段麗靜，謝景力，劉晗嫣

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首 416000)

1 問(wèn)題的提出

目前，眾多學(xué)者對(duì)Caputo和Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了研究[1-5]，發(fā)現(xiàn)有時(shí)Caputo和Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)無(wú)法準(zhǔn)確描述某些物理現(xiàn)象，因此引入一些新的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子來(lái)解決這一難題.特別地，Hilfer[6]給出了一種階為q(q∈(0,1))的p(p∈[0,1])型廣義分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，稱為Hilfe分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).這類(lèi)導(dǎo)數(shù)是在Caputo和Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)之間進(jìn)行插值，p=0時(shí)，是Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，p=1時(shí)，是Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù). 2019年，Saengthong等[7]研究了一類(lèi)Hilfer-Hadamard型分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題解的存在性和唯一性；2020年，Wongcharoen等[8]討論了一類(lèi)具Hilfer型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題解的存在性和唯一性.受這些文獻(xiàn)的啟發(fā)，筆者擬研究如下邊值問(wèn)題解的存在性和唯一性：

(1)

2 預(yù)備知識(shí)

定義1[9]函數(shù)f:[a,+∞)→R的q(q>0)階Hadamard型分?jǐn)?shù)階積分定義為

其中l(wèi)og(·)=loge(·).

定義2[9]函數(shù)f:[a,+∞)→R的q(q>0)階Hadamard型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中：n=[q]+1，[q]表示q的整數(shù)部分；log(·)=loge(·).

(2)

(3)

事實(shí)上，若p=0，則(3)式變?yōu)?2)式.

引理3[13](Leray-Schauder二擇一定理) 設(shè)X是賦范線性空間，A:X→X是一個(gè)全連續(xù)算子，記ε(A)={x∈X:x=λA(x),0≤λ≤1}，則集合ε(A)是無(wú)界的或A至少存在1個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

引理4[14](Banach不動(dòng)點(diǎn)定理) 設(shè)E是一個(gè)Banach空間，D?E是閉集，F(xiàn):D→D是一個(gè)壓縮映射，即對(duì)于?x,y∈D，有‖F(xiàn)x-Fy‖≤k‖x-y‖，其中k∈(0,1)，則F在D上有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

3 主要結(jié)果及其證明

定理1設(shè)y∈C([1,e],R)，則ψ∈C([1,e],R)是方程組

(4)

的解，當(dāng)且僅當(dāng)ψ滿足分?jǐn)?shù)階積分方程

(5)

由引理2可得

由定義3可得

即

(6)

其中c1，c2是任意常數(shù).通過(guò)邊值條件ψ(1)=0，可得c2=0，即

接著，通過(guò)邊值條件ψ(e)=aψ(ξ)，可得

將c1，c2代入(6)式，即得(5)式.相反地，對(duì)(5)式求導(dǎo)可得(4)式.證畢.

假設(shè)以下條件成立：

(H1)對(duì)于?t∈[1,e]，ψ∈R，存在實(shí)常數(shù)d1>0，d2≥0，使得|f(t,ψ(t))|≤d1+d2|ψ|.

(H2)M∶=(1-a(logξ)γ-1-3k)Γ(q+1)-3d2>0，a(logξ)γ-1∈[0,1).

(H3)對(duì)于?t∈[1,e]，ψ∈R，存在正常數(shù)L，使得|f(t,ψ1(t))-f(t,ψ2(t))|≤L|ψ1-ψ2|.

定理2假設(shè)條件(H1)，(H2)成立，則邊值問(wèn)題(1)在[1,e]上至少存在1個(gè)正解.

證明這里將利用引理3證明算子A存在不動(dòng)點(diǎn).首先，證明算子A是全連續(xù)的.設(shè)ψn是X上使得ψn→ψ的序列，則對(duì)于?t∈[1,e]，有

由f是連續(xù)的可知，當(dāng)ψn→ψ時(shí)，|f(s,ψn(s))-f(s,ψ(s))|→0,于是當(dāng)ψn→ψ時(shí)，‖A(ψn)-A(ψ)‖→0，從而算子A是連續(xù)的.設(shè)Ω∈X是有界的，則對(duì)于?ψ∈Ω，存在常數(shù)L1>0，使得|f(t,ψ(t))|≤L1.設(shè)ψ∈Ω，存在η使得‖ψ‖≤η，即

((log e)q+(log e)q+1)，

從而

記

則有‖(Aψ)(t)‖≤N，于是A是一致有界的.

取t1,t2∈[1,e]且t1

于是當(dāng)t2→t1時(shí)，有|(Aψ)(t2)-(Aψ)(t1)|→0，因此A是等度連續(xù)的.由Arzla-Ascpli定理可知算子A在Ω上是緊的，即A是全連續(xù)算子.

接著，證明集ω={ψ∈X|ψ=μA(ψ),0≤μ≤1}是有界的.設(shè)ψ∈ω，對(duì)于?t∈[1,e]，有ψ=μA(ψ)，則由條件(H1)，可得

因此

即

由條件(H2)可知集ω是有界的.根據(jù)引理3可知算子A至少有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，故邊值問(wèn)題(1)在[1,e]上至少有1個(gè)解.證畢.

定理3假設(shè)條件(H3)成立，且

則邊值問(wèn)題(1)在[1,e]上有唯一解.

|f(t,ψ(t))|=|f(t,ψ(t))-f(t,0)+f(t,0)|≤L‖ψ‖+P1.

(7)

令

首先證明A(Bτ)?Bτ，其中Bτ={ψ∈X:‖ψ‖≤τ}.設(shè)ψ∈Bτ，則由(7)式可得

于是

因此A(ψ)∈Bτ，即A(Bτ)?Bτ.

接著證明A是壓縮的.設(shè)ψ1，ψ2∈X，則對(duì)于?t∈[1,e]，有

于是

即A是壓縮映射的.通過(guò)Banach不動(dòng)點(diǎn)定理可知算子A存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，故邊值問(wèn)題(1)在[1,e]上有唯一解.證畢.

4 舉例

例1求證如下分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題至少存在1個(gè)解：

(8)

和

M=(1-a(logξ)γ-1-3k)Γ(q+1)-3d2≈0.315 96>0,

例2求證如下分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題存在唯一解：

(9)

所以根據(jù)定理3可知，問(wèn)題(9)在[1,e]上有唯一解.證畢.