：

(1)

滿足的初邊值條件如下：

x(0,η)=0, ?η∈(0,l),

(2)

x(t,0)=x(t,l)=0,

(3)

(4)

根據(jù)文獻(xiàn)[24]可知系統(tǒng)(1)運(yùn)行在t∈[0,t1)上時(shí)，即如下方程

假設(shè)1對(duì)給定的時(shí)間T>0，切換函數(shù)σ(t)在有限時(shí)間區(qū)間[0,T)上的切換次數(shù)僅為有限次.

定義1[25]對(duì)切換函數(shù)σ(t)和時(shí)刻t,s滿足0≤t≤s，令Nσ(t)(t,s)表示σ(t)在時(shí)間區(qū)間[t,s)上的切換次數(shù)，若存在非負(fù)常數(shù)N0和正常數(shù)τa滿足如下關(guān)系：

則稱N0為抖振界，τa為平均駐留時(shí)間(ADT).為簡(jiǎn)單起見，取N0=0.

考慮如下隨機(jī)系統(tǒng)：

dz(t)=f(·,t)dt+g(·,t)dw(t),t∈R+.

這里

定義3[27]在零初值條件下，給定m維正定矩陣R和正標(biāo)量c,T,δ，若對(duì)任意滿足條件(4)的擾動(dòng)輸入v(t,η)，都有

對(duì)?t∈[0,T)成立，則稱系統(tǒng)(1)在均方意義下關(guān)于(c,T,R,σ(t))輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定.

對(duì)如下切換隨機(jī)分布參數(shù)控制系統(tǒng)：

(5)

這里(t,η)∈R+×(0,1)，u(t,η)∈Rr是控制輸入.系統(tǒng)(5)同樣滿足初值條件(2)和邊值條件(3).

選取狀態(tài)反饋控制器為

u(t,η)=Kσ(t)x(t,η),

(6)

這里Kσ(t)∈Rr×n是狀態(tài)反饋增益矩陣.

把控制器的表達(dá)式(6)代入系統(tǒng)(5)可得閉環(huán)系統(tǒng)

(7)

式中Acσ(t)=Aσ(t)+Bσ(t)Kσ(t).

引理1[28]設(shè)β(η)∈W1,2([a,b),Rn)，滿足β(a)或β(b)=0，Q∈Rn×n且Q>0，則以下不等式成立：

引理2[29]對(duì)常數(shù)M≥0，p和q，若定義在[0,T)上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)g(t)和h(t)滿足

則有

2 主要結(jié)論

首先給出系統(tǒng)(1)輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件，然后針對(duì)控制系統(tǒng)(5)設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器(6)，使得閉環(huán)系統(tǒng)(7)輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定.

(8)

(9)

0

(10)

(11)

Pi<λPj,

(12)

對(duì)任意切換函數(shù)σ(t)，其平均駐留時(shí)間若滿足如下不等式：

(13)

則系統(tǒng)(1)在均方意義下關(guān)于(c,T,R,σ(t))輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定.

證明構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii函數(shù)：

(14)

由分部積分公式和邊界條件(3)可得

(15)

注意到x(t,l)=0，那么對(duì)式(15)應(yīng)用引理1，有

(16)

將不等式(16)代入到式(14)可得

(17)

于是有

(18)

對(duì)式(8)應(yīng)用Schur’s補(bǔ)引理可得Θi<0.將Θi<0代入式(18)并兩邊取期望有

(19)

由無窮維伊藤公式知

(20)

對(duì)式(20)兩邊取期望后，把式(10)和式(19)代入有

(21)

對(duì)式(21)應(yīng)用引理2可得

(22)

對(duì)?t∈[tk,tk+1)成立.

(23)

那么，結(jié)合定義1并把初值條件(2)代入到式(23)可得

(24)

根據(jù)系統(tǒng)(1)的輸出方程有

對(duì)式(9)應(yīng)用引理3并結(jié)合式(24)可得

(25)

最后，把式(13)代入到式(25)可推得

(26)

證明完畢.

(27)

(28)

0

(29)

(30)

Si<λSj.

(31)

對(duì)任意切換函數(shù)σ(t)，其平均駐留時(shí)間若滿足如下不等式

(32)

則在狀態(tài)反饋控制律(6)下，系統(tǒng)(5)在均方意義下關(guān)于(c,T,R,σ(t))輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定.

(33)

證明完畢.

3 仿真算例

本節(jié)通過兩個(gè)數(shù)值仿真例子來分別驗(yàn)證定理1和定理2結(jié)論的有效性.

3.1 輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定

考慮具有兩個(gè)模態(tài)的系統(tǒng)(1)，其相應(yīng)的系數(shù)矩陣和擾動(dòng)輸入為

給定參數(shù)c=2.6,T=2,δ=25.2,λ=1.001,R=I,同時(shí)取ρ1=8.8,ρ2=0.89,α=0.007 1.通過解定理1中的線性矩陣不等式得可行解如下：

再由式(13)可解得

圖1 系統(tǒng)的切換函數(shù)σ1(t)Fig.1 Switching function σ1(t) of system

圖2 輸出軌跡y1(t,η)Fig.2 Output trajectory y1(t,η)

圖3 輸出軌跡y2(t,η)Fig.3 Output trajectory y2(t,η)

3.2 輸入輸出有限時(shí)間鎮(zhèn)定

考慮算例1中開環(huán)系統(tǒng)(1)所對(duì)應(yīng)的控制系統(tǒng)(5)，其相應(yīng)的輸入矩陣為

給定參數(shù)c=0.4,T=2,δ=25.2,λ=1.05,R=I,同時(shí)取ρ1=10.1,ρ2=0.09,α=0.058 1.通過解定理2中的線性矩陣不等式得可行解如下：

于是可選取狀態(tài)反饋增益矩陣

圖5 系統(tǒng)的切換函數(shù)σ2(t)Fig.5 Switching function σ2(t) of system

圖6 閉環(huán)系統(tǒng)輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定Fig.6 Input-output finite-time stability of closed-loop system

圖7 開環(huán)系統(tǒng)輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定Fig.7 Input-output finite-time stability of open-loop system

4 結(jié)束語

本文將輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定概念引入到了隨機(jī)分布參數(shù)切換系統(tǒng)中，并對(duì)隨機(jī)分布參數(shù)切換系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)定性進(jìn)行了分析.考慮到該系統(tǒng)沿著時(shí)間不斷切換，通過選擇Lyapunov-Krasovskii函數(shù)并利用平均駐留時(shí)間方法得到了系統(tǒng)輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件，并設(shè)計(jì)了一個(gè)狀態(tài)反饋控制器來保證閉環(huán)系統(tǒng)輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定.此外，解得了控制器的增益Kσ(t).仿真結(jié)果表明了該結(jié)果的有效性.本文系統(tǒng)的有限時(shí)間輸入輸出鎮(zhèn)定問題是基于控制器切換與子系統(tǒng)切換同步的情形即同步切換，此后可以延伸到實(shí)際問題中常出現(xiàn)的控制器切換存在滯后的異步切換，這對(duì)系統(tǒng)輸入輸出有限時(shí)間的鎮(zhèn)定問題提出了挑戰(zhàn)，需要進(jìn)一步討論異步控制器的設(shè)計(jì)問題.