楊子晗 邢雙云 曹康敏

0 引言

廣義系統(tǒng),又稱為奇異系統(tǒng)、隱式系統(tǒng)等,能夠客觀地表示系統(tǒng)的諸多性能,如今已經(jīng)廣泛應(yīng)用在物理和工程系統(tǒng)之中,例如：化工控制系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)等[1-4]．眾所周知,時滯現(xiàn)象的發(fā)生往往會造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定或振蕩,進(jìn)而增加系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的難度,因此,越來越多的學(xué)者致力于研究時滯廣義系統(tǒng)的穩(wěn)定性與相關(guān)控制問題．文獻(xiàn)[5]研究了狀態(tài)時滯不確定的連續(xù)廣義系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定與鎮(zhèn)定問題;文獻(xiàn)[6]研究了帶有時變時滯廣義系統(tǒng)的隨機(jī)容許性問題;文獻(xiàn)[7]研究了具有時變時滯的隨機(jī)廣義系統(tǒng)的H∞控制問題．除此之外,實(shí)際系統(tǒng)還可能遭受內(nèi)部結(jié)構(gòu)的突變或者外界環(huán)境的變化[8]．因而,關(guān)于具有Markov跳變參數(shù)的廣義系統(tǒng)的研究逐漸引起了眾多學(xué)者的關(guān)注,并取得了許多豐富的研究成果．文獻(xiàn)[9]針對廣義Markov跳變系統(tǒng)的隨機(jī)鎮(zhèn)定問題,提出了一種新的控制器保證系統(tǒng)的鎮(zhèn)定性;文獻(xiàn)[10]研究了廣義Markov跳變時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與鎮(zhèn)定問題,運(yùn)用LMI技術(shù)給出狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件,保證控制器的正則性、無脈沖性和隨機(jī)穩(wěn)定性;文獻(xiàn)[11]采用記憶狀態(tài)反饋控制器處理了具有時滯和輸入飽和的廣義Markov跳變系統(tǒng)的時滯相關(guān)H∞魯棒指數(shù)穩(wěn)定性和記憶狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定問題;文獻(xiàn)[12]在已知或部分已知轉(zhuǎn)移概率的情況下討論了時變時滯離散廣義Markov跳變系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定和鎮(zhèn)定問題．通常,在實(shí)際系統(tǒng)中,轉(zhuǎn)移概率一般不可能以已知的情況出現(xiàn)．因此,文獻(xiàn)[13]采用時滯劃分技術(shù),對具有時變時滯和時變轉(zhuǎn)移概率的離散廣義Markov跳變系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)穩(wěn)定性分析;文獻(xiàn)[14]研究了一類具有時變時滯的離散廣義Markov跳變系統(tǒng)的濾波器問題,并給出期望濾波器的顯式表達(dá)式;文獻(xiàn)[15]針對時變時滯多面體不確定離散廣義Markov跳變系統(tǒng),利用Lyapunov泛函理論和凸多面體技術(shù),給出了廣義模型誤差增廣系統(tǒng)隨機(jī)可容許的條件．

為了更加有效地節(jié)省計(jì)算和通信資源,對于系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制研究也愈來愈多．在含有事件觸發(fā)機(jī)制的系統(tǒng)中,控制任務(wù)不是周期性地執(zhí)行,而是在滿足某些觸發(fā)條件時才能執(zhí)行[16]．另一方面,帶有事件觸發(fā)機(jī)制的系統(tǒng)能夠更好地避免在有限時間內(nèi)滿足無限次的觸發(fā)條件致使無限次執(zhí)行,即Zeno現(xiàn)象．文獻(xiàn)[17]針對具有隨機(jī)擾動和狀態(tài)時滯的隨機(jī)廣義系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制問題,得到了均方意義下隨機(jī)可容許的充分條件;文獻(xiàn)[18]針對具有冗余信道的廣義Markov跳變系統(tǒng)的異步H∞濾波問題,采用事件觸發(fā)機(jī)制和冗余信道方法,提出了相應(yīng)濾波誤差系統(tǒng)滿足正則、無脈沖、隨機(jī)穩(wěn)定并且具有一定H∞性能的判定定理,有效地節(jié)省了帶寬有限的網(wǎng)絡(luò)資源．

本文主要研究時變時滯隨機(jī)廣義Markov跳變系統(tǒng)在靜態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制下的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)問題,通過構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函,利用Jensen不等式以及自由權(quán)矩陣技術(shù),設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器并對本文所研究的系統(tǒng)進(jìn)行了鎮(zhèn)定性分析,最后給出一個數(shù)值仿真算例驗(yàn)證了本文所提方法的有效性．

1 預(yù)備知識和問題描述

給定概率空間(Ω,F,P)上的時變時滯隨機(jī)廣義Markov跳變系統(tǒng):

Edx(t)=[A(rt)x(t)+Ad(rt)x(t-τ(t))+

B(rt)u(t)]dt+J(rt)x(t)dω(t),

y(t)=Cx(t),t∈[-τ,0],

(1)

Edx(t)=[Aix(t)+Adix(t-τ(t))+Biu(t)]dt+

Jix(t)dω(t),

y(t)=Cx(t),t∈[-τ,0].

(2)

取采樣誤差:

e(t)=x(tk)-x(t),t∈[tk,tk+1),

(3)

靜態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制定義為

eT(t)Φ1e(t)<σ2xT(t)Φ2x(t),

其中,σ為正常數(shù),Φ1和Φ2分別為不同的自由權(quán)矩陣.設(shè)計(jì)如下狀態(tài)反饋控制器:

u(t)=Kx(tk),tk≤t

(4)

其中,K為狀態(tài)反饋增益矩陣．將式(3)、(4)代入式(2),可推出如下閉環(huán)系統(tǒng):

Edx(t)=[(Ai+Aki)x(t)+Adix(t-τ(t))+

Akie(t)]dt+Jix(t)dω(t),

y(t)=Cx(t),t∈[-τ,0],

(5)

其中,Aki=BiK．

為證明系統(tǒng)(5)在均方意義下隨機(jī)容許性,給出相關(guān)定義、假設(shè)和引理．

定義1[4]

(a) 如果det(sE-A)不為零,則系統(tǒng)(5)是正則的,其中,s∈C;

(b) 如果deg(det(sE-A))=rank(E),則系統(tǒng)(5)是無脈沖的;

定義2[4]如果系統(tǒng)(5)是正則、無脈沖且均方意義下隨機(jī)穩(wěn)定的,則稱系統(tǒng)(5)在均方意義下隨機(jī)容許．

注1在上述假設(shè)下,擴(kuò)散項(xiàng)不影響系統(tǒng)結(jié)構(gòu)．需要注意的是,如果矩陣對(E,A)滿足正則、無脈沖的性質(zhì),它就可以保證系統(tǒng)(5)無脈沖解的存在唯一性．

假設(shè)2存在可逆矩陣Ui和V滿足下式:

其中,k∈R(n-r)×(n-r)．

引理1(Jensen不等式)[7]對于一個給定的正定對稱矩陣Z∈Rn×n,標(biāo)量0

引理2[16]對于線性隨機(jī)廣義系統(tǒng):

Edx(t)=Ax(t)dt+Jx(t)dω(t),

令V(x(t))=xT(t)ETXEx(t)時,其中X是可逆矩陣,對V(x(t))求隨機(jī)導(dǎo)數(shù):

其中,

JT(E+)TETXEE+J)x(t)．

(6)

作如下輔助向量函數(shù)η(t):

η(t)=(Ai+Aki)x(t)+Adix(t-τ(t))+Akie(t)．

(7)

將式(7)代入式(5)可得:

Edx(t)=η(t)dt+Jx(t)dω(t)．

(8)

對式(8)的左右兩端在[t-τ(t),t]內(nèi)進(jìn)行積分,可得:

(9)

2 主要內(nèi)容

本節(jié)通過構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函,利用Jensen不等式以及自由權(quán)矩陣技術(shù),給出系統(tǒng)(5)在均方意義下的隨機(jī)容許條件,進(jìn)而,設(shè)計(jì)出相應(yīng)的狀態(tài)反饋控制器．

定理1給定參數(shù)τ,0≤σ<1,若存在非奇異矩陣Pi,對稱正定矩陣Q1,Q2,Φ2和對稱矩陣M,M1,M2,S1,S2,S3,S4,R使得線性矩陣不等式(10)成立,并且滿足ETR=0,則系統(tǒng)(5)在均方意義下隨機(jī)容許：

(10)

其中:

Λ1=(Ai+Aki)TPiE+ETPi(Ai+Aki)+

ET(M+MT)E+σ2Φ2,

ET(M+MT)E+ETPiAdi，

證明首先,證明系統(tǒng)(5)在u(t)=0的情況下無脈沖.由假設(shè)(1)可知,矩陣對(E,A)是正則的．根據(jù)條件(10),可推出Λ1<0,進(jìn)而

(11)

對式(11)兩邊左乘VT,右乘V,應(yīng)用假設(shè)2,可得:

(12)

接下來,證明系統(tǒng)(5)在均方意義下是隨機(jī)穩(wěn)定的.

構(gòu)造如下Lyapunov-Krasovskii泛函:

V(x(t))=V1(x(t))+V2(x(t))+V3(x(t)),

V1(x(t))=xT(t)ETPiEx(t),

(13)

對式(13),應(yīng)用引理2,求V(x(t))的隨機(jī)導(dǎo)數(shù),可得:

(14)

其中：

2[(Ai+Aki)x(t)+Adix(t-τ(t))+

xT(t)ETPiAdix(t-τ(t))+

(15)

xT(t-τ(t))Q1x(t-τ(t))-

xT(t-τ)Q2x(t-τ),

(16)

(17)

對式(17),應(yīng)用引理1,可推得:

(18)

由式(7)和式(9),存在矩陣M,M1,M2,S1,S2,S3,S4,使得如下等式成立:

(19)

0=2[(Ai+Aki)x(t)+Adix(t-τ(t))+

(20)

根據(jù)式(14)、(19)和(20),可推出:

2[xT(t)ETM+xT(t-τ(t))ETM1-

其中：

2[(Ai+Aki)x(t)+Adix(t-τ(t))+

ξT(t)Γξ(t),

(21)

(22)

根據(jù)條件(10),可以推出:

λmax(Γ)‖ξ(t)‖2≤λmax(Γ)‖x(t)‖2.

證畢．

接下來設(shè)計(jì)具體的狀態(tài)反饋控制器．

(23)

其中：

證明不失一般性,令矩陣S1=S2=S4=0,作如下的合同變換:

(24)

將式(24)代入式(23),可得:

(25)

其中：

對式(25)進(jìn)行Schur補(bǔ)變換,即可得:

(26)

(27)

其中：

對式(27)應(yīng)用Schur補(bǔ)引理,則(27)式等價(jià)于:

(28)

3 仿真算例

為更好地驗(yàn)證所提方法的有效性,本文列舉一個數(shù)值例子．

考慮系統(tǒng)模型(1),所取參數(shù)如下:

不失一般性,Markov跳變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率給定為

令τ=0.2,σ=0.2,根據(jù)定理2,可求得系統(tǒng)(5)的狀態(tài)反饋增益矩陣為

仿真結(jié)果表明,在靜態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制條件下,系統(tǒng)(1)通過設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器(4)在均方意義下是隨機(jī)穩(wěn)定的．圖1和圖2分別描述了兩種不同模態(tài)下的狀態(tài)響應(yīng)軌跡．圖3描述了系統(tǒng)的事件觸發(fā)間隔．

圖1 靜態(tài)事件觸發(fā)下的狀態(tài)反饋過程(模態(tài)1)Fig.1 State feedback process by static event-triggered control (Modal 1)

圖2 靜態(tài)事件觸發(fā)下的狀態(tài)反饋過程(模態(tài)2)Fig.2 State feedback process by static event-triggered control (Modal 2)

圖3 靜態(tài)事件觸發(fā)下的采樣間隔Fig.3 Sampling interval under static event-triggered control

4 結(jié)束語

本文采用Lyapunov-Krasovskii泛函,Jensen不等式以及自由加權(quán)矩陣技術(shù)得到了系統(tǒng)(5)在靜態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制均方意義下隨機(jī)容許的充分條件,并通過引入一種狀態(tài)反饋控制器,確保閉環(huán)系統(tǒng)依然能夠具有正則、無脈沖以及均方意義下的隨機(jī)容許,最后利用一個數(shù)值仿真算例驗(yàn)證了本文所提出的方法具有可行性．