宮凱勛雷 程?董志超趙珠杰熊繼軍齊 蕾

(1.中北大學(xué)儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測(cè)試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原030051；2.北方自動(dòng)控制技術(shù)研究所，山西 太原030051)

在MEMS器件的設(shè)計(jì)加工中，通常具有周期長(zhǎng)、費(fèi)用高等特點(diǎn)，可靠的仿真計(jì)算在器件的設(shè)計(jì)中十分重要[1]。硅壓阻式壓力傳感器因其靈敏度高、精度高、體積小、動(dòng)態(tài)頻響高等優(yōu)點(diǎn)一直作為MEMS壓力傳感器領(lǐng)域的熱門應(yīng)用與研究對(duì)象[2]。壓阻式壓力傳感器敏感膜上的力學(xué)敏感器件受壓后阻值的變化決定著傳感器的輸出[3－5]，而阻值的變化與應(yīng)力有關(guān)。普遍的對(duì)于仿真計(jì)算得到的壓敏電阻上應(yīng)力的處理是取其中心一點(diǎn)的應(yīng)力值進(jìn)行估算或者通過定義路徑計(jì)算路徑上壓敏電阻的應(yīng)力積分，再除以壓敏電阻的長(zhǎng)度求得壓敏電阻所在位置的平均應(yīng)力。

上述算法都有其局限性，忽視了壓敏電阻整體的應(yīng)力分布不均勻的性質(zhì)。在對(duì)壓阻式壓力傳感器的仿真設(shè)計(jì)中通常將承壓膜看作薄板結(jié)構(gòu)[6]，施加垂直于板面的應(yīng)力時(shí)，其應(yīng)力的分布均以中面為對(duì)稱面，且在中面處降至最低。壓力傳感器特別是微壓傳感器因其膜厚與壓敏電阻的高度比值較小，不可忽視壓敏電阻延高度方向上應(yīng)力的變化。為解決上述問題，本文采用基于最小二乘法的多項(xiàng)式擬合方法對(duì)壓敏電阻橫截面方向上的應(yīng)力進(jìn)行函數(shù)擬合，求得在固定z軸數(shù)值的平均應(yīng)力，通過對(duì)不同z軸坐標(biāo)下壓敏電阻平均應(yīng)力的計(jì)算，擬合出z軸對(duì)應(yīng)力的函數(shù)關(guān)系，再計(jì)算壓敏電阻的整體平均應(yīng)力，為壓阻式壓力傳感器提供更科學(xué)的設(shè)計(jì)計(jì)算方法。

1 算法原理

1.1 彈性薄板理論

壓阻式壓力傳感器上敏感膜作為彈性感壓部件，一般情況下，敏感膜在理論分析時(shí)被看作是在厚板與薄膜之間的薄板結(jié)構(gòu)。根據(jù)彈性力學(xué)理論，其在分析時(shí)滿足小撓度理論的模型，彈性薄板小撓度理論的基本假設(shè):板彎曲時(shí)，板中面內(nèi)各點(diǎn)只存在垂直方向上的位移沒有平行中面方向上的位移；彎曲變形前垂直于薄板中面的直線，變形后仍垂直于彈性曲面且長(zhǎng)度不變；薄板各層的纖維在變形前后均互不擠壓[7]。

基于這些假設(shè)，對(duì)于薄板問題的求解最重要的是對(duì)于薄板撓曲函數(shù)ω(x，y)的求解，圖一所示為在方形薄板施加面載荷。

在薄板上建立直角坐標(biāo)系，其撓度變化可表示為:

式中:D為彎曲剛度，可用式(2)表示；p為薄板所受的壓力載荷。

式中:E為材料的彈性模量；v為泊松比；t為薄板厚度。

薄板的邊界條件為x＝0，x＝a，y＝0，y＝a，即:

代入式(1)可解得薄板的撓度為:

薄板上任一點(diǎn)(x，y)延x方向應(yīng)力δx與延y方向的應(yīng)力δy為:

由式(5)可知，主要的應(yīng)力分量延z軸線性分布，故可先對(duì)(x，y)坐標(biāo)與應(yīng)力值擬合，再對(duì)不同Z坐標(biāo)下的平均應(yīng)力值做擬合積分得到更為準(zhǔn)確的仿真壓敏電阻平均應(yīng)力計(jì)算值。

1.2 最小二乘法擬合

數(shù)據(jù)擬合的目的是利用最小二乘方法，將基于模型函數(shù)所計(jì)算出的數(shù)值與觀測(cè)量之間的殘差平方和最小化[8－11]。

以本文采用的三元二次多項(xiàng)式方程擬合為例，對(duì)于方程:

有N組具有相同精度的數(shù)據(jù)(xi，yi)，其中i＝1，…，N；xi，yi都是精確的，對(duì)與之相對(duì)應(yīng)的zi值進(jìn)行預(yù)測(cè)。用最小二乘法估計(jì)參數(shù)時(shí)，要求觀測(cè)值z(mì)i的偏差加權(quán)平方和最小。用泛函誤差δ表示:

a0，a1，a2，a3，a4，a5的值影響著δ的大小，求取δ的最小值，即對(duì)a0，a1，a2，a3，a4，a5分別進(jìn)行求偏導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為一個(gè)泛函求極值問題。

2 有限元仿真

COMSOL Multiphysics是一款功能強(qiáng)大的多物理場(chǎng)仿真軟件，用于仿真模擬工程、制造和科研等各個(gè)領(lǐng)域的設(shè)計(jì)、設(shè)備及過程。其界面簡(jiǎn)潔，模型建立簡(jiǎn)單且仿真計(jì)算后的數(shù)據(jù)導(dǎo)入與導(dǎo)出都極為便捷。本文采用comsol軟件對(duì)壓敏電阻應(yīng)力值進(jìn)行仿真計(jì)算。

2.1 建模與網(wǎng)格劃分

壓阻式壓力傳感器的敏感膜一般為方型膜與圓型膜，方形薄板的最大應(yīng)力比圓形薄板的最大應(yīng)力大，有利于獲得更高靈敏度的壓力傳感器，所設(shè)計(jì)的微壓傳感器采用方形膜作為感壓膜面。

在comosl軟件中，一般的通過布爾操作對(duì)幾何體進(jìn)行結(jié)構(gòu)建模的方法對(duì)于計(jì)算后網(wǎng)格數(shù)據(jù)提取與處理較為困難。為解決這一問題，采用各結(jié)構(gòu)獨(dú)立建模，最后通過構(gòu)成聯(lián)合體的方式形成完整的器件結(jié)構(gòu)，為網(wǎng)格劃分與數(shù)據(jù)的后處理提供了便利。

敏感膜模型尺寸設(shè)計(jì)為460μm×460μm×7μm，壓敏電阻尺寸為65μm×13μm×1.5μm。壓敏電阻位置在膜邊緣10μm處。單晶硅材料屬性包括楊氏模量170 GPa、泊松比0.3、密度為2 329 kg/m3。傳感器采用惠斯通半橋結(jié)構(gòu)，建模時(shí)對(duì)垂直方向與平行方向的一個(gè)壓敏電阻進(jìn)行網(wǎng)格加密剖分。

各部分單獨(dú)建模的好處是在劃分網(wǎng)格的過程中可較好地控制局部網(wǎng)格的密度，網(wǎng)格劃分采用用戶控制網(wǎng)格，將壓敏電阻網(wǎng)格延Z軸方向劃分10層，X、Y軸方向自由剖分，得到延Z軸分層結(jié)構(gòu)的四面體網(wǎng)格，結(jié)構(gòu)剩余部分采用自由四面體網(wǎng)格自適應(yīng)劃分，圖2為網(wǎng)格刨分結(jié)果圖。應(yīng)力從敏感膜面到與支撐體相連邊界處后迅速衰減，將實(shí)際模型簡(jiǎn)化為下圖結(jié)構(gòu)以減少不必要的計(jì)算。邊界條件:敏感膜上表面施加40 kPa的壓力，結(jié)構(gòu)底部采用固定約束方式。

圖2 網(wǎng)格刨分圖

2.2 有限元分析結(jié)果

從圖3可以看出，垂直膜面位置壓敏電阻應(yīng)力分布結(jié)果與彈性力學(xué)分析結(jié)果一致，應(yīng)力延中面對(duì)稱分布，且中面位置應(yīng)力降到最低。在距離膜面1.5μm位置上的壓敏電阻應(yīng)力下降為膜表面處應(yīng)力的一半，應(yīng)力延z軸方向上的變化已不能忽略。

圖3 沿膜厚方向von Mises應(yīng)力分布

從圖4垂直膜邊壓敏電阻表面應(yīng)力等值線圖可以得出，壓敏電阻表面不同位置應(yīng)力大小也不同，故在壓力傳感器設(shè)計(jì)中必須對(duì)壓敏電阻整體結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布進(jìn)行考慮。

圖4 壓敏電阻縱向應(yīng)力橫向應(yīng)力差值分布圖

3 多項(xiàng)式數(shù)據(jù)擬合處理

常用到的數(shù)據(jù)擬合主要有線性回歸擬合與多項(xiàng)式擬合，線性回歸擬合要求自變量與因變量之間具有線性關(guān)系，多項(xiàng)式擬合較線性回歸擬合總體上更為靈活，可以模擬一些相當(dāng)復(fù)雜的關(guān)系[12]。在數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，多項(xiàng)式擬合方法可以提供很好的擬合效果，但在數(shù)據(jù)范圍外可能會(huì)大范圍發(fā)散。壓敏電阻不存在對(duì)數(shù)據(jù)范圍以外進(jìn)行預(yù)測(cè)，其上各點(diǎn)位置的應(yīng)力值都可以通過仿真計(jì)算得到，使用MATLAB軟件通過基于最小二乘法的多項(xiàng)式擬合方式來對(duì)壓敏電阻平均應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算。

在COMSOL軟件的后處理部分，通過域選擇導(dǎo)出壓敏電阻部分的計(jì)算數(shù)據(jù)集，并對(duì)不同Z坐標(biāo)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，將處理好的數(shù)據(jù)通過importdata函數(shù)導(dǎo)入到MATLAB中。

對(duì)垂直于膜邊壓敏電阻應(yīng)力進(jìn)行處理，在Z坐標(biāo)為0即壓敏電阻頂面位置時(shí)，圖5為采用二次多項(xiàng)式擬合方式得到的結(jié)果，其中離散點(diǎn)為COMSOL計(jì)算得到的原始數(shù)據(jù)，曲面為擬合得到的結(jié)果。

圖5 x，y坐標(biāo)值與應(yīng)力值擬合

擬合得到的多項(xiàng)式函數(shù)為:

擬合確定系數(shù)R-square:0.999 8，接近于1，表明該方程可以很好的對(duì)散點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行表達(dá)。

將原始數(shù)據(jù)坐標(biāo)代入到擬合得到的函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，通過MATLAB里plot3函數(shù)作圖與原始數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，從圖6來看，原始數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)在同一曲面上，可以忽略由離擬合得到的函數(shù)的計(jì)算值與仿真得到的數(shù)據(jù)誤差。

圖6 擬合計(jì)算值與仿真計(jì)算值對(duì)比

在MATLAB語言中，求符號(hào)函數(shù)的定積分是使用int函數(shù)，其調(diào)用格式如下:int(F，x，a，b)。a表示定積分的下限；b表示定積分的上限；使用int函數(shù)對(duì)表達(dá)式進(jìn)行積分，再除以電阻條截面積可得到固定z坐標(biāo)下壓敏電阻截面上的平均應(yīng)力，表1為計(jì)算結(jié)果。

表1 施加40 kPa壓力不同高度下壓敏電阻截面的平均應(yīng)力

Z軸坐標(biāo)與垂直膜邊壓敏電阻計(jì)算出對(duì)應(yīng)的平均應(yīng)力進(jìn)行擬合，圖7為擬合得出的曲線。

圖7 Z坐標(biāo)值與應(yīng)力值擬合

擬合得到的函數(shù)為:

擬合確定系數(shù)為R-square:1。

對(duì)擬合得到的函數(shù)積分可求得在壓力為40 kPa時(shí)，垂直膜邊壓敏電阻平均應(yīng)力值為12 261 kPa。重復(fù)上述計(jì)算，得到平行膜邊壓敏電阻平均應(yīng)力值為19 787 kPa。

4 傳感器輸出計(jì)算

基于上述方法，計(jì)算得到不同壓力載荷下各壓敏電阻的平均應(yīng)力值，表2為計(jì)算結(jié)果。

表2 不同壓力載荷下各壓敏電阻的平均應(yīng)力值 單位:kPa

對(duì)于采用半橋方式實(shí)現(xiàn)壓敏電阻內(nèi)部連接的壓力傳感器，其電壓輸出公式為:

圖8所示為在輸入電壓為3.3 V時(shí)靈敏度的仿真計(jì)算結(jié)果。

圖8 分層截面積分法壓力與輸出電壓曲線

擬合得到的函數(shù)為:

確定系數(shù)R-square:1

得到在電壓為3.3 V時(shí)，所設(shè)計(jì)傳感器靈敏度為0.4491 mv/KPa。

若采用中心點(diǎn)算法，提取電阻條表面中心點(diǎn)位置應(yīng)力值，在40 kPa下，σa＝25 543 kPa，σb＝14 671 kPa，根據(jù)式(14)計(jì)算得輸出電壓為22.5 mV，圖9中虛線為中心點(diǎn)法壓力與輸出電壓曲線，得到采用中心點(diǎn)法設(shè)計(jì)的傳感器靈敏度為0.562 8 mV/KPa。采用路徑積分法，提取電阻條表面中心線處應(yīng)力做積分，計(jì)算得到在40 kPa下，σa＝25 298 kPa，σb＝15 775 kPa，根據(jù)式(14)計(jì)算得輸出電壓為23.0 mV。為與中心點(diǎn)法計(jì)算輸出曲線區(qū)分，將其輸出曲線零點(diǎn)變?yōu)?0 mV，圖9中實(shí)線為路徑積分法壓力與輸出電壓曲線，得到采用路徑積分法設(shè)計(jì)的傳感器靈敏度為0.575 mV/KPa。

圖9 中心點(diǎn)法與路徑積分法壓力與輸出電壓曲線

5 芯片加工與測(cè)試

芯片選用頂層硅6.5μm、埋氧層厚度0.5μm、片厚300μm的SOI作為襯底；采用離子注入方式摻雜形成壓敏電阻；擴(kuò)散爐內(nèi)溫度1 000℃、時(shí)間20 min重?fù)诫s構(gòu)建歐姆接觸區(qū)；磁控濺射鈦、鉑、金并在溫度500℃、時(shí)間5 min高真空下退火形成歐姆接觸；通過刻蝕至SOI埋氧層來精準(zhǔn)控制敏感膜厚度，采用陽極鍵合工藝溫度380℃、壓力1 200 N、電壓800 V下實(shí)現(xiàn)硅－玻璃鍵合形成表壓參考腔。圖10所示為芯片正面結(jié)構(gòu)顯微鏡觀察。

圖1 方形板直角坐標(biāo)系

圖10 芯片正面結(jié)構(gòu)

壓力傳感器芯片封裝在特制的不銹鋼測(cè)試管座，安裝在常溫壓力測(cè)試平臺(tái)氣壓泵接口，使用高精度萬用表測(cè)量記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，圖11所示為實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果，靈敏度為0.455 2 mv/kPa，與設(shè)計(jì)計(jì)算結(jié)果偏差為1.34%，采用中心點(diǎn)法與路徑積分法的設(shè)計(jì)偏差分別為23.64%與26.32%。采用分層截面積分方法可極大提高仿真設(shè)計(jì)精度。

圖11 不同壓力下電壓輸出結(jié)果

6 總結(jié)

為減小壓阻式壓力傳感器特別是微壓傳感器設(shè)計(jì)結(jié)果與實(shí)際制作測(cè)試的誤差，本文提出一種分層截面積分的方法。通過對(duì)壓敏電阻與敏感膜面分別建模實(shí)現(xiàn)對(duì)局部網(wǎng)格的精確加密與局部數(shù)據(jù)的導(dǎo)出，基于最小二乘法的多項(xiàng)式擬合方法實(shí)現(xiàn)對(duì)壓敏電阻離散點(diǎn)應(yīng)力值的擬合計(jì)算，將傳統(tǒng)的中心點(diǎn)算法(零維)、路徑積分法(一維)提高到了分層截面積分(三維)的程度，提高了仿真計(jì)算結(jié)果的可信度，所設(shè)計(jì)的傳感器靈敏度與實(shí)際測(cè)得靈敏度偏差為1.34%。該方法為壓阻式壓力傳感器特別是微小壓力傳感器的靈敏度計(jì)算制作提供了更為可靠計(jì)算方式，在壓阻式壓力傳感器設(shè)計(jì)中具有現(xiàn)實(shí)意義。