羅 萍, 宋奇慶, 張偉莉

(1.桂林理工大學 理學院, 廣西 桂林 541006; 2.山西師范大學 數(shù)學與計算機科學學院, 山西 臨汾 041000；3.東北財經(jīng)大學 管理科學與工程學院，遼寧 大連 116025)

0 引 言

古諾博弈模型由Cournot在1838年提出, 假設(shè)市場上有銷售同質(zhì)產(chǎn)品的寡頭, 寡頭以產(chǎn)量為策略進行博弈, 獲取利潤最大化。如今, 古諾博弈模型已成為博弈論的基本模型之一。古諾博弈還依賴于消費者行為、寡頭對需求的期望、寡頭的數(shù)量等, 因此, 古諾博弈得到了廣泛持續(xù)的關(guān)注, 并產(chǎn)生了豐富的研究成果。區(qū)別于靜態(tài)古諾模型[1-3], 還有動態(tài)古諾模型[4-5]等。不同于古諾博弈中寡頭同時采取行動, 斯塔克博格博弈中寡頭采取行動有先后順序, 近年來得到進一步推廣[6]。作為古諾博弈的深入推廣, 一般Nash平衡理論及應用得到了持續(xù)研究, 這對均衡的理解有進一步啟示[7-9]。

基于當前研究對價格歧視現(xiàn)象的關(guān)注, 還未見多廠商斯塔克博格博弈的價格歧視現(xiàn)象報道, 本文探討了價格歧視對多個對稱寡頭斯塔克博格競爭的影響, 得到了子博弈完美納什均衡與廠商數(shù)n和目標群體分類數(shù)K的關(guān)系，對比無價格歧視的情況, 進一步研究表明對有價格歧視的多廠商斯塔克博格博弈, 領(lǐng)頭廠商對商品的售賣價格關(guān)于群體數(shù)增加且邊際遞減, 領(lǐng)頭廠商的最優(yōu)產(chǎn)量與群體數(shù)n以及市場中的廠商數(shù)量n無關(guān), 而任一后動廠商的市場平均售價與K無關(guān)。

1 有價格歧視的n廠商斯塔克博格博弈與結(jié)果

定理1具有價格歧視的n廠商斯塔克博格博弈的唯一子博弈完美納什均衡為

和

證明：在邊際成本相等都為c的情況下, 對Qk利用對稱性, 有

(1)

為表達方便, 令α=a-c, 則廠商i的利潤可表示為

(2)

(3)

則

(4)

從而有關(guān)系式

(5)

再考慮第一階段, 先動廠商1需最大化其收益π1。由式(1)和式(2)知，

(6)

將式(5)代入式(6)為

將式(4)代入上式, 有

再由式(5)進一步可得

再整理, 結(jié)合式(4)有

進一步計算得

(7)

(8)

注意到由式(4)可得

(9)

將式(9)代入式(8)有

即

整理得

(10)

把式(10)關(guān)于k=1, 2, …,K累加, 有

則

(11)

由式(10)和(11)有

(12)

由式(4)、(12)得

再由式(5)、(11)、(12)可得

證畢。

由定理1可見, 在均衡點處, 領(lǐng)頭廠商1獲得最大利潤, 它只對價格最高的消費群體提供產(chǎn)品。相對于其他n-1個后動廠商, 廠商1的先動優(yōu)勢使得其能對相同的產(chǎn)品售出最高的價格。

對于無價格歧視的n廠商斯塔克博格博弈, 即當K=1時, 由定理1可以推得對應的均衡如下, 其也是文獻[22]中的式(8)和(9)。

推論1無價格歧視n廠商斯塔克博格博弈的唯一子博弈完美納什均衡為

q1=(a-c)/(2b),

和

qi=(a-c)/[4(n-1)b], ?i=2, 3, …,n。

定理2在有價格歧視的n廠商斯塔克博格博弈中, 均衡點處先動廠商1對商品的單一售價p1為群體數(shù)K的增函數(shù)且與廠商數(shù)n無關(guān), 任一后動廠商i的市場平均售價piav與K和n無關(guān)。

證明:由定理1可知,n個廠商對前k個群體的總銷量為

則逆需求價格函數(shù)pk為

因此, 領(lǐng)頭廠商1唯一的售價為

可以看出p1為K的增函數(shù), 并且與n無關(guān)。

后動廠商i(i=2, 3, …,n)銷售產(chǎn)品的平均價格piav為

可見,piav與K、n無關(guān)。證畢。

2 結(jié)果分析與有無價格歧視的比較

當市場無價格歧視時, 由推論1可知: 領(lǐng)頭廠商1的最佳產(chǎn)量決策為

q1=(a-c)/(2b)，

后動廠商i的最佳產(chǎn)量決策為

qi=(a-c)/[4(n-1)b],

因而有逆需求價格函數(shù)

p=a-b(q1+(n-1)qi)=(a+3c)/4。

即該市場總平均價格為

pav=(a+3c)/4。

可以發(fā)現(xiàn):pav與有價格歧視時后動廠商的平均售價piav一致, 見定理2。

廠商1獲得的對應利潤為

π1=(a-c)2/(8b),

廠商i所獲利潤為

πi=(a-c)2/[16b(n-1)], ?i=2, 3, …,n。

當n=1時, 市場不存在斯塔克博格競爭; 可以看出,n≥2時,π1>πi, ?i=2, 3, …,n, 即市場上領(lǐng)頭廠商1的利潤始終大于后動廠商利潤, 領(lǐng)頭廠商1的利潤是后動n-1個廠商利潤之和的2倍。在無價格歧視的斯塔克博格競爭中, 可以得出: 當競爭廠商數(shù)目n不斷增大時, 領(lǐng)頭廠商始終具有先動優(yōu)勢, 獲得信息多的后動廠商并沒有獲得更多的利潤。

當市場存在價格歧視時, 由定理1知, 領(lǐng)頭廠商1對產(chǎn)品的銷售價格為

后動廠商i銷售產(chǎn)品的平均價格piav為

piav=(a+3c)/4, ?i=2, 3, …,n,

故而, 市場的總平均價格pav為

領(lǐng)頭廠商1的最優(yōu)利潤為

后動廠商i的最優(yōu)利潤為

在有價格歧視的情況下, 隨著群體數(shù)K的不斷增大, 領(lǐng)頭廠商1售賣的價格p1不斷增大, 而后動廠商i的市場平均價格piav不變; 領(lǐng)頭廠商的利潤Π1也隨著群體數(shù)K的不斷增大而增大, 而且Π1與廠商數(shù)n無關(guān), 即廠商1的利潤不會隨廠商數(shù)目的增多而變少, 后動競爭廠商的利潤隨著廠商數(shù)目n的增多而被攤薄, 但當廠商數(shù)n固定時, 后動廠商的利潤也會隨群體數(shù)K的不斷增大而增大。當n≥2時,Π1>Πi, 即先動廠商的利潤大于后動廠商的利潤, 先動廠商利潤是后動n-1個廠商利潤之和的2倍。

因此, 對于n廠商斯塔克博格競爭, 廠商1先采取策略, 其余n-1個廠商后采取策略, 比較無價格歧視與有價格歧視的情形, 有以下結(jié)論:

結(jié)論1無價格歧視時的市場總平均售價pav與有價格歧視時后動廠商的平均售價piav一致。

結(jié)論2市場引入價格歧視后, 所有廠商的利潤增加量隨著群體數(shù)K的不斷增大服從邊界遞減規(guī)律, 先動廠商1利潤Π1的上界為(a-c)2/4b; 后動廠商i的利潤Πi的上界為(a-c)2/[8(n-1)b]。

結(jié)論3無論市場有無價格歧視, 先動廠商的利潤是所有后動廠商利潤之和的2倍，且先動廠商的利潤與廠商數(shù)目n無關(guān)。

結(jié)論4采取價格歧視銷售策略時, 所有廠商的利潤大于無價格歧視時的利潤。

如圖1, 可以看出當有價格歧視時(a=1,b=1,c=0.2,n=3), 利潤隨著K的增大而增大, 逐漸趨于平穩(wěn), 對廠商而言, 考慮到群體數(shù)增加帶來的分類管理的成本的增加; 當K較小時, 價格歧視策略對廠商帶來的利潤改觀最為明顯; 增加群體分類數(shù)K, 利潤的凈增加效果服從邊際遞減規(guī)律;Πn總大于πn。

采取價格歧視銷售策略時, 先動廠商1銷售商品的價格大于后動廠商的價格, 而每一個后動廠商銷售商品的平均價格不受影響。如圖2所示, 當有價格歧視時(a=1,b=1,c=0.2,n=3), 后動廠商銷售商品的平均價格并未改變, 先動廠商1銷售商品的價格如圖1中的利潤一樣隨著K的增大而增大, 服從邊際遞減規(guī)律; 當K較小時, 價格歧視策略對先動廠商1銷售價格改變的影響最為明顯。

圖1 廠商利潤在有無價格歧視時的對比

圖2 商品在有歧視時先后動廠商的平均價格對比