□□ 王曉峰

(太原市市政公用工程質(zhì)量安全站(太原市軌道交通建設(shè)服務(wù)中心)，山西 太原030024)

1 工程概況

鴨綠江界河公路大橋總長為1 266 m，主橋?yàn)殡p塔雙索面鋼箱梁斜拉橋，連續(xù)半漂浮體系。在86 m、229 m、636 m、229 m、86 m處分別布置18～23號橋墩；主梁采用正交異性鋼橋面板扁平鋼箱梁結(jié)構(gòu)，梁高為3.5 m，寬為33.5 m，雙索塔呈H型，高為194.6 m，采用箱形變截面；基礎(chǔ)采用鉆孔樁基礎(chǔ)，輔助墩及過渡墩采用箱型墩。斜拉索為高強(qiáng)平行鋼絲斜拉索，扇形布置，主梁上的標(biāo)準(zhǔn)索距為16.0 m，全橋?yàn)?組19對斜拉索，如圖1所示。

圖1 鴨綠江界河公路大橋主橋總體布置(單位：cm)

雙塔雙索面鋼箱梁斜拉橋的受力情況不同于普通橋梁，當(dāng)荷載使橋梁頂端結(jié)構(gòu)產(chǎn)生縱向彎曲變形時，主梁的橫向彎曲變形不可忽略。常見的梁單元模型一般將結(jié)構(gòu)剛度和質(zhì)量集中于梁軸心線處，并認(rèn)為受載后橫斷面保持不變，截面形狀也保持不變[1-2]，所以常用的梁單元模型計(jì)算結(jié)果往往偏于保守[3-5]。根據(jù)盛春紅等[6]研究結(jié)果表明，雙塔雙索面鋼箱梁斜拉橋的整體振動形式是兩邊和中間會出現(xiàn)彎矩和位移峰值。因此，橋梁系統(tǒng)的離散化模型可簡化表示為由兩個彈性梁對稱連接三個集中質(zhì)量，而該系統(tǒng)屬于三自由度系統(tǒng)。對于離散化模型的動力學(xué)建模一般可以采用拉格朗日方程或者哈密頓原理得到，這兩種方法計(jì)算不需要過多的受力分析，對于復(fù)雜的力學(xué)問題計(jì)算過程更為方便。

2 離散橋梁系統(tǒng)動力學(xué)模型的建立

圖2 離散橋梁系統(tǒng)簡化模型

該系統(tǒng)可認(rèn)為的典型的保守系統(tǒng)，系統(tǒng)的自由度為3，取廣義坐標(biāo)為y1、y2、y3。該系統(tǒng)的動能表示為：

(1)

系統(tǒng)在振動過程中會產(chǎn)生相對位移，取質(zhì)量M的初始位置為重力勢能的零勢能面，彈性勢能為kΔx2/2，重力勢能為mgΔx，因而系統(tǒng)的勢能可表示為：

mg(y1-y2)+mg(y3-y2)

(2)

根據(jù)式(1)和(2)，系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)可表示為：

2y22+y32-2y2(y1+y3)]-mg(y1-2y2+y3)

(3)

廣義坐標(biāo)y1、y2和y3所對應(yīng)的廣義動量分別表示為：

(4)

(5)

哈密頓函數(shù)為：

2y22+y32-2y2(y1+y3)]+mg(y1-2y2+y3)

(6)

因此，根據(jù)式(6)可得到廣義坐標(biāo)為y1、y2、y3所對應(yīng)的哈密頓正則方程分別為：

(7a)

(7b)

(7c)

根據(jù)式(7)消去廣義動量py1、py2和py3，得到離散橋梁系統(tǒng)的振動微分方程為：

(8)

其矩陣形式為：

(9)

式(9)為本文離散橋梁系統(tǒng)振動微分方程的矩陣表達(dá)形式。

3 離散橋梁系統(tǒng)的振動響應(yīng)分析

3.1 振動頻率

由式(9)可知離散橋梁系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別表示為：

(10)

考慮結(jié)構(gòu)自由振動形式，代入頻率方程|[k]-ω2[m]|=0可得：

(11)

展開式(11)得到系統(tǒng)的特征值分別為：

(12)

因此，系統(tǒng)的三階固有頻率分別為：

(13)

3.2 系統(tǒng)的正規(guī)坐標(biāo)變換

根據(jù)式(13)，當(dāng)ω1=0時，代入系統(tǒng)模態(tài)方程([k]-ω2[m])[φ]=0中，可得：

(14)

即為：

(15)

令φ11=1，則φ21=φ31=1，因此，ω1=0對應(yīng)的歸一化振型為：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

根據(jù)式(16)、(18)和(20)得到系統(tǒng)的歸一化振型為：

(21)

圖3 離散橋梁系統(tǒng)的各階主振型圖和動力學(xué)等效圖

圖4為活載作用下主梁豎向位移的試驗(yàn)結(jié)果和理論結(jié)果對比圖，并給出了主梁豎向位移隨著邊跨比(次邊跨/邊跨)的變化情況。隨著邊跨比的增加，主梁豎向位移先減小后增加，并且出現(xiàn)方向的反轉(zhuǎn)現(xiàn)象。從圖中可以看出，雙塔雙索面鋼箱梁斜拉橋的整體振動形式是兩邊和中間會出現(xiàn)彎矩和位移峰值。本文中的理論結(jié)果與試驗(yàn)的變形模式結(jié)果相吻合。因此，通過對該橋梁進(jìn)行一定的簡化是可以通過理論來預(yù)測結(jié)構(gòu)的振動位移。

圖4 活載作用下主梁豎向位移的試驗(yàn)結(jié)果和理論結(jié)果對比

此外，離散橋梁系統(tǒng)的主質(zhì)量矩陣和主質(zhì)量矩陣分別為：

[m*]=[φ]T[m][φ]

(22)

[k*]=[φ]T[k][φ]

(23)

(24)

根據(jù)式(10)和(24)可得到正則后主質(zhì)量矩陣和主剛度矩陣分別為：

(25)

(26)

根據(jù)式(25)和(26)，可得到正則后主質(zhì)量矩陣為單位矩陣，主剛度矩陣為特征值矩陣。

4 結(jié)語

本文基于鴨綠江界河公路大橋工程實(shí)例得出橋梁整體的振動形式是兩邊和中間會出現(xiàn)彎矩和位移峰值，其他部位都是從最大值到0或者從0到最大值的過程。通過采用哈密頓正則方程得到離散橋梁系統(tǒng)的振動微分方程和三階振動頻率，得出離散橋梁系統(tǒng)的振動規(guī)律和節(jié)點(diǎn)位置分布情況，其理論結(jié)果與試驗(yàn)的變形模式結(jié)果相吻合。最后，對離散橋梁系統(tǒng)的振型進(jìn)行了正規(guī)坐標(biāo)變換。